人教A版 选修22 1.1.3 导数的几何意义 学案.docx

1.1.3 导数的几何意义学习目标：1.了解导函数的概念，理解导数的几何意义.2.会求导函数(重点、难点)3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程(重点)4.正确理解曲线“过某点”和“在某点”处的切线，并会求其方程(易混点)自 主 预 习探 新 知1导数的几何意义(1)切线的定义：图116如图116，对于割线ppn，当点pn趋近于点p时，割线ppn趋近于确定的位置，这个确定位置的直线pt称为点p处的切线(2)导数的几何意义：导数的几何意义：函数f(x)在xx0处的导数就是切线pt的斜率k，即klimx0 f(x0)(3)切线方程：曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2导函数对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0)是一个确定的数，当x变化时，f(x)便是x的一个函数，我们称它为f(x)的导函数(简称为导数)，即f(x)ylimx0 .思考： f(x0)与f(x)有什么区别？提示f(x0)是一个确定的数，而f(x)是一个函数基础自测1思考辨析(1)函数yf(x)在xx0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点xx0处切线的斜率( )(2)若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在( )(3)f(x0)(或y|xx0)是函数f(x)在点xx0处的函数值( )(4)直线与曲线相切，则直线与已知曲线只有一个公共点( )答案 (1) (2) (3) (4)2若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为2xy10，则( )af(x0)0 bf(x0)0cf(x0)0df(x0)不存在c 由题意可知，f(x0)20，故选c.3已知函数f(x)在x0处的导数为f(x0)1，则函数f(x)在x0处切线的倾斜角为_. 解析 设切线的倾斜角为，则tan f(x0) 1，又0，180)，45.答案 454若函数f(x)在点a(1,2)处的导数是1，那么过点a的切线方程是_解析 切线的斜率为k1.点 a(1,2)处的切线方程为y2(x1)，即xy30.答案 xy30 合 作 探 究攻 重 难导数几何意义的应用 (1)已知yf(x)的图象如图117所示，则f(xa)与f(xb)的大小关系是( )图117af(xa)f(xb)bf(xa)f(xb)cf(xa)f(xb)d不能确定(2)若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则( )aa1，b1 ba1，b1ca1，b1da1，b1(1)b (2)a (1)由导数的几何意义，f(xa)，f(xb)分别是切线在点a、b处切线的斜率，由图象可知f(xa)f(xb)(2)由题意，知ky|x0limx0 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选a.规律方法 1.本例(2)中主要涉及了两点：f(0)1，f(0)b.2.解答此类问题的关键是理解导数的几何意义.3.与导数的几何意义相关的题目往往涉及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题.跟踪训练1设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于( ) a1 bcd1a 由题意可知，f(1)2.又limx0 limx0 limx0 (ax2a)2a.故由2a2得a1.2如图118，函数yf(x)的图象在点p(2，y)处的切线是l，则f(2)f(2)等于( )图118a4b3c2d1d 直线l的方程为1，即xy40.又由题意可知f(2)2，f(2)1，f(2)f(2)211.求切点坐标 过曲线yx2上某点p的切线满足下列条件，分别求出p点(1) 平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角解 f(x)limx0 limx0 2x，设p(x0，y0)是满足条件的点(1)切线与直线y4x5平行，2x04，x02，y04，即p(2,4)是满足条件的点(2)切线与直线2x6y50垂直，2x01，得x0，y0，即p是满足条件的点(3)切线与x轴成135的倾斜角，其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即p是满足条件的点规律方法 1.本题关键是由条件得到直线的斜率，从而得知函数在某点处的导数，进而求出切点的横坐标.2.根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0，y0)；(2)求导函数f(x)；(3)求切线的斜率f(x0)；(4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，解方程求x0；(5)x0代入f(x)求y0得切点坐标. 跟踪训练3已知曲线y2x27在点p处的切线方程为8xy150，求切点p的坐标. 【导学号：31062014】解 设切点p(m，n)，切线斜率为k，由ylimx0 limx0 limx0 (4x2x)4x，得ky|xm4m.由题意可知4m8，m2.代入y2x27得n1.故所求切点p为(2,1) 求曲线的切线方程探究问题1如何求曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程？提示：yy0k(xx0)即根据导数的几何意义，求出函数yf(x)在点(x0，f(x0)处的导数，即曲线在该点处的切线的斜率，再由直线方程的点斜式求出切线方程2曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线与曲线过点(x0，y0)的切线有什么不同？提示：曲线f(x)在点(x0，f(x0)处的切线，点(x0，f(x0)一定是切点，只要求出kf(x0)，利用点斜式写出切线方程即可；而曲线f(x)过某点(x0，y0)的切线，给出的点(x0，y0)不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定是切点3曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点？提示：不一定曲线yf(x)在点p(x0，y0)处的切线l与曲线yf(x)的交点个数不一定只有一个，如图所示 已知曲线c：yx3.(1)求曲线c在横坐标为x1的点处的切线方程；(2)求曲线c过点(1,1)的切线方程思路探究 (1)(2) 解 (1)将x1代入曲线c的方程得y1，切点p(1,1)y|x1limx0 limx0 limx033xx23.ky|x13.曲线在点p(1,1)处的切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)设切点为q(x0，y0)，由(1)可知y|xx03x，由题意可知kpqy|xx0，即3x，又y0x，所以3x，即2xx010，解得x01或x0.当x01时，切点坐标为(1,1)，相应的切线方程为3xy20.当x0时，切点坐标为，相应的切线方程为y，即3x4y10.母题探究：1.(变结论)第(1)小题中的切线与曲线c是否还有其他的公共点？解 由解得或从而求得公共点为p(1,1)或m(2，8)，即切线与曲线c的公共点除了切点外，还有另一公共点(2，8)2(变条件)求曲线yf(x)x21过点p(1,0)的切线方程解 设切点为q(a，a21)，2ax，当x趋于0时，(2ax)趋于2a，所以所求切线的斜率为2a.因此，2a，解得a1，所求的切线方程为y(22)x(22)或y(22)x(22)规律方法 利用导数的几何意义求切线方程的方法(1)若已知点(x0，y0)在已知曲线上，求在点(x0，y0)处的切线方程，先求出函数yf(x)在点x0处的导数，然后根据直线的点斜式方程，得切线方程yy0f(x0)(xx0).(2)若点(x0，y0)不在曲线上，求过点(x0，y0)的切线方程，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程. 当 堂 达 标固 双 基1已知曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为2xy20，则f(1)( )a4 b4 c2 d2d 由导数的几何意义知f(1)2，故选d.2下面说法正确的是( )a若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线b若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在c若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在d若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在c 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反之不一定成立，故a，b，d错误3已知二次函数yf(x)的图象如图119所示，则yf(x)在a，b两点处的导数f(a)与f(b)的大小关系为：f(a)_f(b)(填“”或“”)图119解析 f(a)与f(b)分别表示函数图象在点a，b处的切线斜率，由图象可得f(a)f(b)答案 4曲线f(x)在点(2，1)处的切线方程为_. 解析 f(2)limx0 limx0 limx0 ，切线方程为y1