人教B版选修22 1.3.2利用导数研究函数的极值（一） 学案1.doc

课堂导学三点剖析一、求函数极值【例1】 确定函数f(x)=在区间-2,2上的单调性并求f(x)在区间-2,2上的极大值、极小值、最大值和最小值.解：由已知得f(x)=.令f(x)=0,解得x=-1或x=1.列出下表:x-2(-2,-1)-1(-1,1)1(1,2)2f(x)-0+0-f(x)极小值极大值 由表可知，f(x)的极小值是f(-1)=;极大值是f(1)=.又f(-2)=,f(2)=,f(x)在区间-2,2上的最大值是,最小值是.温馨提示 对任意实数x,x2+10,即函数f(x)=的定义域为r.又=0,f(x)在r上的最大值与最小值还分别为和.又f(0)=0,函数f(x)=在r上的值域为,.二、极值的应用【例2】 已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a、b的值,并求出f(x)的单调区间.解：由已知,得f(1)=1-3a+2b=-1,又f(x)=3x2-6ax+2b f(1)=3-6a+2b=0 由得a=,b=.故函数的解析式为f(x)=x3-x2-x.由此得f(x)=3x2-2x-1,由二次函数的性质,当x1时,f(x)0;当x1时,f(x)0.因此,在区间(-,)和(1,+)上,函数f(x)为增函数;在区间(,1)内,函数f(x)为减函数.三、利用函数极值求函数的解析式【例3】 设x=1与x=2是函数f(x)=alnx+bx2+x的两个极值点.试确定常数a和b的值.解：f(x)=+2bx+1,f(1)=f(2)=0,.解得f(x)=lnx-x2+x.各个击破类题演练 1 求函数y=x4-2x2-1的极值.解:y=4x3-4x,令y=0,得x1=-1,x2=0,x3=1.将x、y及在相应区间上y的符号关系列表如下:x(-,-1)-1(-1,0)0(0,1)1(1,+)y-0+0-0+y极小值-2极大值-1极小值-2 所以当x=-1时,函数有极小值-2;当x=0时,函数有极大值-1;当x=1时函数有极小值-2.变式提升 1 求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.解:f(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3),令f(x)=0,解得x1=-1,x2=3,x0,函数f(x)递增;-1x3时,f(x)3时,f(x)0,函数f(x)递增.f(x)极大值=f(-1)=10;f(x)极小值=f(3)=-22.类题演练2 若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极大值和极小值,求a的取值范围.解:f(x)为三次函数,f(x)为二次函数,要使f(x)既有极大值又有极小值,需f(x)=0有两个不相等的实数根,从而有=(2a)2-4(a+2)0,解得a2.变式提升2 求函数y=8x3-12x2+6x+1的极值.解:y=24x2-24x+6.令y=0,即24x2-24x+6=0,解得x=.当x时,y0;当x0.所以此函数无极值.类题演练 3 已知函数f(x)=x+b有极小值2，求a、b应满足的关系.解:由f(x)=x+b得f(x)=.因为f(x)有极小值，故方程x2-a=0有实根，故a0.f(x)=0的两根为与.显然f(x)=，且x0；x0时f(x)0；0xa时f