人教B版选修11 第三章 3.3.2　利用导数研究函数的极值 学案.docx

3.3.2利用导数研究函数的极值第1课时利用导数研究函数的极值学习目标1.了解函数极值的概念，能从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件知识点一函数极值的概念函数yf(x)的图象如图所示思考1函数f(x)在点xa处的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？f(x)在xa处的值与其附近的值有什么关系？答案函数在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近的其他点的函数值都小；f(a)0，在点xa附近的左侧f(x)0.思考2函数在点xb处的情况呢？答案函数在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近的其他点的函数值都大，f(b)0，且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.所以f(x)的单调递增区间为(，)，(，)；单调递减区间为(，)当x时，f(x)有极大值54；当x时，f(x)有极小值54.(2)由(1)的分析知，yf(x)的图象的大致形状及走向如图所示所以，当54a54时，直线ya与yf(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)a有三个不同的实根反思与感悟利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便跟踪训练3已知函数f(x)x36x29x3，若函数yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同的交点，求实数m的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程的根解由f(x)x36x29x3，可得f(x)3x212x9，f(x)5xm(3x212x9)5xmx2x3m，则由题意可得x36x29x3x2x3m有三个不相等的实根，即g(x)x37x28xm的图象与x轴有三个不同的交点g(x)3x214x8(3x2)(x4)，令g(x)0，得x或x4.当x变化时，g(x)，g(x)的变化情况如下表：x4(4，)g(x)00g(x)m16m则函数g(x)的极大值为gm，极小值为g(4)16m.由yf(x)的图象与yf(x)5xm的图象有三个不同交点，得解得16m.即实数m的取值范围为.1.如图为yf(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是()f(x)在(3,1)上为增函数；x1是f(x)的极小值点；f(x)在(2,4)上为减函数，在(1,2)上是增函数；x2是f(x)的极小值点a bc d考点函数极值的应用题点函数极值在图象上的应用答案b解析当x(3，1)时，f(x)0，所以f(x)在(3，1)上为减函数，在(1,2)上为增函数，故不正确；x1是f(x)的极小值点，故正确；当x(2,4)时，f(x)0，f(x)是减函数，故正确；x2是f(x)的极大值点，故不正确2函数f(x)x34x4的极大值与极小值之和为()a8 b. c10 d12考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值答案a解析由f(x)x240，得x12，x22，函数f(x)的极大值与极小值的和为f(2)f(2)8.3函数f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3时取得极值，则a_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案5解析因为f(x)3x22ax3，则f(3)3(3)22a(3)30，所以a5.4已知f(x)x3ax2(a6)x1有极大值和极小值，则a的取值范围为_考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案a|a6解析f(x)3x22axa6，因为f(x)既有极大值又有极小值，所以(2a)243(a6)0，解得a6或a3.5已知函数f(x)ax2bln x在x1处有极值.(1)求a，b的值；(2)判断f(x)的单调区间，并求极值考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数解(1)f(x)2ax，由题意得即a，b1.(2)由(1)得f(x)x，x(0，)令f(x)0，解得x1.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(0,1)1(1，)f(x)0f(x)极小值f(x)的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1，)f(x)极小值f(1)，无极大值1在极值的定义中，取得极值的点称为极值点，极值点指的是自变量的值，极值指的是函数值2函数的极值是函数的局部性质可导函数f(x)在点xx0处取得极值的充要条件是f(x0)0且在xx0两侧f(x)符号相反3利用函数的极值可以确定参数的值，解决一些方程的解和图象的交点问题一、选择题1.函数yf(x)的定义域为(a，b)，yf(x)的图象如图，则函数yf(x)在开区间(a，b)内取得极小值的点有()a1个 b2个c3个 d4个考点函数的极值与导数关系题点判断函数的极值(点)答案a解析当满足f(x)0的点，左侧f(x)0时，该点为极小值点，观察题图，只有一个极小值点2函数f(x)x33x29x(2x0，当x(1,2)时，f(x)0，b0，且函数f(x)4x3ax22bx2在x1处有极值，则ab的最大值等于()a2 b3 c6 d9考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案d解析f(x)12x22ax2b，f(x)在x1处有极值，f(1)122a2b0，ab6.又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时等号成立，ab的最大值为9.4函数f(x)(x3)ex的单调递增区间和极值分别是()a(，2)，e2 b(0,3)，0c(1,4)，e d(2，)，e2考点题点答案d解析f(x)(x2)ex，令f(x)0，得x2.当x(2，)时，f(x)0，f(x)在(2，)上单调递增；当x(，2)时，f(x)0，f(x)在(，2)上单调递减，f(x)极小值f(2)e2，无极大值5已知ar，且函数yexax(xr)有大于零的极值点，则a的取值范围为()aa1ca考点函数极值的应用题点极值存在性问题答案a解析因为yexax，所以yexa.令y0，即exa0，则exa，即xln(a)，又因为x0，所以a1，即a1.6设三次函数f(x)的导函数为f(x)，函数yxf(x)的图象的一部分如图所示，则()af(x)极大值为f()，极小值为f()bf(x)极大值为f()，极小值为f()cf(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)df(x)极大值为f(3)，极小值为f(3)考点函数极值的应用题点函数的极值在图象上的应用答案d解析当x0，即f(x)0；当3x3时，f(x)0.f(x)的极大值为f(3)，f(x)的极小值为f(3)7已知e为自然对数的底数，设函数f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则()a当k1时，f(x)在x1处取到极小值b当k1时，f(x)在x1处取到极大值c当k2时，f(x)在x1处取到极小值d当k2时，f(x)在x1处取到极大值考点函数的极值与导数的关系题点判别函数的极值(点)答案c解析当k1时，f(x)exx1，f(1)0，x1不是f(x)的极值点当k2时，f(x)(x1)(xexex2)，显然f(1)0，且x在1附近的左侧f(x)0，f(x)在x1处取到极小值故选c.二、填空题8函数yxex在其极值点处的切线方程为_考点函数的极值与导数的关系题点不含参数的函数求极值答案y解析令yexxex(1x)ex0，得x1，y，函数yxex在极值点处的切线方程为y.9已知函数f(x)ax33x26axb在x2处取得极值9，则a2b_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案24解析f(x)3ax26x6a，f(x)在x2处取得极值9，即解得a2b24.10已知f(x)x3ax2bxa2在x1处取得极值10，则f(1)_.考点根据函数的极值求参数值题点已知极值求参数答案30解析f(x)3x22axb，由题意知即解得或经检验知，当时，f(x)3(x1)20，不合题意f(x)x34x211x16，则f(1)30.11若函数yx33axa在(1,2)内有极小值，则实数a的取值范围是_考点题点答案(1,4)解析y3x23a，当a0时，y0.函数yx33axa为单调函数，不合题意，舍去；当a0时，y3x23a0，得x，不难分析，当12，即1a4时，函数yx33axa在(1,2)内有极小值三、解答题12.函数f(x)x3ax2bxc的图象如图所示，且与直线y0在原点处相切，函数的极小值为4.(1)求a，b，c的值；(2)求函数的单调递减区间考点极值的应用题点函数的极值在图象上的应用解(1)函数图象过原点，c0，即f(x)x3ax2bx，f(x)3x22axb.又函数f(x)的图象与直线y0在原点处相切，f(0)0，解得b0，f(x)3x22axx(3x2a)由f(x)0，得x0或x.由题意可知，当x时，函数取得极小值4.3a24，解得a3.a3，bc0.(2)由(1)知，f(x)x33x2，且f(x)3x(x2)，由f(x)0，得3x(x2)0，0x0时，解得x1，当f(x)0时，解得2x1，所以函数的单调递增区间为(，2)，(1，)；单调递减区间为(2，1)(2)令f(x)(2xa)ex(x2axa)exx2(2a)x2aex(xa)(x2)ex0，得xa或x2，当a2时，f(x)(x2)2ex0恒成立，无极值，当a2，即a2时当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值由表可知，f(x)极大值f(2)(42aa)e23，解得a43e22，所以存在实数a43e2，使f(x)的极大值为3.四、探究与拓展14如果函数yf(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：函数yf(x)在区间内单调递增；函数yf(x)在区间内单调递减；函数yf(x)在区间(4,5)内单调递增；当x2时，函数yf(x)有极小值；当x时，函数yf(x)有极大值则上述判断正确的是_(填序号)考点题点答案解析函数的单调性由导数的符号确定，当x(，2)时，f(x)0，所以f(x)在(，2)上为减函数，同理f(x)在(2,4)上为减函数，在(2,2)上为增函数，在(4，)上为增函数，所以可排除和，可选择；由于函数在x2的左侧单调递增，右侧单调递减，所以当x2时，函数有极大值；而在x的左、右两侧，函数的导数都是正数，故函数在x的左、右两侧均为增函数，所以x不是函数的极值点，排除和.15已知f(x)x3bx2cx2，若f(x)在x1时有极值1.(1)求b，c的值；(2)若函数yf(x)的图象与函数yk的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围考点函数极值的应用题点函数的零点与方程