河北省衡水市重点中学高二数学上学期第四次调考试卷 理（含解析）.doc

2014-2015学年河 北省衡水市重点中学高二（上）第四次调考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设f（x）为可导函数，且=5，则f（3）等于（）a 5b 10c 5d 102函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为（）a 11b 2c 12d 103若函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）a 0b1b b1c b0d b4如图所示，已知pa平面abc，abc=120，pa=ab=bc=6，则pc等于（）a 6b 4c 12d 1445已知，若，则与的值可以是（）a b c 3，2d 2，26长方体abcda1b1c1d1中ab=aa1=2，ad=1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为（）a b c d 7已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，=，点n为b1b的中点，则|mn|=（）a ab ac ad a8在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为（）a b c d 9抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）a b c 4d 410如图，正方形abcd的顶点，顶点c，d位于第一象限，直线t：x=t（0t）将正方形abcd分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）a b c d 11椭圆+y2=1上存在一点p，使得它对两个焦点f1，f2的张角f1pf2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）a （0，b ，1）c （0，d ，1）12函数f（x）在定义域r内可导，若f（x）=f（2x），且当x（，1）时，（x1）f（x）0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）a abcb cabc cbad bca二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13已知抛物线y2=2px（p0）与双曲线有相同的焦点为f，a是两条曲线的一个交点，且afx轴，则双曲线的离心率是14已知矩形abcd中，ab=1，bc=，将矩形abcd沿对角线ac折起，使平面abc与平面acd垂直，则b与d之间的距离为15三棱锥pabc中，pa=pb=pc=ab=ac=1，bac=90，则pa与底面abc所成角的大小为16棱长都为2的直平行六面体abcda1b1c1d1中，bad=60，则对角线a1c与侧面dcc1d1所成角的余弦值为三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x2 （1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab=，bc=1，pa=2，e为pd的中点（）求直线ac与pb所成角的余弦值；（）在侧面pab内找一点n，使ne面pac，并求出n点到ab和ap的距离19如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f，m，n分别是a1b1，bc，c1d1，b1c1的中点（1）求直线ef与mn的夹角；（2）求直线mf与平面enf所成角的余弦值；（3）求二面角nefm的平面角的余弦值20在四棱锥pabcd中，abc=acd=90，bac=cad=60，pa平面abcd，e为pd的中点，pa=2ab=2（）求四棱锥pabcd的体积v；（）若f为pc的中点，求证：平面pac平面aef；（）求二面角eacd的大小21已知椭圆c1、抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心和c2的顶点均为坐标原点o，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：x324y204（）求c1、c2的标准方程；（）请问是否存在直线l同时满足条件：（）过c2的焦点f；（）与c1交于不同两点q、r，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；（）已知椭圆c1的左顶点为a，过a作两条互相垂直的弦am、an分别另交椭圆于m、n两点当直线am的斜率变化时，直线mn是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由22已知f（x）=x3+ax2a2x+2（）若a=1，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）若a0，求函数f（x）的单调区间；（）若不等式2xlnxf（x）+a2+1恒成立，求实数a的取值范围2014-2015学年河北省衡水市重点中学高二（上）第四次调考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1设f（x）为可导函数，且=5，则f（3）等于（）a 5b 10c 5d 10考点：导数的运算专题：导数的概念及应用分析：根据导数的定义进行求解即可解答：解：=f（3）=5，f（3）=10，故选：d点评：本题主要考查导数的运算，根据导数的定义是解决本题的关键2函数y=x48x2+2在1，3上的最大值为（）a 11b 2c 12d 10考点：函数最值的应用专题：计算题分析：研究高次函数最值问题往往研究函数的极值，然后与端点的函数值比较大小确定出最值解答：解：y=4x316x=4x（x24），由y=0及x1，3知x=0或x=2，根据单调性知f（x）max=f（3）=11；故选a点评：本题考查了四次函数研究最值问题，注意题目中的范围的限制3若函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）a 0b1b b1c b0d b考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上令f（x）=3x23b=0，得x2=b，显然b0，x=又x（0，1），010b1故选a点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题4如图所示，已知pa平面abc，abc=120，pa=ab=bc=6，则pc等于（）a 6b 4c 12d 144考点：平面与平面垂直的性质分析：连接pb，pc，由余弦定理可得ac的值，由paac，故根据勾股定理可得pc的值解答：解：连接pb，pc，pa=ab=bc=6，由余弦定理可得ac=6，pa平面abc，paac，pc=12故选：c点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，勾股定理的应用，属于基本知识的考查5已知，若，则与的值可以是（）a b c 3，2d 2，2考点：空间向量运算的坐标表示专题：计算题分析：直接利用向量平行，推出向量坐标关系，求出与的值即可解答：解：因为，所以21=0，解得=，解得=2或=3所以与的值可以是：或3，；故选a点评：本题考查空间向量的坐标运算，向量的平行的应用，考查计算能力6长方体abcda1b1c1d1中ab=aa1=2，ad=1，e为cc1的中点，则异面直线bc1与ae所成角的余弦值为（）a b c d 考点：异面直线及其所成的角专题：计算题分析：建立空间直角坐标系，先相关点的坐标，再相关向量的坐标，再进行运算解答：解析：建立坐标系如图则a（1，0，0），e（0，2，1），b（1，2，0），c1（0，2，2）=（1，0，2），a=（1，2，1），cos所以异面直线bc1与ae所成角的余弦值为故选b点评：本题主要考查用向量法求异面直线所成的角7已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为a，=，点n为b1b的中点，则|mn|=（）a ab ac ad a考点：向量的共线定理；棱柱的结构特征专题：空间位置关系与距离分析：以ab，ad，aa1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，确定向量、的坐标，可得的坐标，从而可得|mn|解答：解：以ab，ad，aa1，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则a（0，0，0），b（a，0，0），b1（a，0，a），c1（a，a，a）=（a，a，a）=，=，点n为b1b的中点，=（a，0，）=|mn|=a故选a点评：本题考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，确定向量的坐标是关键8在正方体abcda1b1c1d1中，点e为bb1的中点，则平面a1ed与平面abcd所成的锐二面角的余弦值为（）a b c d 考点：向量在几何中的应用专题：向量法分析：先建立空间直角坐标系，再分别求得两个平面的法向量，用向量法中二面角公式求解解答：解：以a为原点建系，设棱长为1则a1（0，0，1），e（1，0，），d（0，1，0），=（0，1，1），=（1，0，），设平面a1ed的法向量为n1=（1，y，z）则n1=（1，2，2），平面abcd的一个法向量为n2=（0，0，1）cosn1，n2=即所成的锐二面角的余弦值为故选b点评：本题主要考查向量法在求空间二面角中的应用，特别注意法向量的求法9抛物线y=ax2的准线方程是y=1，则a的值为（）a b c 4d 4考点：抛物线的简单性质专题：计算题分析：把抛物线的方程化为标准方程，找出标准方程中的p值，根据p的值写出抛物线的准线方程，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值解答：解：由y=ax2，变形得：x2=y=2y，p=，又抛物线的准线方程是y=1，=1，解得a=故选b点评：此题考查了抛物线的简单性质，是一道基础题也是高考常考的题型找出抛物线标准方程中的p值是解本题的关键要求学生掌握抛物线的标准方程如下：（1）y2=2px（p0），抛物线开口方向向右，焦点f（，0），准线方程为x=；（2）y2=2px（p0），抛物线开口方向向左，焦点f（，0），准线方程为x=；（3）x2=2py（p0），抛物线开口方向向上，焦点f（0，），准线方程为y=；（4）x2=2py（p0），抛物线开口方向向下，焦点f（0，），准线方程为y=10如图，正方形abcd的顶点，顶点c，d位于第一象限，直线t：x=t（0t）将正方形abcd分成两部分，记位于直线l左侧阴影部分的面积为f（t），则函数s=f（t）的图象大致是（）a b c d 考点：函数的图象专题：压轴题；分类讨论分析：由f（t）表示位于直线l左侧阴影部分的面积，结合已知条件我们可以得到函数s=f（t）是一个分段函数，而且分为两段，分段点为t=，分析函数在两段上的数量关系，不难求出函数的解析式，根据解析式不难得到函数的图象解答：解：依题意得s=f（t）=，分段画出函数的图象可得图象如c所示故选c点评：画分段函数的图象，要分如下几个步骤：分析已知条件，以确定函数所分的段数及分类标准根据题目中的数量关系，分析函数各段的解析式对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式由解析式用描点法，分段画出函数的图象11椭圆+y2=1上存在一点p，使得它对两个焦点f1，f2的张角f1pf2=，则该椭圆的离心率的取值范围是（）a （0，b ，1）c （0，d ，1）考点：椭圆的简单性质专题：计算题；压轴题分析：首先根据椭圆方程，求出它的离心率为：e=，然后设点椭圆上p的坐标为（x0，y0），满足f1pf2=，利用数量积为0列出关于x0、y0和a、c的等式接下来利用椭圆方程消去y0，得到关于x0的式子，再利用椭圆上点横坐标的范围：ax0a，建立关于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范围，代入离心率关于a的表达式，即可得到该椭圆的离心率的取值范围解答：解：椭圆方程为：+y2=0，b2=1，可得c2=a21，c=椭圆的离心率为e=又椭圆上一点p，使得角f1pf2=，设点p的坐标为（x0，y0），结合f1（c，0），f2（c，0），可得=（cx0，y0），=（cx0，y0），=+=0p（x0，y0）在椭圆+y2=1上，=1，代入可得+1=0将c2=a21代入，得a2+2=0，所以=，ax0a，即，解之得a22椭圆的离心率e=，1）点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知椭圆上一点对两个焦点张角为直角的情况下，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于中档题12函数f（x）在定义域r内可导，若f（x）=f（2x），且当x（，1）时，（x1）f（x）0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则（）a abcb cabc cbad bca考点：函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性专题：压轴题分析：根据f（x）=f（2x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x（，1）时，（x1）f（x）0，x10，得到f（x）0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可解答：解：由f（x）=f（2x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，根据题意又知x（，1）时，f（x）0，此时f（x）为增函数，x（1，+）时，f（x）0，f（x）为减函数，所以f（3）=f（1）f（0）f（），即cab，故选b点评：考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上.13已知抛物线y2=2px（p0）与双曲线有相同的焦点为f，a是两条曲线的一个交点，且afx轴，则双曲线的离心率是+1考点：圆锥曲线的共同特征专题：计算题分析：根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据afx轴可判断出|af|的值和a的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2a2联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e解答：解：抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，p=2ca是它们的一个公共点，且af垂直x轴设a点的纵坐标大于0|af|=p，a（ ，p）点a在双曲线上=1p=2c，b2=c2a2=1化简得：c46c2a2+a4=0e46e2+1=0e21e2=3+2 e=1+故答案为：1+点评：本题主要考查关于双曲线的离心率的问题，属于中档题，本题利用焦点三角形中的边角关系，得出a、c的关系，从而求出离心率14已知矩形abcd中，ab=1，bc=，将矩形abcd沿对角线ac折起，使平面abc与平面acd垂直，则b与d之间的距离为考点：点、线、面间的距离计算专题：综合题；空间位置关系与距离分析：作boac，则bo平面acd，求出bo，do，即可求出bd解答：解：如图所示，作boac，则bo平面acd，ab=1，bc=，ac=2，bo=，ao=，do=，bd=故答案为：点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查线面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中等题15三棱锥pabc中，pa=pb=pc=ab=ac=1，bac=90，则pa与底面abc所成角的大小为45考点：直线与平面所成的角专题：空间角分析：取bc的中点e，根据三角形的边长关系证明pae是pa与底面abc所成的角即可解答：解：ab=ac=1，bac=90，bc=，pb=pc=1，bpc=90，取bc的中点e，则pe=ae=，pa=1，pea=90，则pae=45，e是bc的中点，pebc，aebc，bc平面abc，则pae是pa与底面abc所成的角，即pa与底面abc所成角的大小为45故答案为：45点评：本题主要考查直线和平面所成角的大小的求解，根据定义确定线面角是解决本题的关键16棱长都为2的直平行六面体abcda1b1c1d1中，bad=60，则对角线a1c与侧面dcc1d1所成角的余弦值为考点：直线与平面所成的角专题：综合题分析：作a1ec1d1，垂足为e，则可得对角线a1c与侧面dcc1d1所成角，从而可求对角线a1c与侧面dcc1d1所成角的余弦值解答：解：作a1ec1d1，垂足为e，连ce，a1e，a1cabcda1b1c1d1是直平行六面体a1e平面dcc1d1，a1ce就是对角线a1c与侧面dcc1d1所成角ce平面a1b1c1d1，a1ece棱长都为2的直平行六面体abcda1b1c1d1中，bad=60，d1e=1a1c=4ce=在rta1ec中，cosa1ce=故答案为：点评：本题重点考查线面角，解题的关键是利用线面垂直，作出线面角，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），且在x=1处的切线方程是y=x2 （1）求y=f（x）的解析式；（2）求y=f（x）的单调递增区间考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性专题：计算题分析：（1）先根据f（x）的图象经过点（0，1）求出c，然后根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=1处的导数，从而求出切线的斜率，建立一等量关系，再根据切点在曲线上建立一等式关系，解方程组即可；（2）首先对f（x）=2+1求导，可得f（x）=10x39x，令f（x）0解之即可求出函数的单调递增区间解答：解：（1）f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（0，1），则c=1，f（x）=4ax3+2bx，k=f（1）=4a+2b=1（4分）切点为（1，1），则f（x）=ax4+bx2+c的图象经过点（1，1），得a+b+c=1，得a=，b=f（x）=2+1（8分）（2）f（x）=10x39x0，x0，或x单调递增区间为（，0），（，+）（12分）点评：本题考查导数的计算与应用，注意导数计算公式的正确运用与导数与单调性的关系，利用导数研究曲线上某点切线方程，属于基础题18如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，侧棱pa底面abcd，ab=，bc=1，pa=2，e为pd的中点（）求直线ac与pb所成角的余弦值；（）在侧面pab内找一点n，使ne面pac，并求出n点到ab和ap的距离考点：点、线、面间的距离计算；异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定专题：计算题分析：（）设acbd=o，连oe，将pb平移到oe，根据异面直线所成角的定义可知eoa即为ac与pb所成的角或其补角，在aoe中，利用余弦定理求出此角的余弦值即可；（）在面abcd内过d作ac的垂线交ab于f，连pf，设n为pf的中点，连ne，则nedf，根据线面垂直的判定定理可知df面pac，从而ne面pac，则n点到ab的距离即为ap，n点到ap的距离即为af解答：解：（）设acbd=o，连oe，则oepb，eoa即为ac与pb所成的角或其补角在aoe中，ao=1，oe=pb=，ae=pd=，coseoa=即ac与pb所成角的余弦值为（）在面abcd内过d作ac的垂线交ab于f，则adf=连pf，则在rtadf中df=，af=adtanadf=设n为pf的中点，连ne，则nedf，dfac，dfpa，df面pac从而ne面pacn点到ab的距离=ap=1，n点到ap的距离=af=点评：本题主要考查了异面直线的所成角，以及点到线的距离的计算，同时考查了空间想象能力、计算能力和推理能力，属于中档题19如图，正方体abcda1b1c1d1的棱长为1，e，f，m，n分别是a1b1，bc，c1d1，b1c1的中点（1）求直线ef与mn的夹角；（2）求直线mf与平面enf所成角的余弦值；（3）求二面角nefm的平面角的余弦值考点：二面角的平面角及求法；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角专题：空间位置关系与距离分析：（1）如图所示，建立空间直角坐标系计算，即可得出直线ef与mn的夹角（2）由mn平面enf，可取为平面enf的一个法向量，设直线mf与平面enf所成角为，利用sin=，可得cos（3）由mn平面enf，可取为平面enf的一个法向量，设平面efm的法向量为=（x，y，z），利用，可得，利用=即可得出解答：解：（1）如图所示，建立空间直角坐标系a（0，0，0），b（1，0，0），f，m，n则=，=0，直线ef与mn的夹角为90（2）=mn平面enf，取=为平面enf的一个法向量，设直线mf与平面enf所成角为，则sin=，cos=（3）mn平面enf，取=为平面enf的一个法向量，设平面efm的法向量为=（x，y，z），=（0，1，0），则，则，取=（2，0，1），则=点评：本题考查了正方体的性质、线面垂直的性质与判定定理、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题20在四棱锥pabcd中，abc=acd=90，bac=cad=60，pa平面abcd，e为pd的中点，pa=2ab=2（）求四棱锥pabcd的体积v；（）若f为pc的中点，求证：平面pac平面aef；（）求二面角eacd的大小考点：空间点、线、面的位置；与二面角有关的立体几何综合题专题：计算题；证明题分析：（）把四边形面积分成2个直角三角形面积之和，代入棱锥体积公式进行计算（）先证 cd平面pac，由三角形中位线的性质得efcd，得到ef平面pac，从而证得平面pac平面aef（）由三垂线定理作出eqm为二面角eacd的平面角，并证明之，解直角三角形eqm，求出eqm的大小解答：解：（）在rtabc中，ab=1，bac=60，ac=2（1分）在rtacd中，ac=2，cad=60，ad=4（2分）（4分）则（5分）（）pa平面abcd，pacd（6分）又accd，paac=a，cd平面pac（7分）e、f分别为pd、pc中点，efcd（8分）ef平面pac（9分）ef平面aef，平面pac平面aef（10分）（）取ad的中点m，连接em，则empa，em平面acd，过m作mqac于q，连接eq，则eqm为二面角eacd的平面角（12分）m为ad的中点，mqac，cdac，又，故eqm=30即三面角eacd的大小为30（14分）点评：本题考查用分割法求出棱锥的底面积，直线与平面垂直的判定以及求二面角的大小的方法21已知椭圆c1、抛物线c2的焦点均在x轴上，c1的中心和c2的顶点均为坐标原点o，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于表中：x324y204（）求c1、c2的标准方程；（）请问是否存在直线l同时满足条件：（）过c2的焦点f；（）与c1交于不同两点q、r，且满足？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由；（）已知椭圆c1的左顶点为a，过a作两条互相垂直的弦am、an分别另交椭圆于m、n两点当直线am的斜率变化时，直线mn是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）设抛物线c2：y2=2mx（m0），则有，据此验证4个点知：，（4，4）在抛物线上，即可得出c2：y2=4x设c1：，把点（2，0），代入解出即可（ii）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点f（1，0），设其方程为y=k（x1），与c1的交点坐标为q（x1，y1），r（x2，y2）把直线方程与椭圆方程联立可得（1+4k2）x28k2x+4（k21）=0，得到根与系数的关系，由，kd =x1x2+y1y2=0，把根与系数的关系代入解得k即可得出（iii）设直线am的斜率为k（k0），则am：y=k（x+2），an：f分别与椭圆的方程联立可得xm，ymxn，ynk可得mn的直线方程为y=，令y=0，解出即可解答：解：（）设抛物线c2：y2=2mx（m0），则有，据此验证4个点知：，（4，4）在抛物线上，可得c2：y2=4x设c1：，把点（2，0），代入得：，解得，c1的方程为=1（）验证直线l的斜率不存在时，不满足题意；当直线l斜率存在时，假设存在直线l过抛物线焦点f（1，0），设其方程为y=k（x1），与c1的交点坐标为q（x1，y1），r（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x28k2x+4（k21）=0，于是，=k2x1x2（x1+x2）+1=，由，=x1x2+y1y2=0（*），将、代入（*）式，得 =0，解得k=2；存