（挑战）中考数学 压轴题第六版精选 1.6 因动点产生的面积问题.doc

1.6 因动点产生的面积问题例 1 2012年菏泽市中考第21题如图1，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为a(0, 1)、b(2, 0)、o(0, 0)，将此三角板绕原点o逆时针旋转90，得到三角形abo（1）一抛物线经过点a、b、b，求该抛物线的解析式；（2）设点p是第一象限内抛物线上的一个动点，是否存在点p，使四边形pbab的面积是abo面积的4倍？若存在，请求出点p的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，试指出四边形pbab是哪种形状的四边形？并写出它的两条性质图1动感体验请打开几何画板文件名“12菏泽21”，拖动点p在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形pbab是等腰梯形时，四边形pbab的面积是abo面积的4倍请打开超级画板文件名“12菏泽21”，拖动点p在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，当四边形pbab是等腰梯形时，四边形pbab的面积是abo面积的4倍思路点拨1四边形pbab的面积是abo面积的4倍，可以转化为四边形pbob的面积是abo面积的3倍2联结po，四边形pbob可以分割为两个三角形3过点向x轴作垂线，四边形pbob也可以分割为一个直角梯形和一个直角三角形满分解答（1）aob绕着原点o逆时针旋转90，点a、b的坐标分别为(1, 0) 、(0, 2)因为抛物线与x轴交于a(1, 0)、b(2, 0)，设解析式为ya(x1)(x2)，代入b(0, 2)，得a1所以该抛物线的解析式为y(x1)(x2) x2x2（2）sabo1如果s四边形pbab4 sabo4，那么s四边形pbob3 sabo3如图2，作pdob，垂足为d设点p的坐标为 (x，x2x2)所以解方程x22x23，得x1x21所以点p的坐标为(1，2)图2 图3 图4（3）如图3，四边形pbab是等腰梯形，它的性质有：等腰梯形的对角线相等；等腰梯形同以底上的两个内角相等；等腰梯形是轴对称图形，对称轴是经过两底中点的直线考点伸展第（2）题求四边形pbob的面积，也可以如图4那样分割图形，这样运算过程更简单所以甚至我们可以更大胆地根据抛物线的对称性直接得到点p：作aob关于抛物线的对称轴对称的boe，那么点e的坐标为(1，2)而矩形ebod与aob、bop是等底等高的，所以四边形ebab的面积是abo面积的4倍因此点e就是要探求的点p例 2 2012年河南省中考第23题如图1，在平面直角坐标系中，直线与抛物线yax2bx3交于a、b两点，点a在x轴上，点b的纵坐标为3点p是直线ab下方的抛物线上的一动点（不与点a、b重合），过点p作x轴的垂线交直线ab于点c，作pdab于点d（1）求a、b及sinacp的值；（2）设点p的横坐标为m用含m的代数式表示线段pd的长，并求出线段pd长的最大值；连结pb，线段pc把pdb分成两个三角形，是否存在适合的m的值，使这两个三角形的面积比为910？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12河南23”，拖动点p在直线ab下方的抛物线上运动，可以体验到，pd随点p运动的图象是开口向下的抛物线的一部分，当c是ab的中点时，pd达到最大值观察面积比的度量值，可以体验到，左右两个三角形的面积比可以是910，也可以是109思路点拨1第（1）题由于cp/y轴，把acp转化为它的同位角2第（2）题中，pdpcsinacp，第（1）题已经做好了铺垫3pcd与pcb是同底边pc的两个三角形，面积比等于对应高dn与bm的比4两个三角形的面积比为910，要分两种情况讨论满分解答（1）设直线与y轴交于点e，那么a(2,0)，b(4,3)，e(0,1)在rtaeo中，oa2，oe1，所以所以因为pc/eo，所以acpaeo因此将a(2,0)、b(4,3)分别代入yax2bx3，得解得，（2）由，得所以所以pd的最大值为（3）当spcdspcb910时，；当spcdspcb109时，图2考点伸展第（3）题的思路是：pcd与pcb是同底边pc的两个三角形，面积比等于对应高dn与bm的比而，bm4m当spcdspcb910时，解得当spcdspcb109时，解得例 3 2011年南通市中考第28题如图1，直线l经过点a(1，0)，且与双曲线(x0)交于点b(2，1)过点(p1)作x轴的平行线分别交曲线(x0)和(x0)于m、n两点（1）求m的值及直线l的解析式；（2）若点p在直线y2上，求证：pmbpna；（3）是否存在实数p，使得samn4samp？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“11南通28”，拖动点p在射线ab上运动，可以体验到，当直线mn经过（0，2）点时，图形中的三角形都是等腰直角三角形；amn和amp是两个同高的三角形，mn4mp存在两种情况思路点拨1第（2）题准确画图，点的位置关系尽在图形中2第（3）题把samn4samp转化为mn4mp，按照点m与线段np的位置关系分两种情况讨论满分解答（1）因为点b(2，1)在双曲线上，所以m2设直线l的解析式为，代入点a(1，0)和点b(2，1)，得 解得 所以直线l的解析式为（2）由点(p1)的坐标可知，点p在直线上x轴的上方如图2，当y2时，点p的坐标为(3，2)此时点m的坐标为(1，2)，点n的坐标为(1，2)由p(3，2)、m(1，2)、b(2，1)三点的位置关系，可知pmb为等腰直角三角形由p(3，2)、n(1，2)、a(1，0)三点的位置关系，可知pna为等腰直角三角形所以pmbpna图2 图3 图4（3）amn和amp是两个同高的三角形，底边mn和mp在同一条直线上当samn4samp时，mn4mp如图3，当m在np上时，xmxn4(xpxm)因此解得或（此时点p在x轴下方，舍去）此时如图4，当m在np的延长线上时，xmxn4(xmxp)因此解得或（此时点p在x轴下方，舍去）此时考点伸展在本题情景下，amn能否成为直角三角形？情形一，如图5，amn90，此时点m的坐标为（1，2），点p的坐标为（3，2）情形二，如图6，man90，此时斜边mn上的中线等于斜边的一半不存在anm90的情况图5 图6例4 2011年上海市松江区中考模拟第24题如图1，在平面直角坐标系xoy中，直角梯形oabc的顶点o为坐标原点，顶点a、c分别在x轴、y轴的正半轴上，cboa，oc4，bc3，oa5，点d在边oc上，cd3，过点d作db的垂线de，交x轴于点e （1）求点e的坐标；（2）二次函数yx2bxc的图象经过点b和点e求二次函数的解析式和它的对称轴；如果点m在它的对称轴上且位于x轴上方，满足scem2sabm，求点m的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“11松江24”，拖动点m在抛物线的对称轴上运动，观察面积比的度量值，可以体验到，有两个时刻，面积的比值等于2思路点拨1这三道题目步步为赢，错一道题目，就要影响下一道的计算2点m在抛物线的对称轴上且位于x轴上方，要分两种情况讨论，分别为点m在线段fb和fb的延长线上因为用点m的纵坐标表示abm的底边长，因点m的位置不同而不同满分解答（1）因为bcoa，所以bccd因为cdcb3，所以bcd是等腰直角三角形因此bcd45又因为bccd，所以ode45所以ode是等腰直角三角形，oeod1所以点e的坐标是（1，0）（2）因为抛物线yx2bxc经过点b（3，4）和点e（1，0），所以 解得所以二次函数的解析式为yx26x5，抛物线的对称轴为直线x3如图2，如图3，设抛物线的对称轴与x轴交于点f，点m的坐标为（3，t）（）如图2，当点m位于线段bf上时，解方程，得此时点m的坐标为（3，）（）如图3，当点m位于线段fb延长线上时，解方程，得此时点m的坐标为（3，8）图2 图3考点伸展对于图2，还有几个典型结论：此时，c、m、a三点在同一条直线上；cem的周长最小可以求得直线ac的解析式为，当x3时，因此点m（3，）在直线ac上因为点a、e关于抛物线的对称轴对称，所以memcmamc当a、m、c三点共线时，memc最小，cem的周长最小例5 2010年广州市中考第25题如图1，四边形oabc是矩形，点a、c的坐标分别为(3,0)，(0,1)点d是线段bc上的动点（与端点b、c不重合），过点d作直线交折线oab于点e（1）记ode的面积为s，求s与b的函数关系式；（2）当点e在线段oa上时，若矩形oabc关于直线de的对称图形为四边形o1a1b1c1，试探究四边形o1a1b1c1与矩形oabc的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“10广州25”，拖动点d由c向b运动，观察s随b变化的函数图象，可以体验到，e在oa上时，s随b的增大而增大；e在ab上时，s随b的增大而减小双击按钮“第（3）题”，拖动点d由c向b运动，可以观察到，e在oa上时，重叠部分的形状是菱形，面积不变双击按钮“第（2）题”可以切换思路点拨1数形结合，用b表示线段oe、cd、ae、be的长2求ode的面积，要分两种情况当e在oa上时，oe边对应的高等于oc；当e在ab边上时，要利用割补法求ode的面积3第（3）题中的重叠部分是邻边相等的平行四边形4图形翻着、旋转等运动中，计算菱形的边长一般用勾股定理满分解答(1)如图2，当e在oa上时，由可知，点e的坐标为(2b,0)，oe2b此时ssode如图3，当e在ab上时，把y1代入可知，点d的坐标为(2b2,1)，cd2b2，bd52b把x3代入可知，点e的坐标为，ae，be此时ss矩形oabcsoae sbde socd (2)如图4，因为四边形o1a1b1c1与矩形oabc关于直线de对称，因此dmdn，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形dmen是菱形作dhoa，垂足为h由于cd2b2，oe2b，所以eh2设菱形dmen的边长为m在rtdeh中，dh1，nh2m，dnm，所以12(2m)2m2解得所以重叠部分菱形dmen的面积为 图2 图3 图4考点伸展把本题中的矩形oabc绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为，如图7所示 图5 图6 图7例 6 2010年扬州市中考第28题如图1，在abc中，c90，ac3，bc4，cd是斜边ab上的高，点e在斜边ab上，过点e作直线与abc的直角边相交于点f，设aex，aef的面积为y（1）求线段ad的长；（2）若efab，当点e在斜边ab上移动时，求y与x的函数关系式（写出自变量x的取值范围）；当x取何值时，y有最大值？并求出最大值（3）若点f在直角边ac上（点f与a、c不重合），点e在斜边ab上移动，试问，是否存在直线ef将abc的周长和面积同时平分？若存在直线ef，求出x的值；若不存在直线ef，请说明理由 图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“10扬州28”，拖动点e在ab上运动，从y随x变化的图象可以体验到，当f在ac上时，y随x的增大而增大；当f在bc上时，y随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分，y的最大值对应抛物线的顶点双击按钮“第（3）题”，我们已经设定好了ef平分abc的周长，拖动点e，观察图象，可以体验到，“面积aef”的值可以等于3，也就是说，存在直线ef将abc的周长和面积同时平分双击按钮“第（2）题”可以切换。思路点拨1第（1）题求得的ad的长，就是第（2）题分类讨论x的临界点2第（2）题要按照点f的位置分两种情况讨论3第（3）题的一般策略是：先假定平分周长，再列关于面积的方程，根据方程的解的情况作出判断满分解答(1) 在rtabc中， ac3，bc4，所以ab5在rtacd中，(2) 如图2，当f在ac上时，在rtaef中，所以如图3，当f在bc上时，在rtbef中，所以当时，的最大值为；当时，的最大值为因此，当时，y的最大值为 图2 图3 图4(3)abc的周长等于12，面积等于6先假设ef平分abc的周长，那么aex，af6x，x的变化范围为3x5因此解方程，得因为在3x5范围内（如图4），因此存在直线ef将abc的周长和面积同时平分考点伸展如果把第（3）题的条件“点f在直角边ac上”改为“点f在直角边bc上”，那么就不存在直线ef将abc的周长和面积同时平分先假设ef平分abc的周长，那么aex，be5x，bfx1因此解方程整理，得此方程无实数根例7 2009年兰州市中考第29题如图1，正方形 abcd中，点a、b的坐标分别为（0，10），（8，4），点c在第一象限动点p在正方形abcd的边上，从点a出发沿abcd匀速运动，同时动点q以相同速度在x轴上运动，当p点到d点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒（1）当p点在边ab上运动时，点q的横坐标（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图2所示，请写出点q开始运动时的坐标及点p运动速度；（2）求正方形边长及顶点c的坐标；（3）在（1）中当t为何值时，opq的面积最大，并求此时p点的坐标（4）如果点p、q保持原速度速度不变，当点p沿abcd匀速运动时，op与pq能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由 图1 图2动感体验 请打开几何画板文件名“09兰州29”，拖动点q在x轴上运动，可以体验到，点q运动的起点为（1，0）；当p在ab上时，opq的面积随x变化的图象是开口向下的抛物线的一部分；观察点p与oq的垂直平分线的位置关系，可以体验到，有两个时刻，po=pq双击按钮“popq，p在ab上”和“popq，p在cd上”，可以准确显示popq思路点拨1过点b、c、p向x轴、y轴作垂线段，就会构造出全等的、相似的直角三角形，出现相等、成比例的线段，用含有t的式子表示这些线段是