高中数学 第八章 解三角形 8.1 正弦定理（二）学案 湘教版必修4.doc

8.1正弦定理(二)学习目标1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题.知识链接以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是.(1)在abc中，若，则a90(2)在abc中，若sin2asin2b，则ab(3)在abc中，若sinasinb，则ab；反之，若ab，则sinasinb(4)在abc中，答案(2)解析对于(1)，由正弦定理可知，sinbcosb，sinccosc，bc45，故a90，故(1)正确.对于(2)，由sin2asin2b可得ab或2a2b，ab或a2b2c2，故(2)错误.对于(3)，在abc中，sinasinbabab，故(3)正确.对于(4)，因为，所以，故(4)正确.预习导引1.正弦定理的常见变形(1)sinasinbsincabc；(2)2r；(3)a2rsina，b2rsinb，c2rsinc；(4)sina，sinb，sinc.2.三角变换公式(1)sin ()sincoscossin；(2)sin ()sincoscossin；(3)sin22sincos.要点一利用正弦定理判断三角形的形状例1在abc中，若sina2sinbcosc，且sin2asin2bsin2c，试判断abc的形状.解方法一在abc中，根据正弦定理：2r(r为abc外接圆的半径).sin2asin2bsin2c，222，即a2b2c2.a90，bc90.由sina2sinbcosc，得sin902sinbcos(90b)，sin2b.b是锐角，sinb，b45，c45.abc是等腰直角三角形.方法二在abc中，根据正弦定理：sina，sinb，sinc.sin2asin2bsin2c，a2b2c2，abc是直角三角形且a90.a180(bc)，sina2sinbcosc，sin(bc)2sinbcosc.sinbcosccosbsinc0，即sin(bc)0.bc0，即bc.abc是等腰直角三角形.规律方法依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用abc这个结论.在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.跟踪演练1在abc中，已知a2tanbb2tana，试判断abc的形状.解在abc中，由正弦定理，.又a2tanbb2tana，sinacosasinbcosb，即sin2asin2b.2a2b或2a2b，即ab或ab.abc为等腰三角形或直角三角形.要点二利用正弦定理求最值或范围例2在锐角abc中，角a，b，c分别对应边a，b，c，且a2bsina，求cosasinc的取值范围.解设r为abc外接圆的半径.a2bsina，2rsina4rsinbsina，sinb.b为锐角，b.令ycosasinccosasin(ba)cosasincosasincosacossinacosasinasin.由锐角abc知，ba，a.a，sin，sin，即y0，所以0b，所以cosb1.因为2cosb，所以12cosb2，故12.要点三正弦定理与三角变换的综合例3已知abc的三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若ac2b，且2cos2b8cosb50，求角b的大小并判断abc的形状.解2cos2b8cosb50，2(2cos2b1)8cosb50.4cos2b8cosb30，即(2cosb1)(2cosb3)0.解得cosb或cosb(舍去).0b，b.ac2b.由正弦定理得sinasinc2sinb2sin.sinasin(a)，sinasincosacossina.化简得sinacosa，sin(a)1.0a，a.a，c.abc是等边三角形.规律方法借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明.跟踪演练3已知方程x2(bcosa)xacosb0的两根之积等于两根之和，且a、b为abc的两边，a、b为两内角，试判断这个三角形的形状.解设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得bcosaacosb.由正弦定理得2rsinbcosa2rsinacosb，sinacosbcosasinb0，sin(ab)0.a、b为abc的内角，0a，0b，absinb，则角a与角b的大小关系为()a.abb.asinb2rsina2rsinb(r为abc外接圆的半径)abab.2.在abc中，已知a150，a3，则其外接圆的半径r的值为()a.3b.c.2d.不确定答案a解析在abc中，由正弦定理得62r，r3.3.在abc中，ac，bc2，b60，则角c的值为()a.45b.30c.75d.90答案c解析由正弦定理得，sina.bc2ac，a60.a45.c75.4.在abc中，若，则abc是()a.直角三角形b.等边三角形c.钝角三角形d.等腰直角三角形答案b解析由正弦定理可得，tanatanbtanc，abc.5.已知一三角形中a2，b6，a30，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形.解a2，b6，ab，a30bsina，所以本题有两解，由正弦定理得：sinb，故b60或120.当b60时，c90，c4；当b120时，c30，ca2.所以b60，c90，c4或b120，c30，c2.1.已知a，b和a，用正弦定理解三角形的各种情况：(1)列表如下：a为锐角a为钝角或直角图形关系式absinabsinaab解的个数一解两解一解一解(2)也可利用正弦定理sinb进行讨论：如果sinb1，则问题无解；如果sinb1，则问题有一解；如果求出sinb0)，三式联立可求得ak，bk，ck，abc753，即sinasinbsinc753.2.在abc中，a2bcosc，则这个三角形一定是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰或直角三角形答案a解析由正弦定理得sina2sinbcosc，sin (bc)2sinbcosc，sinbcosccosbsinc2sinbcosc，sin (bc)0，bc，故选a.3.在abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.若3a2b，则的值为()a.b.c.1d.答案d解析，.3a2b，.2()212()211.4.在abc中，若b1，c，c，则a的值为()a.1b.2c.d.答案a解析由正弦定理，有，sinb.c为钝角，b必为锐角，b，a.ab1.5.在单位圆上有三点a，b，c，设abc三边长分别为a，b，c，则.答案7解析abc的外接圆直径为2r2，2r2，2147.6.在abc中，a60，b4，a4，则b.答案45解析由正弦定理，得sinb，ab，ab.b只有一解.b45.7.不解三角形，判断下列三角形解的个数.(1)a5，b4，a120；(2)a9，b10，a60；(3)c50，b72，c135.解(1)sinbsin120，ab，b为锐角，所以三角形有一解.(2)sinbsin60，而1，所以当b为锐角时，满足sinb的角有60b90，故对应的钝角b有90b120，也满足ab180，故三角形有两解.(3)cb，c180，故三角形无解.二、能力提升8.在abc中，则abc一定是()a.等腰三角形b.直角三角形c.等腰直角三角形d.等腰三角形或直角三角形答案d解析在abc中，acosabcosb，由正弦定理，得2rsinacosa2rsinbcosb，sin2asin2b.2a2b或2a2b180，ab或ab90.故abc为等腰三角形或直角三角形.9.在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，向量m(，1)，n(cosa，sina)，若mn，且acosbbcosacsinc，则角a，b的大小为()a.，b.，c.，d.，答案c解析mn，cosasina0，tana，a，由正弦定理得sinacosbsinbcosasin2c，sin(ab)sin2c，即sinc1，c，b.10.abc中，a，bc3，则abc的周长为(用b表示).答案6sin3解析在abc中，由正弦定理得，化简得ac2sinb，化简得ab2sin，所以三角形的周长为：3acab32sinb2sin33sinb3cosb6sin3.11.在abc中，角a、b、c的对边分别为a、b、c，已知2bac，ab2c，求sinc的值.解2bac，abc180，b60，ac120，0a120，0c120且a120c.ab2c，由正弦定理得sinasinb2sinc，sin (120c)2sinc，即coscsinc2sinc，sinccosc.sin (c30).30c3090，c3045.c75.sincsin (4530)sin45cos30cos45sin30.12.在abc中，已知，且cos (ab)cosc1cos2c.(1)试确定abc的形状；(2)求的取值范围.解(1)在abc中，设其外接圆半径为r，根据正弦定理得sina，sinb，代入，得：，b2a2ab.cos(ab)cosc1cos2c，cos(ab)cos(ab)2sin2c，sinasinbsin2c.由正弦定理，得2，abc2.把代入得，b2a2c2，即a2c2b2.abc是直角三角形.(2)由(1)知b，ac，ca.sincsincosa.根