（江苏专用）高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文.doc

【步步高】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 文1角的概念(1)任意角：定义：角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角(2)所有与角终边相同的角，连同角在内，构成的角的集合是s|k360，kz(3)象限角：使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限2弧度制(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度制和弧度制的互化：180 rad,1 rad，1 rad.(3)扇形的弧长公式：l|r，扇形的面积公式：slr|r2.3任意角的三角函数任意角的终边与单位圆交于点p(x，y)时，sin y，cos x，tan (x0)三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sin rcos rtan |k，kz4.三角函数线如下图，设角的终边与单位圆交于点p，过p作pmx轴，垂足为m，过a(1,0)作单位圆的切线与的终边或终边的反向延长线相交于点t.三角函数线有向线段mp为正弦线；有向线段om为余弦线；有向线段at为正切线【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角()(2)角的三角函数值与其终边上点p的位置无关()(3)角终边上点p的坐标为(，)，那么sin ，cos ；同理角终边上点q的坐标为(x0，y0)，那么sin y0，cos x0.()(4)(0，)，则tan sin .()(5)为第一象限角，则sin cos 1.()1已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若p(4，y)是角终边上一点，且sin ，则y .答案8解析因为sin ，所以y0，即m.(2)由三角函数定义可知q点的坐标(x，y)满足xcos ，ysin.即q点的坐标为.命题点2三角函数值的符号例4(1)若sin 0且tan 0，则是第 象限角(2)设是第三象限角，且cos ，则是第 象限角答案(1)三(2)二解析(1)sin 0，的终边落在第三、四象限或y轴的负半轴上；又tan 0，在第一象限或第三象限，故在第三象限(2)由是第三象限角，知为第二或第四象限角，cos ，cos 0，综上知为第二象限角命题点3三角函数线例5满足cos 的角的集合为 答案解析作直线x交单位圆于c、d两点，连结oc、od，则oc与od围成的区域(图中阴影部分)即为角终边的范围，故满足条件的角的集合为.思维升华(1)利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.(2)根据三角函数定义中x、y的符号来确定各象限内三角函数的符号，理解并记忆：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”(3)利用三角函数线解三角不等式时要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性正确写出角的范围(1)已知角的余弦线是单位长度的有向线段，那么角的终边在 x轴上； y轴上；直线yx上； 直线yx上(2)已知角的终边经过点(3a9，a2)，且cos 0，sin 0，则实数a的取值范围是 答案(1)(2)(2,3解析(1)1，角的终边在x轴上(2)cos 0，sin 0，角的终边落在第二象限或y轴的正半轴上2a3.6数形结合思想在三角函数中的应用典例(1)如图，在平面直角坐标系xoy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点p的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于c(2,1)时，的坐标为 (2)函数ylg(34sin2x)的定义域为 思维点拨(1)点p转动的弧长是本题的关键，可在图中作三角形，寻找p点坐标和三角形边长的关系(2)求函数的定义域可转化为解不等式sin x，利用三角函数线可直观清晰得出x的范围解析(1)如图所示，过圆心c作x轴的垂线，垂足为a，过p作x轴的垂线与过c作y轴的垂线交于点b.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧2，即圆心角pca2，则pcb2，所以pbsin(2)cos 2，cbcos(2)sin 2，所以xp2cb2sin 2，yp1pb1cos 2，所以(2sin 2,1cos 2)(2)34sin2x0，sin2x，sin x.利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，x(kz)答案(1)(2sin 2,1cos 2)(2)(kz)温馨提醒(1)解决和旋转有关的问题要抓住旋转过程中角的变化，结合弧长公式、三角函数定义寻找关系(2)利用三角函数线解三角不等式要在单位圆中先作出临界情况，然后观察适合条件的角的位置方法与技巧1在利用三角函数定义时，点p可取终边上任一点，如有可能取终边与单位圆的交点，则opr一定是正值2三角函数符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦3在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧失误与防范1注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90的角是概念不同的三类角第一类是象限角，第二、第三类是区间角2角度制与弧度制可利用180 rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用3已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况a组专项基础训练 (时间：40分钟)1给出下列四个命题：()是第二象限角；是第三象限角；400是第四象限角；315是第一象限角其中正确的命题有 个答案3解析是第三象限角，故错误.，从而是第三象限角，正确40036040，从而正确31536045，从而正确2若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角(0，)的弧度数为 答案解析设圆半径为r，则其内接正三角形的边长为r，所以r|r，所以.3设是第二象限角，p(x,4)为其终边上的一点，且cos x，则tan .答案解析因为是第二象限角，所以cos x0，即x0时，r5a，此时sin ，cos ，则2sin cos .当a0时，r5a，此时，sin ，cos ，则2sin cos .5给出下列命题：第二象限角大于第一象限角；三角形的内角是第一象限角或第二象限角；不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；若sin sin ，则与的终边相同；若cos 0，则是第二或第三象限的角其中正确命题的个数是 答案1解析举反例：第一象限角370不小于第二象限角100，故错；当三角形的内角为90时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故错；正确；由于sin sin ，但与的终边不相同，故错；当cos 1，时既不是第二象限角，也不是第三象限角，故错综上可知只有正确6已知扇形的圆心角为，面积为，则扇形的弧长等于 答案解析设扇形半径为r，弧长为l，则解得7已知角2k(kz)，若角与角的终边相同，则y的值为 答案1解析由2k(kz)及终边相同的概念知，角的终边在第四象限，又角与角的终边相同，所以角是第四象限角，所以sin 0，tan 0；与2 200终边相同的角是40，所以2 200是第四象限角，则cos(2 200)0；103，所以10是第二象限角，则tan(10)0.13设mp和om分别是角的正弦线和余弦线，则给出的以下不等式：mpom0；om0mp；ommp0；mp0om.其中正确的是 答案解析角在第二象限，om0，正确14已知角的终边经过点p(，m) (m0)且sin m，试判断角所在的象限，并求cos 和tan 的值解由题意，得r，所以sin m.因为m0，所以m，故角是第二或第三象限角当m时，r2，点p的坐标为(，)，角是第二象限角，所以cos ，tan ；当m时，r2，点p的坐标为(，)，角是第三象限角，所以cos ，tan .15如图所示，动点p，q从点a(4,0)出发沿圆周运动，点p按逆时针方向每秒钟转弧度，点q按