高中数学 第四章 函数应用 2 实际问题的函数建模学案 北师大版必修1.doc

2实际问题的函数建模学习目标1.会利用已知函数模型解决实际问题(重点)；2.能建立函数模型解决实际问题(重、难点)预习教材p120129完成下列问题：知识点一常见函数模型常用函数模型(1)一次函数模型ykxb(k，b为常数，k0)(2)二次函数模型yax2bxc(a，b，c为常数，a0)(3)指数函数模型ybaxc(a，b，c为常数，b0，a0且a1)(4)对数函数模型ymlogaxn(m，a，n为常数，m0，a0且a1)(5)幂函数模型yaxnb(a，b为常数，a0)(6)分段函数模型y【预习评价】1(1)斜率k的取值是如何影响一次函数的图像和性质的？(2)在幂函数模型的解析式中，的正负如何影响函数的单调性？提示(1)k0时直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k0，0时，函数的图像在第一象限内是上升的，在(0，)上为增函数；当x0，0且a1，m0)，在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题都可用指数型函数模型来表示对数型函数模型：ymlogaxc(m0，a0且a1)，对数型函数模型一般给出函数关系式，然后利用对数的运算求解【训练2】某城市2009年底人口总数为100万人，如果年平均增长率为1.2%，试解答以下问题：(1)写出经过x年后，该城市人口总数y(万人)与x(年)的函数关系；(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算经过多少年以后，该城市人口将达到120万人(精确到1年)(参考数据：1.01291.113,1.012101.127，lg 1.20.079，lg 20.301 0，lg 1.0120.005)解(1)2009年底人口总数为100万人，经过1年，2010年底人口总数为1001001.2%100(11.2%)，经过2年，2011年底人口总数为100(11.2%)100(11.2%)1.2%100(11.2%)2，经过3年，2012年底人口总数为100(11.2%)2100(11.2%)21.2%100(11.2%)3，所以经过x年后，该城市人口总数为100(11.2%)x，所以y100(11.2%)x(2)10年后该城市人口总数为100(11.2%)10112.7(万人)(3)由题意得100(11.2%)x120，两边取常用对数得lg100(11.2%)xlg 120，整理得2xlg 1.0122lg 1.2，得x16，所以大约16年以后，该城市人口将达到120万人题型三分段函数模型【例3】如图所示，等腰梯形abcd的两底分别为ad2，bc1，bad45，直线mnad交ad于m，交折线abcd于n，记amx，试将梯形abcd位于直线mn左侧的面积y表示为x的函数，并写出函数的定义域和值域解如图，过b，c分别作ad的垂线，垂足分别为h和g，则ah，ag，当m位于h左侧时，amx，mnx，ysamnx2,0x当m位于h，g之间时，yahhbhmmnx，x当m位于g，d之间时，ys梯形abcdsmdn(21)(2x)(2x)x22x，x2所求函数的关系式为y函数的定义域为0,2，值域为规律方法1.分段函数模型是日常生活中常见的函数模型对于分段函数，一要注意规范书写格式；二要注意各段的定义域的表示方法，对于中间的各个分点，一般是“一边闭，一边开”，以保证在各分点的“不重不漏”2解决分段函数问题需注意几个问题：(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值(3)一般地，分段函数由几段组成，必须注意考虑各段的自变量的取值范围【训练3】通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间讲座开始时，学生的兴趣激增，中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，分析结果和实验表明，用f(x)表示学生掌握和接受概念的能力(f(x)值越大，表示接受的能力越强)，x表示提出和讲授概念的时间(单位：min)，可有以下的公式：f(x)(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长时间？(2)开讲后5 min与开讲后20 min比较，学生的接受能力何时强一些？(3)一个数学难题，需要55的接受能力以及13 min时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解(1)当0x10时，f(x)0.1x22.6x430.1(x13)259.9故f(x)在(0,10上单调递增，最大值为f(10)0.1(3)259.959；当16x30时，f(x)单调递减，f(x)31610759因此，开讲后10 min，学生达到最强的接受能力(值为59)，并维持6 min(2)f(5)0.1(513)259.959.96.453.5，f(20)3201074753.5f(5)因此，开讲后5 min学生的接受能力比开讲后20 min强一些(3)当0x10时，令f(x)55，则0.1(x13)24.9，(x13)249所以x20或x6.但0x10，故x6当16x30时，令f(x)55，则3x10755所以x17因此，学生达到(或超过)55的接受能力的时间为1761113(min)，所以老师来不及在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这道难题.互动探究题型四拟合函数模型的应用【探究1】图中一组函数图像，它们分别与其后所列的一个现实情境相匹配：情境a：一份30分钟前从冰箱里取出来，然后被放到微波炉里加热，最后放到餐桌上的食物的温度(将0时刻确定为食物从冰箱里被取出来的那一刻)；情境b：一个1970年生产的留声机从它刚开始的售价到现在的价值(它被一个爱好者收藏，并且被保存得很好)；情境c：从你刚开始放水洗澡，到你洗完后把水排掉这段时间浴缸里水的高度；情境d：根据乘客人数，每辆公交车一趟营运的利润其中情境a，b，c，d分别对应的图像是_解析对于a，加热时升温快，然后再变凉，易知为；对于b，这时的物品价值先下降，直到收藏后价值才会升值，因此显然为；对于c，由于洗澡一般是间歇性用水，所以易知水高度函数图像有多重折线，因此显然为；对于d，乘客人数越多，利润越大，显然是答案【探究2】环境污染已经严重危害人们的健康，某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为60，整治后前四个月的污染度下表：月数1234污染度6031130污染度为0后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模型从整治后第一个月开始工厂的污染模式：f(x)20|x4|(x1)，g(x)(x4)2(x1)，h(x)30|log2x2|(x1)，其中x表示月数，f(x)，g(x)，h(x)分别表示污染度问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由解用h(x)模拟比较理由：因为f(2)40，g(2)26.7，h(2)30，f(3)20，g(3)6.7，h(3)12.5由此可得h(x)更接近实际值，所以用h(x)模拟比较合理【探究3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x cm与当年灌溉面积y hm2.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x/cm灌溉面积y/hm2115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积y(hm2)随积雪深度x(cm)变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型yf(x)，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，求最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉的土地数量解(1)描点作图如图甲(2)从图甲中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型yaxb(a0)取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24,0,45.8)，代入yaxb，得用计算器可算得a1.8，b2.4这样，我们得到一个函数模型y1.8x2.4作出函数图像如图乙，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y1.8252.4，求得y47.4，即当最大积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.4 hm2规律方法对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题函数拟合与预测的一般步骤：(1)根据原始数据，绘出散点图；(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线；(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式；(4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据课堂达标1某商场在销售空调旺季的4天内的利润如下表所示.时间1234利润(千元)23.988.0115.99现构建一个销售这种空调的函数模型，应是下列函数中的()aylog2x by2xcyx2 dy2x解析逐个检验可得答案为b答案b2一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是()ay2t by120tcy2t(t0) dy120t(t0)答案d3里氏震级m的计算公式为：mlg alg a0，其中a是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，a0是相应的标准地震的振幅假设在一次地震中测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为_级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_倍解析由mlg alg a0知，mlg 1 000lg 0.0016，所以此次地震的级数为6级设9级地震的最大振幅为a1,5级地震的最大振幅为a2，则lglg a1lg a2(lg a1lg a0)(lg a2lg a0)954.所以10410 000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10 000倍答案610 0004用一根长为12 m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则能弯成的框架的最大面积是_m2解析设矩形的一边长为x m，则与这条边垂直的边长为m，所以矩形面积sxx26x(0x6)，当x3 m时，s最大9 m2答案95我国1999年至2002年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份1999200020012002x/年0123生产总值8.206 78.944 29.593 310.239 8(1)画出函数图形，猜想它们之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；(2)利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较解(1)画出函数图形，如图从函数的图形可以看出，画出的点近似地落在一条直线上设所求的函数为ykxb(k0)，把直线通过的两点(0,8.206 7)和(3,10.239 8)代入上式，解方程组，可得k0.677 7，b8.206 7因此，所求的函数关系式为yf(x)0.677 7x8.206 7(2)由得到的关系式计算出2000年和2001年的国内生产总值分别为f(1)0.677 718.206 78.884 4，f(2)0.677 728.206 79.562 1与实际的生产总值相比，误差不超过0.1