甘肃省天水一中高三数学下学期第一次诊断考试试题 理 新人教B版.doc

1 甘肃省天水市一中甘肃省天水市一中 20142014 届高三年级诊断考试届高三年级诊断考试 数学 理 试题数学 理 试题 命题人 黄国林命题人 黄国林 审题人 审题人 蔡恒录蔡恒录 第第 卷 选择题卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要 求的 1 若 i bia 43 25 a b 都是实数 i 为虚数单位 则 a b a 1 b 1 c 7 d 7 2 已知命题 p 且 a 0 有 命题 q 则下列r a2 1 a ar x3cossin xx 判断正确的是 a p 是假命题 b q 是真命题 c qp 是真命题 d 是真命题 qp 3 如图 设 d 是边长为 l 的正方形区域 e 是 d 内函数yx 与 2 yx 所构成 阴影部分 的区域 在 d 中任取一点 则该 点在 e 中的概率是 a 1 4 b 2 3 c 1 6 d 1 3 4 设 m 是abc 边 bc 上任意一点 n 为 am 的中点 若acaban 则 的值 为 a 4 1 b 3 1 c 2 1 d 1 5 执行如图所示的程序框图 输出的k的值为 a 4 b 5 c 6 d 7 6 八个一样的小球排成一排 涂上红 白两种颜色 5 个涂红色 3 个涂白色 若涂红色的小球恰好有三个连续 则不同涂法共有 a 36 种 b 30 种 c 24 种 d 20 种 7 已知函数 0 0 0 xe x xf x 则使函数mxxfxg 有 零点的实数m的取值范围是 a 1 0 b 1 0 c 1 d 2 1 8 若三角形 abc 中 sin a b sin a b sin2c 则此三角形的形状是 2 a 等腰三角形 b 直角三角形 c 等边三角形 d 等腰直角三角形 9 若某棱锥的三视图 单位 cm 如图所示 则该棱锥的体积等于 a 10 cm3 b 30 cm3 c 20 cm3 d 40 cm3 10 已知抛物线 2 2ypx 的焦点f与双曲线 22 1 79 xy 的右焦 点重合 抛物线的准线与x轴的交点为k 点a在抛物线上且 2 akaf 则 afk的面积为 a 4 b 8 c 16 d 32 11 dxxa n n 0 12 数列 n a 1 的前项和为 n s 数列 n b的通项公式为 8 nbn 则 nns b的最小值为 a 4 3 3 4 12 设函数 yf x 在 0 内有定义 对于给定的正数 k 定义函数 k f xf xk fx k f xk 取函数 ln1 x x f x e 恒有 k fxf x 则 a k 的最大值为 1 e b k 的最小值为 1 e c k 的最大值为 2 d k 的最小值为 2 第第 卷 非选择题卷 非选择题 共共 9090 分 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 二项式 1 nx x 的展开式中 仅有第 5 项的二项式系数最大 则其常数项是 14 设x y满足约束条件 1 1 2 210 x yx xy 向量 2 11 a byxm 且a a b b 则m的最小值为 15 如图 已知球o是棱长为1的正方体 1111 abcdabc d 的内切球 则平面 1 acd截球o的截面面积为 16 已知 f n 1 n n 经计算得 n 1 3 1 2 1 f 4 2 f 8 f 16 3 f 32 观察上 2 5 2 7 述结果 则可归纳出一般结论为 正视图侧视图 俯视图 5 3 43 9 题图 o ab c d a1 b1 c1d1 3 三 解答题 本大题共 6 道题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 本题满分本题满分 1212 分分 在 abc中 分别为内角a b c的对边 且cba 2 sin 2 sin 2 sin aabcbcbc 1 求角a的大小 2 求sinsinbc 的最大值 18 18 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 某班将要举行篮球投篮比赛 比赛规则是 每位选手可以选择在 a 区投篮 2 次或选择 在 b 区投篮 3 次 在 a 区每进一球得 2 分 不进球得 0 分 在 b 区每进一球得 3 分 不进 球得 0 分 得分高的选手胜出 已知某参赛选手在 a 区和 b 区每次投篮进球的概率分别是 9 10 和 1 3 如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准 问该选手应该选择哪个区投篮 请说明理由 求该选手在 a 区投篮得分高于在 b 区投篮得分的概率 1919 本题满分本题满分 1212 分分 如图 正方形 adef 与梯形 abcd 所在平面互相垂直 ad cd ab cd ab ad 2 2 1 cd 点 m 在线段 ec 上且不与 e c 重合 1 当点 m 是 ec 中点时 求证 bm 平面 adef 2 当平面 bdm 与平面 abf 所成锐二面角的余弦值 为 6 6 时 求三棱锥 m bde 的体积 20 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 已知椭圆 0 1 2 2 2 2 ba b y a x c 经过点 12 m 离心率为 2 2 1 求椭圆 c 的方程 2 过点 q 1 0 的直线 l 与椭圆 c 相交于 a b 两点 点 p 4 3 记直线 pa pb 的 斜率分别为 k1 k2 当 k1 k2 最大时 求直线 l 的方程 21 本题满分本题满分 1212 分分 已知函数 2 ln 1 a f xxar x 求 xf的单调区间 m f ab d c e 4 如果当1 x 且2x 时 ln1 2 xa xx 恒成立 求实数a的范围 请考生在题 请考生在题 2222 2323 2424 中任选一题作答 如果多做 则按所做的的第一题计 中任选一题作答 如果多做 则按所做的的第一题计 分 做题时用分 做题时用 2b2b 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑 22 22 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 已知 a b c d 为圆 o 上的四点 直线 de 为圆 o 的切线 ac de ac 与 bd 相交于 h 点 求证 bd 平分 abc 若 ab 4 ad 6 bd 8 求 ah 的长 23 23 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程坐标系与参数方程 在直角坐标系中 以原点为极点 x轴的正半轴为极轴建坐标 系 已知曲线 cos2sin 2 ac 0 a 已知过点 4 2 p的直线l的参数方程为 ty tx 2 2 4 2 2 2 直线l与曲线c分别交于nm 两点 写出曲线c和直线l的普通方程 若 pnmnpm成等比数列 求a的值 2424 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 5 5 不等式选讲不等式选讲 解不等式211xx 2 设 试求的最小值及相应的值 4 222 zyxzyxrzyx22 zyx 5 数学 理 答案 一 选择题 bcdca cbbcd ab 二 填空题 13 70 14 6 15 6 16 2 2 2 n n f 三 解答题 本大题共 6 道题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 1717 本题满分本题满分 1212 分分 答案 解 1 由已知 根据正弦定理得 2 222abc bcb c 即 3 分 222 abcbc 由余弦定理得 222 2cosabcbca 6 分 1 cos 120 2 aa 2 由 1 得 sinsinsinsin 60 bcbb 9 分 31 cossinsin 60 060 22 bbbb 故当时 取得最大值 1 12 分30b sinsinbc 1818 本题满分本题满分 1212 分分 答案 解 设该选手在a区投篮的进球数为x 则 999 2 2 10105 xbe x 故 则该选手在a区投篮得分的期望为 9 23 6 5 3 分 设该选手在b区投篮的进球数为y 则 11 3 31 33 ybe y 故 则该选手在b区投篮得分的期望为3 13 所以该选手应该选择a区投篮 6 分 设 该选手在a区投篮得分高于在b区投篮得分 为事件c 该选手在a区投 篮得 4 分且在b区投篮得 3 分或 0 分 为事件d 该选手在a区投篮得 2 分且在b区 投篮得 0 分 为事件e 则事件cde 且事件d与事件e互斥 7 分 6 81483 1009275 p d 9 分 1884 1002775 p e 11 分 3449 57575 p cp de 故该选手在a区投篮得分高于在b区投篮得分的概率为 49 75 12 分 19 19 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 解 1 以dadcde 分别为 x y z轴建立空间直角坐标系 则 2 0 0 2 2 0 0 4 0 0 0 2 0 2 1 abcem 2 0 1 bmadef 面的一个法向量 0 4 0 dc 0bm dc bmdc 即 bmadef面 4 分 2 依题意设 0 2 04 2 t mtt 设面bdm的法向量 1 nx y z 则220db nxy 2 0 2 t dm ntyz 令1y 则 1 2 1 1 4 t n t 面abf的法向量 2 1 0 0 n 12 12 12 2 16 cos 642 2 4 nn n n nn t 解得2t 10 分 0 2 1 m 为 ec 的中点 1 2 2 demcde ss b到面dem的距离2h 14 33 mbdedem vsh 12 分 另解 用传统方法证明相应给分 20 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 试题解析 1 由已知可得 222 22 1 2 cab aa 所以 22 2ab 1 分 7 又点 2 1 m在椭圆c上 所以 22 21 1 ab 2 分 由 解之 得 22 4 2ab 故椭圆c的方程为1 24 22 yx 4 分 2 解法一 当直线l的斜率为 0 时 则 12 kk 333 42424 5 分 当直线l的斜率不为 0 时 设 11 a x y 22 b xy 直线l的方程为1xmy 将 1xmy 代入 22 1 42 xy 整理得 22 2 230mymy 则 12 2 2 2 m yy m 12 2 3 2 y y m 又1 1 1xmy 2 2 1xmy 所以 1 12 1 3 4 y kk x 2 2 3 4 y x 12 12 3 3 3 3 yy mymy 1212 2 1212 93 93 yyy y m yym y y 22 2 22 23 93 22 23 93 22 m mm m mm mm aa 2 2 325 46 mm m 2 341 4812 m m 9 分 令41tm 则 12 2 32 4225 t kk tt 当0t 时即 1 4 m 时 12 3 4 kk 当0t 时 12 2 32 4225 t kk tt 32 25 4 2t t 12 73 124 kk 或 12 3 1 4 k k 当且仅当5 t 即1 m时 12 kk 取得最大值 11 分 由 得 直线l的方程为 10 xy 12 分 解法二 当直线l垂直于 x 轴时 则 12 kk 66 33 5 22 41416 a 当直线l与 x 轴不垂直时 设 11 a x y 22 b xy 直线l的方程为 1 yk x 8 将 1 yk x 代入 22 1 42 xy 整理得 2222 12 4240kxk xk 则 22 1212 22 424 1212 kk xxx x kk 又 11 1 yk x 22 1 yk x 所以 1 12 1 3 4 y kk x 2 2 3 4 y x 222 1212 1212 9 3 164 kkkx xk x x xxx x 2 2 325 46 kk k 令 2 2 325 46 kk h k k 由 0h k 得1k 或 2 3 k 所以当且仅当1k 时 12 k k 最大 所以直线l的方程为 10 xy 考点 椭圆的几何性质 直线与椭圆的位置关系 直线方程 基本不等式 应用导数研究 函数的最值 21 本题满分 12 分 答案 1 定义域为 设 当时 对称轴 所以在 上是增函数 2 分 当时 所以在 上是增函数 4 分 当时 令得 令解得 令解得 所以的单调递增区间和 的单调递减区间 6 分 2 可化为 设 由 1 知 9 当时 在上是增函数 若时 所以 若时 所以 所以 当时 式成立 10 分 当时 在是减函数 所以 式不成立 综上 实数的取值范围是 12 分 解法二 可化为 设 令 所以 在 由洛必达法则 所以 22 22 本题满分本题满分 1010 分分 选修选修 4 4 1 1 几何证明选讲几何证明选讲 答案 1 acdcdeacde 又切圆于点 de odcbdcde cbdacd 而 同弧 abdacd 10 abdcbd 所以 bd 平分 abc 5 分 2 由 1 知 又 abdcbd cadcbd cadabd 又为公 共角 所以与相似 adh dba dah 因为 ab 4 ad 6 bd 8