高考数学 玩转压轴题 专题3.11 切线处理情况多曲线不同法定度.doc

专题3.11 切线处理情况多曲线不同法定度【题型综述】圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数，利用导数法求出函数在点处的切线方程，特别是焦点在轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于（或y）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式，即可解出切线方程，注意关于（或y）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件，圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.【典例指引】类型一 导数法求抛物线切线例1 【2017课表1，文20】设a，b为曲线c：y=上两点，a与b的横坐标之和为4（1）求直线ab的斜率；（2）设m为曲线c上一点，c在m处的切线与直线ab平行，且ambm，求直线ab的方程类型二 椭圆的切线问题例2（2014广东20）（14分）已知椭圆的一个焦点为，离心率为.（1）求椭圆c的标准方程；（2）若动点为椭圆外一点，且点p到椭圆c的两条切线相互垂直，求点p的轨迹方程.类型三 直线与椭圆的一个交点例3.【2013年高考安徽卷】已知椭圆的焦距为4，且过点.（）求椭圆c的方程；（）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为.取点,连接，过点作的垂线交轴于点.点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆c一定有唯一的公共点？并说明理由.【解析】（1）因为椭圆过点 且 椭圆c的方程是（2）由题意，各点的坐标如上图所示，则的直线方程：化简得又，所以带入求得最后所以直线与椭圆只有一个公共点.类型四 待定系数求抛物线的切线问题例4 【2013年高考广东卷】已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点(1) 求抛物线的方程；(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；(3) 当点在直线上移动时，求的最小值（3）由抛物线的定义可知，所以联立，消去得， 当时，取得最小值为【扩展链接】1. 椭圆的切线方程：椭圆上一点处的切线方程是；椭圆外一点所引两条切线方程是.2. 双曲线的切线方程：双曲线上一点处的切线方程是；双曲线上一点所引两条切线方程是.3. 抛物线的切线方程：抛物线上一点处的切线方程是；抛物线上一点所引两条切线方程是.4.设抛物线的焦点为，若过点的直线分别与抛物线相切于两点，则.5.设椭圆:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.6.设双曲线:的焦点为，若过点的直线分别与椭圆相切于两点，则.【同步训练】1已知椭圆与抛物线y2=2px（p0）共焦点f2，抛物线上的点m到y轴的距离等于|mf2|1，且椭圆与抛物线的交点q满足|qf2|=（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点p作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于a、b两点，求此切线在x轴上的截距的取值范围【思路点拨】（1）由抛物线的性质，求得x=1是抛物线y2=2px的准线，则，求得p的值，求得焦点坐标，代入抛物线方程求得q点坐标，利用椭圆的定义，即可求得a的值，由b2=a2c2=8，即可求得椭圆方程；（2）将直线分别代入抛物线，由=0，求得km=1，将直线方程代入椭圆方程，求得0，代入即可求得m的取值范围，切线在x轴上的截距为，又，即可求得切线在x轴上的截距的取值范围（ 2）显然k0，m0，由，消去x，得ky24y+4m=0，由题意知1=1616km=0，得km=1，（7分）由，消去y，得（9k2+8）x2+18kmx+9m272=0，其中（9k2+8）（9m272）0，化简得9k2m2+80，（9分）又，得m48m290，解得0m29，（10分）切线在x轴上的截距为，又，切线在x轴上的截距的取值范围是（9，0）（12分）2.（2017鸡泽县校级模拟）已知椭圆c：+=1（ab0）的离心率为，其中一个顶点是双曲线=1的焦点（1）求椭圆c的标准方程；（2）过点p（0，3）的直线l与椭圆c相交于不同的两点a，b，过点a，b分别作椭圆的两条切线，求其交点的轨迹方程【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，其中一个顶点是双曲线=1的焦点，旬出方程组求出a，b，c，由此能求出椭圆c的标准方程（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设a（x1，y1），b（x2，y2），求出椭圆在点a处的切线方程为=1，椭圆在点b处的切线方程为=1，联立，得y=，求出交点的轨迹方程为y=当直线l的斜率不存在时，无交点由此能过求出过点a，b所作椭圆的两条切线的交点的轨迹方程（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+3，设a（x1，y1），b（x2，y2），设在a（x1，y1）处切线方程为yy1=k1（xx1），与椭圆c：=1联立，消去y，得（）x2+8k1（k1x1+y1）x+4（k1x1+y1）275=0，由=0，得8k1（k1x1+y1）24（4+3）4（k1x1+y1）275=0，化简，得（），由，得4x12100=，4y1275=3x12，上式化为=0， 3.设椭圆c：+=1（ab0），定义椭圆的“伴随圆”方程为x2+y2=a2+b2；若抛物线x2=4y的焦点与椭圆c的一个短轴重合，且椭圆c的离心率为（1）求椭圆c的方程和“伴随圆”e的方程；（2）过“伴随圆”e上任意一点p作椭圆c的两条切线pa，pb，a，b为切点，延长pa与“伴随圆”e交于点q，o为坐标原点证明：papb；若直线op，oq的斜率存在，设其分别为k1，k2，试判断k1k2是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由【思路点拨】（1）由抛物线的方程，求得b的值，利用离心率公式，即可求得a的值，求得椭圆方程；（2）设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式，即可求得kpakpb=1，即可证明papb；将直线方程代入圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式求得k1k2=，代入即可求得k1k2=当切线的斜率不存在或等于零结论显然成立，papb，当直线pq的斜率存在时，由可知直线pq的方程为y=kx+m，整理得：（k2+1）x2+2kmx+m24=0，则=4k2m24（k2+1）（m24），将m2=3k2+1，代入整理=4k2+120，设p（x1，y1），q（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=，k1k2=，=，将m2=3k2+1，即可求得求得k1k2=，当直线pq的斜率不存在时，易证k1k2=，综上可知：k1k2=4.左、右焦点分别为f1、f2的椭圆c：+=1（ab0）经过点q（0，），p为椭圆上一点，pf1f2的重心为g，内心为i，igf1f2（1）求椭圆c的方程；（2）m为直线xy=4上一点，过点m作椭圆c的两条切线ma、mb，a、b为切点，问直线ab是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由【思路点拨】（1）由过点q，则b=，求得，pf1f2的重心为g点坐标，由igf1f2，|y0|=3r，根据三角形的面积公式可知a=2c，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）利用椭圆的切线发浓缩，求得直线ab的方程，由点m为直线xy=4上，代入整理即可求得定点坐标（2）设m（x1，y1），a（x2，y2），b（x3，y3）则切线ma，mb的方程分别为，（7分）点m在两条切线上，故直线ab的方程为（9分）又点m为直线xy=4上，y1=x14即直线ab的方程可化为，整理得（3x+4y）x1=16y+12，由解得，因此，直线ab过定点（12分）5.平面直角坐标系xoy中，椭圆c1：+=1（ab0）的离心率为，过椭圆右焦点f作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6（1）求椭圆的方程；（2）a，b是抛物线c2：x2=4y上两点，且a，b处的切线相互垂直，直线ab与椭圆c1相交于c，d两点，求弦|cd|的最大值【思路点拨】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆右焦点f作两条相互垂直的弦，当其中一条弦所在直线斜率为0时，两弦长之和为6，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程（2）设直线ab为：y=kx+m，由，得x24kx4m=0，由此利用韦达定理、直线垂直推导出直线ab过抛物线c1的焦点f，再由，得（1+2k2）x2+4kx2=0，由此利用弦长公式能求出弦|cd|的最大值 故切线pa，pb的斜率分别为，kpb=，再由papb，得kpakpb=1，解得m=1，这说明直线ab过抛物线c1的焦点f，由，得（1+2k2）x2+4kx2=0，|cd|=3当且仅当k=时取等号，弦|cd|的最大值为36.已知椭圆c：（ab0）的上、下两个焦点分别为f1，f2，过f1的直线交椭圆于m，n两点，且mnf2的周长为8，椭圆c的离心率为（1）求椭圆c的标准方程；（2）已知o为坐标原点，直线l：y=kx+m与椭圆c有且仅有一个公共点，点m，n是直线l上的两点，且f1ml，f2nl，求四边形f1mnf2面积s的最大值【思路点拨】（1）由mnf2的周长为8，求出a=2，再由，求出b，由此能求出椭圆c的标准方程（2）将直线l的方程y=kx+m代入到椭圆方程中，得（4+k2）x2+2kmx+m24=0由直线与椭圆仅有一个公共点，利用根的判别式求出m2=4+k2由此利用弦长公式，结合已知条件能求出四边形f1mnf2面积的最大值所以=因为四边形f1mnf2的面积，所以=令k2+1=t（t1），则=，所以当时，s2取得最大值为16，故smax=4，即四边形f1mnf2面积的最大值为47.已知a，b分别是椭圆 的长轴与短轴的一个端点，f1，f2分别是椭圆c的左、右焦点，d椭圆上的一点，df1，f2的周长为（1）求椭圆c的方程；（2）若p是圆x2+y2=7上任一点，过点作p椭圆c的切线，切点分别为m，n，求证：pmpn【思路点拨】（1）由2a+2c=6，b2+c2=a2，即可求得a和b的值，即可求得椭圆方程；（2）分类讨论，当切线pm斜率不存在或者为零时，根据对称性即可求得pmpn；当斜率不为零时，分别求得直线pm，pn的方程，由=0即可求得k1，k2是方程的两个根，则，则pmpny0=k1x0+m，m=y0k1x0，即；同理：切线pn：y=k2x+t中，k1，k2是方程的两个根，又p在圆上，pmpn综上所述：pmpn8.已知圆m：（xa）2+（yb）2=9，m在抛物线c：x2=2py（p0）上，圆m过原点且与c的准线相切（） 求c的方程；（） 点q（0，t）（t0），点p（与q不重合）在直线l：y=t上运动，过点p作c的两条切线，切点分别为a，b求证：aqo=bqo（其中o为坐标原点）【思路点拨】（1）由圆m与抛物线准线相切，得，且圆过又圆过原点，故，可得，解得p=4，即可（2） 设a（x1，y1），b（x2，y2），p（m，t），可得，即x1，x2为方程x22mx4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=4t，可得，化简=可证得aqo=bqo又因过点p（m，t），故可得，（7分）即，同理可得，（8分）所以x1，x2为方程x22mx4t=0的两根，所以x1+x2=2m，x1x2=4t，（9分）因为q（0，t），所以，（10分）化简=（11分）所以aqo=bqo（12分）9.已知椭圆c：+=1（ab0）的长轴长为4，离心率为，右焦点为f（1）求椭圆c的方程；（2）直线l与椭圆c相切于点p（不为椭圆c的左、右顶点），直线l与直线x=2交于点a，直线l与直线x=2交于点b，请问afb是否为定值？若不是，请说明理由；若是，请证明【思路点拨】（1）由2a=4，离心率e=，b=即可求得a和b，即可求得椭圆c的方程；（2）l的斜率为0时，afb为直角，则afb为定值，当斜率不为0时，将切点代入椭圆方程，求得交点坐标，求得af和bf的斜率kaf及kbf，即可求得kafkbf=1，即可求得afb为定值 10.已知过抛物线x2=4y的焦点f的直线l与抛物线相交于a、b两点（1）设抛物线在a、b处的切线的交点为m，若点m的横坐标为2，求abm的外接圆方程（2）若直线l与椭圆+=1的交点为c，d，问是否存在这样的直线l使|af|cf|=|bf|df|，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由【思路点拨】（1）设，直线ab：，从而得到过a，b，m的圆是以ab为直径的圆，由此结合已知条件能求出圆的方程（2）设，由此利用韦达定理，结合已知条件能求出满足条件的直线方程（2）设设a（x1，y1），b（x2，y2），c（x3，y3），d（x4，y4），则又，x1+x2=4k，x1x2=4将，由将，由得k=0或k2=1，k=1，经检验k=0，k=1时，a、b、c、d四点各异，且满足要求故直线l存在，且方程为y=x+1或y=1（13分）11.在平面直角坐标系中，已知点f（1，0），直线l：x=1，动直线l垂直l于点h，线段hf的垂直平分线交l于点p，设点p的轨迹为c（1）求曲线c的方程；（2）以曲线c上的点p（x0，y0）（y00）为切点作曲线c的切线l1，设l1分别与x，y轴交于a，b两点，且l1恰与以定点m（a，0）（a2）为圆心的圆相切，当圆m的面积最小时，求abf与pam面积