高考数学 黄金100题系列 第25题 利用导数研究函数的单调性 理.doc

第25题 利用导数研究函数的单调性i题源探究黄金母题【例1】判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）； （4）；【解析】（1），.当，即时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.（2），.当，即时，单调递增；当，即时，单调递减.（3），.当，即时，函数单调递增；当，即或时，单调递减.（4），.当，即或时，单调递增；当，即时，单调递减.【例2】讨论二次函数的单调区间。【解析】，.（1）当时，即时，单调递增；，即时，单调递减.（2）当时，即时，单调递增；，即时，单调递减.【例3】利用函数的单调性，证明下列不等式：（1） ，； （2），；（3），； （4），；【解析】（1）证明：设，.，在内单调递减，因此，即，. （2）证明：设，.，当时，单调递增，；当时，单调递减，； 又. 因此，. （3）证明：设，.，当时，单调递增，；当时，单调递减，； 综上，.（4）证明：设，.，当时，单调递增，；当时，单调递减，；当时，显然. 因此，.由（3）可知，.综上，。【例4】利用信息技术工具，画出函数的图象，并改变的值，观察图像的形状：（1） 你能归纳出图象的大致形状吗？它的图像有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？（2）运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间。【解析】（1）函数的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2），.下面分类讨论：当时，分和两种情形：当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即或时，函数单调递增；当，即时，函数单调递减.当，且时，此时，函数单调递增.当，且时，设方程的两根分别为，且，当，即时，函数单调递增；当，即或时，函数单调递减.当，且时，此时，函数单调递减。精彩解读【试题来源】人教版a版选修22第26页练习第1题【母题评析】判断函数的单调性及求函数的单调区间是高中数中常见的一类典型问题，本考查了如何利用导数去判断函数的单调性及求函数的单调区间。【思路方法】判断函数的单调性基本方法有：定义法、图象法、复合函数法（同增异减），本题之后又添一法导数法，求单调区间时，要注意函数的定义域。【试题来源】人教版a版选修22第26页练习第3题【母题评析】二次函数的单调性是初中就学习过的一个知识点，本题利用导数去讨论二次函数的单调性，既复习了旧的知识点，又练习新知识点。【思路方法】初中在研究二次函数的单调性时，主要侧重于数形结合，而本题旧题新解，利用导数去讨论二次函数的单调性，侧重于理论推导。【试题来源】人教版a版选修22第31页习题1.3b组第1题【母题评析】不等式证明是高中数中常见的一类典型问题，本题考查了如何通过构造函数结合函数的单调性去证明不等式。【思路方法】不等式证明常用的基本方法有：综合法、比较法（作差法、作商法）、分析法，本题之后又添一法构造函数法，要注意所构造函数的定义域。【试题来源】人教版a版选修22第31页习题1.3b组第4题【母题评析】本题通过研究三次函数的图象及单调区间，意在培养学生的数形结合思想的应用能力，在解题过程中对的讨论，又培养了学生的分类讨论思想，同时通过本题的研究，加深了学生对三次函数图象与性质的了解。【思路方法】三次函数图象与性质是近几年高考中的高频考点，同时数形结合思想是高中数学中主要的解题思想之一，提别是在解决函数的问题中，函数图像是强有力的工具，这种思想是近几年高考试题常常采用的命题形式。ii考场精彩真题回放【例5】【2017高考课标1，理21】已知函数.（i）讨论的单调性；（节选）【解析】试题分析：（i）讨论单调性，首先进行求导，发现式子特点后要及时进行因式分解，在对按，进行讨论，写出单调区间。试题解析：（i）的定义域为，（）若，则，在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，在单调递减，在单调递增.【命题意图】本类题通常主要考查利用导数讨论函数的单调性（求函数的单调区间）。【考试方向】这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，难度中等.【难点中心】判断的单调性，只需对函数求导，根据的导数的符号判断函数的单调性，求出单调区间，还需注意函数的定义域。5iii理论基础解题原理考点一 利用导数研究函数的单调性或求指定函数单调区间设计讨论函数的单调性，在考查导数研究函数单调性的同时考查分类与整合思想、化归与转化思想等数学思想方法。求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论。考点二 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的。iv题型攻略深度挖掘【考试方向】含有参数的函数导数试题，主要有两个方面：一是根据给出的某些条件求出这些参数值，基本思想方法为方程的思想；二是在确定参数的范围（或取值）使得函数具有某些性质，基本解题思想是函数与方程的思想、分类讨论的思想.含有参数的函数导数试题是高考考查函数方程思想、分类讨论思想的主要题型之一.这类试题在考查题型上，通常以解答题的形式出现，难度中等.【技能方法】1.研究函数单调区间，实质研究函数极值问题.分类讨论思想常用于含有参数的函数的极值问题，大体上可分为两类，一类是定区间而极值点含参数，另一类是不定区间（区间含参数）极值点固定，这两类都是根据极值点是否在区间内加以讨论，讨论时以是否使得导函数变号为标准，做到不重不漏.2.求可导函数单调区间时首先坚持定义域优先原则，必须先确定函数的定义域，尤其注意定义区间不连续的情况，此时单调区间按断点自然分类；其次，先研究定义区间上导函数无零点或零点落在定义区间端点上的情况，此时导函数符号不变，单调性唯一；对于导函数的零点在定义区间内的情形，最好列表分析导函数符号变化规律，得出相应单调区间.3.讨论函数的单调性其实质就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论，在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时依据根的大小进行分类讨论，在不能通过因式分解求出根的情况时根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.4.求可导函数单调区间的一般步骤(1)确定函数的定义域(定义域优先)；(2)求导函数；(3)在函数的定义域内求不等式或的解集(4)由（）的解集确定函数的单调增(减)区间若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间【易错指导】（1）用导数函数求单调区间方法求单调区间问题，先求函数的定义域，在求导函数，解导数大于0的不等式，得到区间为增区间，解导数小于0得到的区间为减区间，注意单调区间一定要写出区间形式，不用描述法集合或不等式表示，且增（减）区间有多个，一定要分开写，用逗号分开，不能写成并集形式，要说明增（减）区间是谁，若题中含参数注意分类讨论；(2) 已知在某个区间上的单调性求参数问题先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函数）（小于（减函数）0恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.（3）注意区分函数在某个区间上是增（减）函数与函数的增（减）区间是某各区间的区别，函数在某个区间上是增（减）函数中的区间可以是该函数增(减)区间的子集.v举一反三触类旁通考向1 利用导数研究函数的单调性或求指定函数单调区间【例6】【2018浙江温州9月高考适应性测试（一模）】已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是（ ）a. b. c. d. 【答案】c【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的解析式、定义域、值域、单调性，导数的应用以及数学化归思想，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意选项一一排除.【例7】【2018河南南阳第一中学高三上学期第三次考试】已知函数fx=alnx-x2+1.（1）若曲线y=fx在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，求实数a和b的值；（2）讨论函数fx的单调性.【答案】（1）a=6,，b=-4；（2）f(x)在(0,a2)上是增函数，在(a2,+)上是减函数.试题解析：（1）f(x)=alnx-x2+1求导得f(x)=ax-2x在x=1处的切线方程为4x-y+b=0，f(1)=a-2=4，得a=6, 4-f(1)+b=0,b=-4.（2）f(x)=ax-2x=a-2x2x当a0时，f(x)0在(0,+)恒成立，所以f(x)在(0,+)上是减函数.当a0时，f(x)=0,x=a2（舍负）f(x)0a2x0，f(x)a2f(x)在(0,a2)上是增函数，在(a2,+)上是减函数。【例8】【2018浙江温州9月高考适应性测试（一模）】已知函数f(x)=x-3x-4lnx（1）求f(x)的单调递增区间；（2）当00解不等式即可得f(x)的单调增区间；（2）x2+2x-34xlnx等价于f(x)=x-3x-4lnx-2，利用导数研究函数的单调性，证明f(x)max=f(1)=-2，从而可得结果.试题解析：（1）f(x)=1+3x2-4x =x2-4x+3x2 =(x-1)(x-3)x2，令f(x)0，解得x3或x0，f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+)（2）由（1）知f(x)=x-3x-4lnx在(0,1)上单调递增，在1,3上单调递减，所以，当0x3时，f(x)max=f(1)=-2，因此，当00，且f(0)=1，则不等式exf(x)1的解集为（ ）a. (-,0) b. (0,+) c. (-,e) d. (e,+)【答案】b【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想，属于中档题；根据条件构造函数令gx=exfx，由求导公式和法则求出gx，根据条件判断出gx的符号，得到函数gx的单调性，f0=1求出g0的值，将不等式进行转化后，利用gx的单调性可求出不等式的解集.【例14】【2017江西南昌三模】已知函数是函数的导函数， ，对任意实数都有，则不等式的解集为（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】令,所以函数是减函数，又，所以不等式的解集为，本题选择b选项.考向4 利用导数与函数的单调性求参数范围【例15】已知函数的单调递减区间为，则的值为_【答案】由， ，得： ，解得： ，故答案为.【例16】【2017重庆第八中学高三高考适应性月考（八）】设表示自然对数的底数，函数（），若关于的不等式有解，则实数的值为（ ）a. b. c. 0 d. 【答案】a【解析】设点，则，记及，若直线 与函数的图象相切，则切点为，点到直线的距离为，从而，又由于有解，则，此时点坐标满足解之得，综上可得，故选a 【名师点睛】由不等式求参数范围常用方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.【例17】【2018湖南益阳、湘潭高三9月调研】设函数，若存在唯一的正整数，使得，则的取值范围是（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】，则 ， ，由得在和上递增，在上递减，画出两个函数图象如图：【名师点睛】本题主要考查不等式的整数解、利用导数研究函数的单调性以及数形结合思想的应用，属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简，并迎刃而解.【例18】【2017北京朝阳区二模】设函数f(x)=x+1,x0,x3+a,x0,则f(1)=_；若f(x)在其定义域内为单调递增函数，则实数a的取值范围是_【答案】2 (-,1【解析】f(1)=2，由于f(x)在其定义域内为单调递增函数，所以a1。填 (1). 2 (2). (-,1。【例19】【2017江苏如皋】已知函数f(x)=ex(x-b)(br)若存在x12,2，使得f(x)+xf(x)0，则实数b的取值范围是_【答案】bg(x2)，求实数a的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）a0，f(x)0，f(x)在1,e上单调递增，当0a1e时，1ae，f