2013年全国各地中考数学考点分类汇编--操作探究.pdf

2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 1 22 操作探究操作探究 一 选择题 1 2013 绍兴 4 分 小敏在作 O 的内接正五边形时 先做了如下几个步骤 1 作 O 的两条互相垂直的直径 再作 OA 的垂直平分线交 OA 于点 M 如图 1 2 以 M 为圆心 BM 长为半径作圆弧 交 CA 于点 D 连结 BD 如图 2 若 O 的半径 为 1 则由以上作图得到的关于正五边形边长 BD 的等式是 A BD2 OD B BD2 OD C BD2 OD D BD2 OD 答案 C 解析 如图 2 连接 BM 根据题意得 OB OA 1 AD OB BM DM OA 的垂直平分线交 OA 于点 M OM AM OA BM DM OD DM OM 2013 深圳 深圳 9 3 分 分 如图 1 有一张一个角为30 最小边长为 2 的直角三角形纸片 沿图中所示的中位线剪开后 将两部分拼成一个四边 形 所得四边形的周长是 A 8或2 3 B 10 或42 3 C 10 或2 3 D 8或42 3 答案 答案 D 解析 解析 如图 有三种拼接方式 前一种拼接方式的周长为42 3 后两种拼接方式的周 长为均 8 故选 D 方法指导 方法指导 本题考查了直角三角形的边角关系及特殊四边形的相关性质 拼接时注意分类 做到不重不漏 细心计算 2 2013 2013 山东烟台 山东烟台 8 38 3 分分 将正方形图 1 作如下操作 第 1 次 分别连结各边中点如图 2 得到 5 个正方形 第 2 次 将图 2 左上角正方形按上述方法再分割如图 3 得到 9 个正方 30 图 1 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 2 22 形 依此类推 根据以上操作 若要得到 2013 个正方形 则需要操作的次数是 A 502 B 503 C 504 D 505 答案 B 解析 从简单的 局部的 特殊的情形出发 通过观察 分析 比较 提炼 验证 从而 发现规律 推出结论 第一次操作后正方形的个数 4 1 1 5 第二次操作后正方形的个数 4 2 1 9 第三次操作后正方形的个数 4 3 1 13 第 n 次操作后正方形的个数 4 n 1 4n 1 n 为正整数 4n 1 2013 n 503 方法指导 本题考查了图形的规律探索 探索规律型问题一般包括数字规律问题 等式规 律问题 图形排列规律问题 图形变换规律问题 数形结合规律问题和计算类问题等等 解 决这类问题往往需要我们借助于一些特殊的情况 通过观察 分析 归纳 验证 然后得出 一般性的结论 并对结论进行验证 通常以填空或选择的形式出现 二 填空题 1 2013 四川绵阳四川绵阳 16 4 分分 对正方形ABCD进行分割 如图 1 其中E F分别是BC CD 的中点 M N G分别是OB OD EF的中点 沿分化线可以剪出一副 七巧板 用这些 部件可以拼出很多图案 图 2 就是用其中 6 块拼出的 飞机 若 GOM的面积为 1 则 飞 机 的面积为 14 解析 连接 AC 四边形 ABCD 是正方形 AC BD E F 分别 BC CD 的中 点 EF BD AC EF CF CE EFC是等腰直角三角形 直线AC是 EFC底边上的高所 在直线 根据等腰三角形 三线合一 AC必过EF的中点G 点A O G和C在同一条直线 上 OC OB OD OC OB FG是 DCO的中位线 OG CG 1 2 OC M N分别是OB OD的中点 OM BM 1 2 OB ON DN 1 2 OD OG OM BM ON DN 1 4 BD 等腰直角三角形GOM的面积为 1 1 2 OM OG 1 2 OM2 1 OM 2 BD 4 OM 4 2 2AD2 BD2 32 AD 4 图 2 中飞机面积图 1 中多边形 ABEFD的面积 飞机面积 正方形ABCD面积 三角形CEF面积 16 2 14 2 2013 江西南昌 16 3 分 平面内有四个点 A O B C 其中 AOB 120 ACB 60 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 3 22 AO BO 2 则满足题意的 OC 长度为整数的值可以是 答案 答案 2 3 4 解析 解析 由 AOB 120 AO BO 2 画出一个顶角为 120 腰长为 2 的等腰三角形 由60 与120 互补 60 是120 的一半 点 C 是动点想到构造圆来解决此题 方法指导方法指导 本题主要考查学生阅读理解能力 作图能力 联想力与思维的严谨性 周密性 所涉及知识点有等腰三角形 圆的有关知识 分类讨论思想 不等式组的整数解 在运动变 化中抓住不变量的探究能力 3 20132013 湖南永州 湖南永州 1616 3 3 分 分 电脑系统中有个 扫雷 游戏 要求游戏者标出所有的雷 游 戏规则 一个方块下面最多埋一个雷 掀开方块下面就标有数字 提醒游戏者此数字周围方 块 最多八个 中雷的个数 0 常省略不标 如图甲中的 3 表示它的周围八个方块中有且只有 3 个埋有雷 图乙是张三玩游戏的局部 图中有 4 个方块已确定是雷 方块上标有旗子 则 图乙第一行从左数起的七个方块中 方块上标有字母 能够确定一定是雷的有 请填 入方块上的字母 图甲 图乙 答案 答案 D F G 解 解析析 根据 B 下方 2 下方的 1 判断 A 下方的方块一定是雷 再根据 B C D E F 下 方的数字判断 A B C 中只有 1 个雷 B C D 中有 2 个雷 C D E 中只有 1 个雷 D E F 中有 2 个雷 E F G 中有 2 个雷 1 如果 A 是雷 则 B C 都不是雷 而 B C D 中有 2 个雷 相矛盾 则 A 不可能是雷 2 如果 B 是雷 则 A C 都不是雷 则 D 是雷 E 不是雷 F G 是雷 即 B 是雷时 B D F G 一定是雷 3 如果 C 是雷 则 A B 都不是雷 则 D 是雷 E 不是雷 F G 是雷 即 C 是雷时 C D F G 一定是雷 所以图乙第一行从左数起的七个方块中 能够确定一定是雷的有 D F G 方法 方法指导指导 我们在确定了 A B C 下有一只雷时 需要分情形来讨论 于是我们分 A 是 雷 B 是雷 C 是雷三种情形来讨论 4 20132013 广东省广东省 1515 4 4 分 分 如题 15 图 将一张直角三角形纸片 ABC 沿中位线 DE 剪开后 在平面上将 BDE 绕着 CB 的中点 D 逆时针旋转 0 180 点 E 到了点 E位置 则四边形EACE 的形状是 答案 答案 平行四边形 解析 解析 因为 DE 是 ABC 的中位线 所以 DE AC 且 AC 2DE 2D E 所以 旋转之后 E E 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 4 22 AC 且 E E AC 所以四边形EACE 的形状是平行四边形 又因为 AC 不一定恰好等于 AE 所以四边形EACE 的形状不一定是菱形 故答案填平行四边形 方法 方法指导指导 操作类的题目在近几年的中考试卷中比较常见 解决这类问题最好的办法就是 实际操作 当然 也可以根据图形的性质通过计算确定答案 5 2013 湖南邵阳 11 3 分 在计算器上 依次按键 2 2 x 得到的结果是 答案 4 解析 422 方法指导 本题考查了计算器 有理数 关键是考查学生的理解能力 题型较好 但是 一道比较容易出错的题目 三 解答题 1 2013 河 南 省 22 10 分 如图 1 将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合 放置 其中90 30CBE 1 1 操作发现 操作发现 如图 2 固定ABC 使DEC 绕点C旋转 当点D恰好落在AB边上时 填空 线段DE与AC的位置关系是 设BDC 的面积为 1 S AEC 的面积为 2 S 则 1 S与 2 S的数量关系是 解析 由旋转可知 AC DC 90 30CBE 60AD ADC 是等边三角形 60ACD 又 60CDE DE AC 过 D 作 DN AC 交 AC 于点 N 过 E 作 EM AC 交 AC 延长线于 M 过 C 作 CF AB 交 AB 于点 F 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 5 22 由 可知 ADC 是等边三角形 DE AC DN CF DN EM CF EM 90 30CB 2ABAC 又 ADAC BDAC 1 1 2 SCF BD 2 1 2 SAC EM 1 S 2 S 2 2 猜想论证 猜想论证 当DEC 绕点C旋转到图 3 所示的位置时 小明猜想 1 中 1 S与 2 S的数量关系仍然成立 并尝试分别作出了BDC 和AEC 中 BC CE边上的高 请你证明小明的猜想 证明 90 180DCEACBDCMACE 又 180 ACNACEACNDCM 又 90 CNACMDACCD ANC DMC AN DM 又 CE CB 12 SS 3 3 拓展探究 拓展探究 已知60ABC 点D是其角平分线上一点 4BDCD OEAB 交BC于点E 如图 4 若在射线BA 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 6 22 上存在点F 使 DCFBDC SS 请直接写出 相应的BF的长 解析 如图所示 作 1 DF BC交BA于点 1 F 作 2 DFBD 交BA于点 2 F 按照 1 2 求解的方法可以计算出 1 4 3 3 BF 2 8 3 3 BF 2 2013 陕西陕西 25 12 分分 本题满分 12 分 问题探究问题探究 1 请在图 中作出两条直线 使它们将圆面四等分 2 如图 M 是正方形 ABCD 内一定点 请在图 中作出两条直线 要求其中 一条直线必须过点 M 使它们将正方形 ABCD 的面积四等分 并说明理由 问题解决问题解决 3 如图 在四边形 ABCD 中 AB CD AB CD BC 点 P 是 AD 的中点 如果 AB a CD b 且ab 那么在边 BC 上是否存在一点 Q 使 PQ 所在直线将四边 形 ABCD 的面积分成相等的两部分 若存在 求出 BQ 的长 若不存在 说明理由 考点 本题陕西近年来考查的有 考点 本题陕西近年来考查的有 折叠问题 勾股定理 矩形性质 正方形的折叠问题 勾股定理 矩形性质 正方形的 性质 面积问题及最值问题 位似的性质应用等 此题考查对图形的面积等分性质 面积问题及最值问题 位似的性质应用等 此题考查对图形的面积等分 问题 问题 解析 此题主要考查学生的阅读问题的能力 综合问题的能力 动手操作能力 解析 此题主要考查学生的阅读问题的能力 综合问题的能力 动手操作能力 问题的转化能力 分析图形能力和知识的迁徙能力 从特殊图形到一般的过渡 问题的转化能力 分析图形能力和知识的迁徙能力 从特殊图形到一般的过渡 从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程 从特殊中发现关系到一般的知识迁移的过程 1 问较易解决 圆内两条互相垂直的直径即达到目的 问较易解决 圆内两条互相垂直的直径即达到目的 2 问中其实在八年级学习 问中其实在八年级学习四边形时好可解决此类问题 平行四边形过对角线四边形时好可解决此类问题 平行四边形过对角线 的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分 而在正方形中就更特殊 的交点的直线将平行四边形分成面积相等的两个部分 而在正方形中就更特殊 常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查 此题有常见的是将正方形重叠在一起旋转的过程中的图形的面积不变的考查 此题有 这些知识的积累足够解决 这些知识的积累足够解决 3 问中可以考虑构造 问中可以考虑构造 1 2 中出现的特殊四边形来解决 也可以用中点 中出现的特殊四边形来解决 也可以用中点 的性质来解决 在中学数学中中点就有两个方面的应用 一是中线 倍长中线的性质来解决 在中学数学中中点就有两个方面的应用 一是中线 倍长中线 图 图 A B C D M B 图 A C D P 第 第 25 题图 题图 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 7 22 构造全等三角形或者是平行四边形 二是中位线的应用 构造全等三角形或者是平行四边形 二是中位线的应用 解 解 1 如图 如图 所示所示 2 如图如图 连接 连接 AC BD 相交于点相交于点 O 作直线 作直线 OM 分别交分别交 AD BC 于于 P Q 两点 过点两点 过点 O 作用作用 OM 的垂线分别交的垂线分别交 AB CD 于于 E F 两点 则直线两点 则直线 OM EF 将正方形将正方形 ABCD 的面积四等分的面积四等分 理由如下 理由如下 点点 O 是正方形是正方形 ABCD 对角线的交点 对角线的交点 点点 O 是正方形是正方形 ABCD 的对称中心的对称中心 AP CQAP CQ EB DFEB DF D D 在 在 AOPAOP 和 和 EOBEOB 中 中 AOP 90AOP 90 AOEAOE BOE 90BOE 90 AOEAOE AOP AOP BOEBOE OA OBOA OB OAP OAP EBO 45EBO 45 AOPAOP EOBEOB AP BE DF CQ AP BE DF CQ AE BQ CF PDAE BQ CF PD 设点设点 O O 到正方形到正方形 ABCDABCD 一边的距离为一边的距离为d dDFPDdCFCQdBQBEdAEAP 2 1 2 1 2 1 2 1 POFDCQOFBEOQAPOE SSSS 四边形四边形四边形四边形 直线直线 EF PQ 将正方形将正方形 ABCD 面积四等分面积四等分 另解 另解 点点 O 是正方形是正方形 ABCD 对角线的交点 对角线的交点 点点 O 是正方形是正方形 ABCD 的的 中心中心 OA OB OC OD OAP OAP OBE OBE OCQ OCQ ODF 45ODF 45 PQ EFEF POD POD DOF 90DOF 90 POD POD POA 90POA 90 POA POA DOFDOF 同理 同理 POA POA DOF DOF BOE BOE COQCOQ AOP BOE COQ DOF ABCDPOFDCQOFBEOQAPOE SSSSS 正方形四边形四边形四边形四边形 4 1 直线直线 EF PQ 将正方形将正方形 ABCD 面积四等分面积四等分 3 存在存在 当当 BQ CD b时 时 PQ 将四边形将四边形 ABCD 面积二等分面积二等分 理由如下 如图理由如下 如图 延长 延长 BA 至点至点 E 使 使 AE b 延长延长 CDCD 至点至点 F F 使 使 DF DF a 连接 EF BEBE CFCF BE CF BE CF 四边形 四边形 BCFEBCFE 为平行四边形 为平行四边形 BC BE BC BE a b 平行四边形 平行四边形 DBFEDBFE 为菱形为菱形 答图 A B C D M 第 第 25 题答案图 题答案图 答图 O P Q F E B 答图 A C D P 第 第 25 题答案图 题答案图 M Q F E 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 8 22 连接连接 BFBF 交交 ADAD 于点于点 M M 则 则 MAB MDFMDF AM DM AM DM 即点即点 P P M M 重合重合 点 点 P P 是菱形是菱形 EBCFEBCF 对角线的交点 对角线的交点 在在 BCBC 上截取上截取 BQ CD BQ CD b 则 则 CQ AB CQ AB a 设点设点 P 到菱形到菱形 EBCF 一边的距离为一边的距离为d CDPCQPQBPABP SSdCDCQdBQABSS DDDD 2 1 2 1 所以当所以当 BQ BQ b时 直线时 直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCABCD D 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分 另解 存在另解 存在 当当 BQ CD b时 时 PQ 将四边形将四边形 ABCD 面积二等分面积二等分 理由如下 如图理由如下 如图 连接 连接 BP 并延长并延长 BP 交交 CD 延长线于点延长线于点 F 连接 连接 CP 点点 P P 是是 ADAD 的中点 的中点 PA PDPA PD ABAB CDCD ABP ABP DFPDFP APB APB DPF DPF APB DPFDPF AB DFAB DF PB PFPB PF 所以 所以 CPCP 是 是 CBFCBF 的中线 的中线 CPFCPB SS DD AB CD BCAB CD BC DF CD BCDF CD BC 即 即 CB CFCB CF CBF CBF CFBCFB ABP ABP DFPDFP ABP ABP CBPCBP 即即 PBPB 是角平分线是角平分线 点 点 P P 到到 ABAB 与与 CBCB 的距离相等 的距离相等 BQ BQ b 所以 所以 CQ AB CQ AB a CQPABP SS DD QCDPABQP SS 四边形四边形 所以当所以当 BQ BQ b时 直线时 直线 PQPQ 将四边形将四边形 ABCDABCD 的面积分成相等的两部分的面积分成相等的两部分 3 2013 山西山西 26 14 分 分 综合与探究 如图 抛物线 2 13 4 42 yxx 与 x 轴交于 A B 两点 点 B 在点 A 的右侧 与 y 轴交于点 C 连接 BC 以 BC 为一边 点 O 为对称中心作菱形 BDEC 点 P 是 x 轴上的一个动点 设点 P 的坐标为 m 0 过点 P 作 x 轴的垂线 l 交抛物线 于点 Q 1 求点 A B C 的坐标 2 当点 P 在线段 OB 上运动时 直线 l 分别交 BD BC 于点 M N 试探究 m为何值时 四边形 CQMD 是平行四边形 此时 请判断四边形 CQBM 的形状 并说明理由 3 当点 P 在线段 EB 上运动时 是否存在点 Q 使 BD Q 为直角三角形 若存在 请直 接写出点 Q 的坐标 若不存在 请说明理由 B 答图 A C D P 第 第 25 题答案图 题答案图 Q F 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 9 22 解析 1 当 y 0 时 2 13 40 42 xx 解得 12 2 8xx 点 B 在点 A 的右侧 点 A B 的坐标分别为 2 0 8 0 当 x 0 时 y 4 点 C 的坐标为 0 4 2 由菱形的对称性可知 点 D 的坐标为 0 4 设直线 BD 的解析式为 y kx b 则 4 80 b kb 解得 k 1 2 b 4 直线 BD 的解析式为 1 4 2 yx l x 轴 点 M Q 的坐标分别是 m 1 4 2 m m 2 13 4 42 mm 如图 当 MQ DC 时 四边形 CQMD 是平行四边形 1 4 2 m 2 13 4 42 mm 4 4 化简得 2 40mm 解得 m1 0 舍去 m2 4 当 m 4 时 四边形 CQMD 是平行四边形 此时 四边形 CQBM 是平行四边形 解法一 m 4 点 P 是 OB 中点 l x轴 l y 轴 BPM BO D 1 2 BPBM BOBD BM D M 四边形 CQMD 是平行四边形 D MCQ BMCQ 四边形 CQBM 为平行四边形 解法二 设直线BC的解析式为y k1x b1 则 1 11 4 80 b kb 解得 k1 1 2 b1 4 直线 BC 的解析式为 y 1 2 x 4 又 l x 轴交 BC 于点 N x 4时 y 2 点 N 的坐标为 4 2 由上面可知 点 M Q 的坐标分别为 4 2 Q 4 6 M N 2 2 4 NQ 2 6 4 M N Q N 又 四边形 CQMD 是平行四边形 D B CQ 3 4 又 1 2 BM N CQ N BN CN 四边形 CQBM 为平行四边形 3 抛物线上存在两个这样的点Q 分别是Q1 2 0 Q2 6 4 4 2013 四川绵阳四川绵阳 25 14 分分 本题满分 14 分 我们知道 三角形的三条中线一定会交于一点 这一点就叫做三角形的重心 重心有很多美 妙的性质 如在关线段比 面积比就有一些 漂亮 结论 利用这些性质可以解决三角形中 的若干问题 请你利用重心的概念完成如下问题 1 若 O 是 ABC 的重心 如图 1 连结 AO 并延长交 BC 于 D 证明 2 3 AO AD 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 10 22 2 若 AD 是 ABC 的一条中线 如图 2 O 是 AD 上一点 且满足 2 3 AO AD 试判断 O 是 ABC 的重心吗 如果是 请证明 如果不是 请说明理由 3 若O是 ABC的重心 过O的一条直线分别与AB AC相交于G H 均不与 ABC的顶 点重合 如图 3 S四边形BCHG S AGH分别表示四边形BCHG和 AGH的面积 试探 究 S 四边形BCGH S AGH 的最大值 解 1 证明 如图 1 连结 CO 并延长交 AB 于点 P 连结 PD 点 O 是 ABC 的重心 P 是 AB 的中点 D 是 BC 的中点 PD 是 ABC 的中位线 AC 2PD AC PD DPO ACO PDO CAO OPD CA OD AO PD AC 1 2 AD AO 2 3 2 OD OA OA 1 2 3 AO AD 2 2 点 O 是是 ABC 的重心 证明 如图 2 作 ABC的中线CP 与 AB边交于点P 与 ABC的另 一条中线AD交于点Q 则点Q是 ABC的重心 根据 1 中的证明可 知 AQ AD 2 3 而 AO AD 2 3 点Q与点O重合 是同一个点 所以点O是 ABC的重心 3 如图 3 连结 CO 交 AB 于 F 连结 BO 交 AC 于 E 过点 O 分别作 AB AC 的平行线 OM ON 分别 与 AC AB 交于点 M N 点 O 是 ABC 的重心 OE BE 1 3 OF CF 1 3 在 ABE中 OM AB OM AB OE BE 1 3 OM 1 3 AB 图3 图2 图1 H A BC D O A BC D OO G D CB A 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 11 22 在 ACF中 ON AC ON AC OF CF 1 3 ON 1 3 AC 在 AGH中 OM AH OM AG OH GH 在 ACH中 ON AH ON AH OG GH OM AG ON AH OH GH OG GH 1 1 3AB AG 1 3AC AH 1 AB AG AC AH 3 令AB AG m AC AH n m 3 n S 四边形BCGH S AGH S ABC S AGH S AGH S四边形BCGH S AGH 2 AG AH sin BAC 1 2 AG AH sin BAC 1 2AB AC sin BAC 1 AB AC AG AH AG AH AB AC AG AH 1 mn 1 3 n n 1 n 2 3n 1 n 3 2 2 5 4 当 AC AH n 3 2 GH BC时 S 四边形BCGH S AGH 有最大值 5 4 附 BG AG CH AH 1 或 AB AG AC AH 3 的另外两种证明方法的作图 方法一 分别过点 B C 作 AD 的平行线 BE CF 分别交直线 GH 于点 E F 方法二 分别过点 B C A D 作直线 GH 的垂线 垂足分别为 E F N M 下面的图解也能说明问题 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 12 22 5 2013 浙江湖州 23 8 分 一节数学课后 老师布置了一道课后练习 如图 在Rt ABC中 AB BC ABC 90 BO AC于点O 点P D分别在AO和BC上 PB PD DE AC于点E 求证 BPO PDE 1 理清思路 完成解答 本题证明的思路可以用下面的框图表示 根据上述思路 请你完整地书写本题的证明过程 2 特殊位置 证明结论 若BP平分 ABO 其余条件不变 求证 AP CD 3 知识迁移 探索新知 若点P是一个动点 当点P运动到OC的中点P 时 满足题中条件的点 D也随之在直线BC 上运动到点D 请直接写出CD 与 AP 的数量关系 不必写解答过程 思路分析 1 求出 3 4 BOP PED 90 根据 AAS 证 BPO PDE 即可 2 求出 ABP 4 求出 ABP CPD 即可得出答案 3 设 OP CP x 求出 AP 3x CD 2x 即可得出答案 解 1 证明 PB PD PBD 2 AB BC ABC 90 C 45 BO AC于点O 1 45 1 C 45 3 PBD 1 4 2 C 要证 BPO PDE PB PD 已知 BOP PED 3 4 BO AC DE AC 已知 3 PBD 1 4 2 C 1 C 45 PBD 2 已知 条件 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 13 22 3 4 又 BO AC DE AC BOP PED 90 PB PD BPO PDE 2 由 1 可得 3 4 BP平分 ABO ABP 3 ABP 4 又 A C PB PD APB CPD AP CD 3 CD 与 AP 的数量关系是 CD 2 3 AP 方法指导 本题考查了全等三角形的性质和判定 等腰直角三角形性质 等腰三角形性质 等知识点的综合应用 主要考查学生的推理和计算能力 6 2013 湖北荆门 24 10 分 已知关于x的二次函数y x2 2mx m2 m的图象与关于x的 函数y kx 1 的图象交于点A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 1 当 k 1 m 0 1 时 求 AB 的长 2 当 k 1 m 为任何值时 猜想 AB 的长是否不变 并证明你的猜想 3 当 m 0 无论 k 为何值时 猜想 AOB 的形状 证明你的猜想 平面内两点间的距离公式 AB 22 2121 xxyy 思路分析 1 2 当 k 1 时 直线 y x 1 与坐标轴围成一个等腰直角三角形 于是可 知 AB 的长是一个等腰直角三角形的斜边 求 AB 的长转化为求 A B 两点横坐标之差的绝 对值 3 猜想 AOB 是直角三角形 这一猜想可利用两点间的距离公式等知识进行证明 解 解 1 当k 1 m 0 时 y x2 如图 5 联立 2 1 yx yx 得x2 x 1 0 x1 x2 1 x1x2 1 AB 2AC 2 x1 x2 2 2 1212 4xxx x 10 同理 当 k 1 m 1 时 AB 10 2 猜想 当 k 1 m 为任何值时 AB 的长不变 即 AB 10 下面证明 联立 22 2 1 yxmxmm yx x O y A B 1 1 x1 x2 图 5 C 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 14 22 消y整理得 x2 2m 1 x m2 m 1 0 x1 x2 2m 1 x1x2 m2 m 1 AB 2AC 2 x1 x2 2 2 1212 4xxx x 10 3 当 m 0 k 为任意常数时 AOB 为直角三角形 当 k 0 时 则函数 y kx 1 的图象为直线 y 1 则由 2 1 yx y 得 A 1 1 B 1 1 显然 AOB 为直角三角形 当 k 1 时 则一次函数 y kx 1 为直线 y x 1 则由 2 1 yx yx 得x2 x 1 0 x1 x2 1 x1x2 1 AB 2AC 2 x1 x2 2 2 1212 4xxx x 10 AB2 10 A x1 y1 B x2 y2 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 10 AB2 OA2 OB2 AOB 为直角三角形 当 k 为任意常数时 AOB 仍为直角三角形 如图 6 联立 2 1 yx ykx 得x2 kx 1 0 x1 x2 k x1x2 1 AB2 x2 x1 2 y2 y1 2 k4 5k2 4 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 k4 5k2 4 AB2 OA2 OB2 AOB 为直角三角形 以上试题和解答来自 2013 6 23 荆门晚报 录入者对压轴题的第 3 问给出如下解法 当 k 为任意常数时 AOB 为直角三角形 如图 6 证明如下 联立 2 1 yx ykx 得x2 kx 1 0 x1 x2 k x1x2 1 x O y A B x1 x2 图 6 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 15 22 x12 x22 x1 x2 2 2x1x2 k2 2 x1 x2 2 x1 x2 2 4 x1x2 k2 4 A x1 y1 B x2 y2 在直线y kx 1 上 y1 kx1 1 y2 kx2 1 y2 y1 k x2 x1 AB2 x2 x1 2 y2 y1 2 x2 x1 2 k2 x2 x1 2 1 k2 x2 x1 2 1 k2 4 k2 k4 5k2 4 OA2 OB2 x12 y12 x22 y22 x12 kx1 1 2 x22 kx2 1 2 1 k2 x12 x22 2k x1 x2 2 1 k2 k2 2 2k2 2 k4 5k2 4 AB2 OA2 OB2 AOB 为直角三角形 方法指导 求函数图象的交点坐标即是求由它们的解析式所组成的方程组的解 直线与抛 物线若有交点 则它们交点的横坐标是消去 y 后所得一元二次方程的解 平面直角坐标系内 求两点之间的距离的方法如下 1 若两点的连线平行于横轴 纵轴 则它们之间的距离等于 横坐标 纵坐标 之差的绝对值 2 若两点的连线与坐标轴不平行 则它们之间的距离可用勾 股定理求出 7 2013 江西南昌 24 12 分 某数学活动小组在作三角形的拓展图形 研究其性质时 经历了如下过程 操作发现 在等腰 ABC 中 AB AC 分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的外侧作等腰直角 三角形 如图 1 所示 其中 DF AB 于点 F EG AC 于点 G M 是 BC 的中点 连 接 MD 和 ME 则下列结论正确的是 填序号即可 AF AG 2 1 AB MD ME 整个图形是轴对称图形 DAB DMB 数学思考 在任意 ABC 中 分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的外侧 作等腰直角三角形 如图 2 所示 M 是 BC 的中点 连接 MD 和 ME 则 MD 和 ME 具有怎样的数量和位 置关系 请给出证明过程 类比探索 在任意 ABC 中 仍分别以 AB 和 AC 为斜边 向 ABC 的内侧作等腰直角三角形 如图 3 所示 M 是 BC 的中点 连接 MD 和 ME 试判断 MED 的形状 答 思路分析 思路分析 1 由图形的对称性易知 都正确 DAB DMB 45 也正 确 2 直觉告诉我们 MD 和 ME 是垂直且相等的关系 一般由全等证线段相等 受图 1 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 16 22 DFM MGE 的启发 应想到取中点构造全等来证 MD ME 证 MD ME 就是要证 DME 90 由 DFM MGE 得 EMG MDF DFM 中四个角相加为 180 FMG 可看成三个角的和 通过变形计算可得 DME 90 3 只要结论 不要过程 在 2 的基础易知为等腰直角三解形 解解 操作发现 答 MD ME MD ME 先证 MD ME 如图 2 分别取 AB AC 的中点 F G 连接 DF MF MG EG M 是 BC 的中点 MF AC MF 2 1 AC 又 EG 是等腰 Rt AEC 斜边上的中线 EG AC 且 EG 2 1 AC MF EG 同理可证 DF MG MF AC MFA BAC 180 同事可得 MGA BAC 180 MFA MGA 又 EG AC EGA 90 同理可得 DFA 90 MFA DFA MGA EGA 即 DFM MEG 又 MF EG DF MG DFM MGE SAS MD ME 再证 MD ME 证法一 MG AB MFA FMG 180 又 DFM MGE MEG MDF MFA FMD DME MDF 180 其中 MFA FMD MDF 90 DME 90 即 MD ME 证法二 如图 2 MD 与 AB 交于点 H AB MG DHA DMG 又 DHA FDM DFH 即 DHA FDM 90 DMG DME GME DME 90 即 MD ME 类比探究 答 等腰直角三解形 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 17 22 方法指导方法指导 本题考查了轴对称 三角形中位线 平行四边形 直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半 全等 角的转化等知识 能力要求很高 8 2013 广东广东湛江湛江 24 10 分 分 阅读下面的材料 先完成阅读填空 再按要求答题 1 sin30 2 3 cos30 2 则 22 sin 30cos 30 2 sin45 2 2 cos45 2 则 22 sin 45cos 45 1 sin60 2 3 cos60 2 则 22 sin 60cos 60 观察上述等式 猜想 对任意锐角 A 都有 22 sincosAA 1 如图 在锐角三角形 ABC 中 利用三角函数的定义及勾股定理对 A 证明你的猜想 2 已知 A 为锐角 cos0A 且 3 sin 5 A 求cos A B AC 思路分析 先具体计算 从计算中归纳出规律 再进行证明 最后再加以运用 解 都填 1 1 如下图 过点 B 作 BH BC 于点 H 222 BHAHAB H B A C 则sin BH A AB cos AH A AB 所以 2222 22 222 sincos1 BHAHBHAH AB ABABAB 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 18 22 2 22 sincos1AB 3 sin 5 A 22 316 cos1 525 A cos0A cosA 4 5 方法指导 解决探究类题的步骤 1 计算一些特殊的数值或特殊的位置关系 2 猜想规律 数据或图形的位置变化了 如果某种数量关系或位置关系不变 就猜想一般情 形下也成立 3 利用所学的相关知识对猜想出的结论进行讲明 4 用猜想 证明出的结论解决实际问题 9 2013 2013 山东烟台 山东烟台 25 1025 10 分分 已知 点 P 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点 不与 A B 重合 分别过点 A B 向直线 CP 作垂线 垂足分别为 E F Q 为斜边 AB 的中点 1 如图 1 当点 P 与点 Q 重合时 AE 与 BF 的位置关系是 QE 与 QF 的数量关系是 2 如图 2 当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时 试判断 QE 与 QF 的数量关系 并 给予证明 3 如图 3 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画出图形并给予证明 思路分析 1 BF 与 AE 都垂直于 CF BF 与 AE 平行 然后证明 BFQ P AEQ P 即可证明 QE QF 2 对第一问进行分析 类比 归纳 联想 可以发现延长 FP 交 AE 于点 D 然后证明 BFQ ADQ 即可得出 FQ DQ 然后利用直角三角形斜边 上的中线等于斜边的一半 即可证出 3 在解答前两问已经有的经验基础上 认真审题 先根据题意画图 然后结合图形 仔细观察 透过现象抓住本质 分离出基本图形 延长 EQ 与 FB 的延长线交于点 D 通过证明 BDQ AEQ 得出点 Q 为 DE 的中点 然后依然运用 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 即可证出 2 中结论依然成立 解 1 AE BF QE QF 2013 年全国各地中考数学考点分类汇编 19 22 2 QE QF 证明 延长 FQ 交 AE 于点 D AE BF 1 2 3 4 AQ BQ AQD BQF QD QF AE CP QE 为斜边 FD 中线 3 2 中结论仍然成立 理由 延长 EQ FB 交于点 D AE BF 1 D 2 3 AQ BQ AQE BQD QE QD BF CP FQ 为斜边 DE 中线 QE QF 方法指导 这是一道结论探索型问题 考查了平行线的性质和判定 三角形全等以及直角 三角形斜边上的中线等于