高考数学一轮复习 第10章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第3节 二项式定理学案 理 北师大版.doc

第三节二项式定理考纲传真(教师用书独具)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题(对应学生用书第173页)基础知识填充1二项式定理二项式定理(ab)ncancan1b1canrbrcbn(nn)二项展开式的通项公式 tr1canrbr，它表示第r1项二项式系数二项展开式中各项的系数c(r0,1,2，n)2.二项式系数的性质(1)0rn时，c与c的关系是.(2)二项式系数先增大后减中间项最大当n为偶数时，第1项的二项式系数最大，最大值为；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为和.(3)各二项式系数和：cccc2n，cccccc2n1.知识拓展二项展开式形式上的特点(1)项数为n1.(2)各项押次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.(4)二项式的系数从c，c，一直到c，c.基本能力自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)cankbk是(ab)n的展开式中的第k项()(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项()(3)(ab)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关()(4)若(3x1)7a7x7a6x6a1xa0，则a7a6a1的值为128.()解析(1)错误应为第k1项(2)错误当a，b中包含数字时，系数最大的项不一定为中间一项或中间两项(3)正确二项式系数只与n和项数有关(4)错误令x1，可得a7a6a1a027128.答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)二项式的展开式中，常数项的值是()a240b60c192d180a二项式展开式的通项为tr1c(2x)6r26rcx63r，令63r0，得r2，所以常数项为262c16240.3已知(2x)10a0a1xa2x2a10x10，则a8等于()a180b180c45d45a由题意得a8c22(1)8180.4(2017山东高考)已知(13x)n的展开式中含有x2项的系数是54，则n_.4(13x)n的展开式的通项为tr1c(3x)r.令r2，得t39cx2.由题意得9c54，解得n4.5在的展开式中，x2的系数是_，各项系数之和为_(用数字作答)10243x2的系数为c210；令x1，得各项系数之和为(12)5243.(对应学生用书第173页)二项展开式中的特定项或特定项的系数角度1求展开式中的某一项(2018合肥二测)在的展开式中，常数项为_5由题知，二项式展开式为c(1)0c(1)c(1)2c(1)3c(1)4，则常数项为ccccc61215.角度2求展开式中的项的系数或二项式系数(2017全国卷)(1x)6展开式中x2的系数为()a15b20c30d35c对于(1x)6，若要得到x2项，可以在中选取1，此时(1x)6中要选取含x2的项，则系数为c；当在中选取时，(1x)6中要选取含x4的项，即系数为c，所以，展开式中x2项的系数为cc30，故选c.角度3由已知条件求n的值或参数的值(2018云南二检)在(21x)n的二项展开式中，若第四项的系数为7，则n()a9b8c7d6b由题意，得c7，解得n8，故选b.规律方法求二项展开式中的特定项的方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项tk1cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0，1，2，n).(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程.特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解.(4)求特定项或特定项的系数要多从组合的角度求解，一般用通项公式太麻烦.跟踪训练(1)(2017全国卷)(xy)(2xy)5的展开式中x3y3的系数为()a80b40c40d80(2)在的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中常数项是() 【导学号：79140347】a7b7c28d28(3)(2018西宁检测(一)若的展开式中，二项式系数和为64，所有项的系数和为729，则a的值为_(1)c(2)b(3)4或2(1)因为x3y3x(x2y3)，其系数为c2240，x3y3y(x3y2)，其系数为c2380.所以x3y3的系数为804040.故选c.(2)由题意知15，解得n8，的展开式的通项tk1c (1)k2k8cx.令80得k6，则展开式中的常数项为(1)6268c7.(3)由二项式系数和为64得2n64，解得n6.令x1，得所有项的系数和为(1a)6729，解得a2或a4.二项式系数的和或各项系数和(1)已知(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为()a212 b211c210d29(2)(2015全国卷)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_.(1)d(2)3(1)(1x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，cc，解得n10.从而cccc210，奇数项的二项式系数和为ccc29.(2)设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.规律方法赋值法的应用(1)对形如(axb)n(a，br)的式子求其展开式各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可(2)对形如(axby)n(a，br)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(3)一般地，对于多项式(abx)na0a1xa2x2anxn，令g(x)(abx)n，则(abx)n展开式中各项的系数的和为g(1)，(abx)n展开式中奇数项的系数和为g(1)g(1)，(abx)n展开式中偶数项的系数和为g(1)g(1)跟踪训练(1)(2018合肥一检)已知(axb)6的展开式中x4项的系数与x5项的系数分别为135与18，则(axb)6展开式所有项系数之和为()a1b1c32d64(2)(2018杭州质检)若的展开式中所有二项式系数和为64，则n_；展开式中的常数项是_(1)d(2)6240(1)由题意可得解得或则(axb)6(x3)6，令x1得展开式中所有项的系数和为(2)664，故选d.(2)由的展开式中所有二次项系数和为64，得2n64，n6，则展开式第r1项是tr1c(2x)6rc26r(1)rx63r，当r2时为常数项，则常数项是c24(1)21516240.二项式定理的应用(1)(2017豫东名校模拟)设复数x(i是虚数单位)，则cxcx2cx3cx2 017()aibi c1id1i(2)设az，且0a13，若512 012a能被13整除，则a()a0b1 c11d12(1)c(2)d(1)x1i，cxcx2cx3cx2 017(1x)2 0171i2 01711i.(2)512 012a(521)2 012ac522 012c522 011c52(1)2 011c(1)2 012a，c522 012c522 011c52(1)2 011能被13整除且512 012a能被13整除，c(1)2 012a1a也能被13整除因此a可取值12.规律方法1.逆用二项式定理的关键根据所给式的特点结合二项展开式的要求，使之具备二项式定理右边的结构，然后逆用二项式