高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系学案 新人教A版选修21.doc

3.2 立体几何中的向量方法（1）空间向量与平行关系学习目标1.掌握空间点、线、面的向量表示.2.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量.3.能用向量法证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行问题.知识点一直线的方向向量与平面的法向量思考怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？答案(1)点：在空间中，我们取一定点o作为基点，那么空间中任意一点p的位置就可以用向量来表示.我们把向量称为点p的位置向量.(2)直线：直线的方向向量：和这条直线平行或共线的非零向量.对于直线l上的任一点p，存在实数t，使得t，此方程称为直线的向量参数方程.(3)平面：空间中平面的位置可以由内两条相交直线来确定.对于平面上的任一点p，a，b是平面内两个不共线向量，则存在有序实数对(x，y)，使得xayb.空间中平面的位置还可以用垂直于平面的直线的方向向量表示.梳理(1)用向量表示直线的位置条件直线l上一点a表示直线l方向的向量a(即直线的方向向量)形式在直线l上取a，那么对于直线l上任意一点p，一定存在实数t，使得t作用定位置点a和向量a可以确定直线的位置定点可以具体表示出l上的任意一点(2)用向量表示平面的位置通过平面上的一个定点o和两个向量a和b来确定：条件平面内两条相交直线的方向向量a，b和交点o形式对于平面上任意一点p，存在有序实数对(x，y)使得xayb通过平面上的一个定点a和法向量来确定：平面的法向量直线l，直线l的方向向量，叫做平面的法向量确定平面位置过点a，以向量a为法向量的平面是完全确定的(3)直线的方向向量和平面的法向量直线的方向向量能平移到直线上的非零向量a，叫做直线l的一个方向向量平面的法向量直线l，取直线l的方向向量n，叫做平面的法向量(4)空间中平行关系的向量表示设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面，的法向量分别为，v，则线线平行lmabakb(kr)线面平行laa0面面平行vkv(kr)知识点二利用空间向量处理平行问题思考(1)设v1(a1，b1，c1)，v2(a2，b2，c2)分别是直线l1，l2的方向向量.若直线l1l2，则向量v1，v2应满足什么关系.(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向量满足哪些条件可说明直线与平面平行？(3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？答案(1)由直线方向向量的定义知若直线l1l2，则直线l1，l2的方向向量共线，即l1l2v1v2v1v2(r).(2)可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定线面是否平行.(3)关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平面平行.梳理利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.类型一求直线的方向向量、平面的法向量例1如图，四棱锥pabcd中，底面abcd为矩形，pa平面abcd，e为pd的中点.abap1，ad，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ace的一个法向量.解因为pa平面abcd，底面abcd为矩形，所以ab，ad，ap两两垂直.如图，以a为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，则d(0，0)，e(0，)，b(1，0，0)，c(1，0)，于是(0，)，(1，0).设n(x，y，z)为平面ace的法向量，则即所以令y1，则xz.所以平面ace的一个法向量为n(，1，).引申探究若本例条件不变，试求直线pc的一个方向向量和平面pcd的一个法向量.解如图所示，建立空间直角坐标系，则p(0，0，1)，c(1，0)，所以(1，1)，即直线pc的一个方向向量.设平面pcd的法向量为n(x，y，z).因为d(0，0)，所以(0，1).由即所以令y1，则z.所以平面pcd的一个法向量为n(0，1，).反思与感悟利用待定系数法求平面法向量的步骤(1)设向量：设平面的法向量为n(x，y，z).(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.(3)列方程组：由列出方程组.(4)解方程组：(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取1).(6)得结论：得到平面的一个法向量.跟踪训练1如图，在四棱锥pabcd中，底面abcd是矩形.平面pab平面abcd，pab是边长为1的正三角形，abcd是菱形.abc60，e是pc的中点，f是ab的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面def的法向量.解因为papb，f为ab的中点，所以pfab，又因为平面pab平面abcd，平面pab平面abcdab，pf平面pab.所以pf平面abcd，因为abbc，abc60，所以abc是等边三角形，所以cfab.以f为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示).由题意得f(0，0，0)，p(0，0，)，d(1，0)，c(0，0)，e(0，).所以(0，)，(1，0).设平面def的法向量为m(x，y，z).则即所以令y2，则x，z2.所以平面def的一个法向量为m(，2，2).类型二利用空间向量证明平行问题例2已知正方体abcda1b1c1d1的棱长为2，e、f分别是bb1、dd1的中点，求证：(1)fc1平面ade；(2)平面ade平面b1c1f.证明(1)建立如图所示空间直角坐标系dxyz，则有d(0，0，0)，a(2，0，0)，c(0，2，0)，c1(0，2，2)，e(2，2，1)，f(0，0，1)，b1(2，2，2)，所以(0，2，1)，(2，0，0)，(0，2，1).设n1(x1，y1，z1)是平面ade的法向量，则n1，n1，即得令z12，则y11，所以n1(0，1，2).因为n1220，所以n1.又因为fc1平面ade，所以fc1平面ade.(2)因为(2，0，0)，设n2(x2，y2，z2)是平面b1c1f的一个法向量.由n2，n2，得得令z22，得y21，所以n2(0，1，2)，因为n1n2，所以平面ade平面b1c1f.反思与感悟利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.跟踪训练2如图，在四棱锥pabcd中，pa平面abcd，pb与底面所成的角为45，底面abcd为直角梯形，abcbad90，pabcad1，问在棱pd上是否存在一点e，使ce平面pab？若存在，求出e点的位置；若不存在，请说明理由.解分别以ab，ad，ap为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，p(0，0，1)，c(1，1，0)，d(0，2，0)，设e(0，y，z)，则(0，y，z1)，(0，2，1)，y(1)2(z1)0，(0，2，0)是平面pab的法向量，又(1，y1，z)，ce平面pab，(1，y1，z)(0，2，0)0.y1，代入得z，e是pd的中点，存在e点，当点e为pd中点时，ce平面pab.1.若a(1，0，1)，b(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为()a.(1，2，3) b.(1，3，2) c.(2，1，3) d.(3，2，1)答案a解析因为(2，4，6)，所以与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量.2.已知直线l1的方向向量a(2，3，5)，直线l2的方向向量b(4，x，y)，若l1l2，则x，y的值分别是()a.6和10 b.6和10 c.6和10 d.6和10答案a解析由l1l2，得两向量a，b平行，即，所以x，y的值分别是6和10.3.若(2，3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是()a.(0，3，1) b.(2，0，1)c.(2，3，1) d.(2，3，1)答案d解析能作为平面的法向量的向量与(2，3，1)共线，(2，3，1).4.若直线l，且l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则m为()a.4 b.6 c.8 d.8答案c解析l，平面的法向量为，(2，m，1)0，2m20，m8.5.在正方体abcda1b1c1d1中，平面acd1的一个法向量为_.答案(1，1，1)(答案不惟一)解析不妨设正方体的棱长为1，建立空间直角坐标系，则各点坐标为a(1，0，0)，c(0，1，0)，d1(0，0，1)，设平面acd1的一个法向量a(x，y，z)，则a0， a0.因为(1，1，0)，(1，0，1)，所以所以所以不妨取x1，则a(1，1，1).(注：答案不惟一，只要与所给答案共线都对)1.应用向量法证明线面平行问题的方法(1)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直.(2)证明直线的方向向量与平面内的某一直线的方向向量共线.(3)证明直线的方向向量可用平面内的任两个不共线的向量表示.即用平面向量基本定理证明线面平行.2.证明面面平行的方法设平面的法向量为n1(a1，b1，c1)，平面的法向量为n2(a2，b2，c2)，则n1n2(a1，b1，c1)k(a2，b2，c2)(kr).40分钟课时作业一、选择题1.已知l1的方向向量为v1(1，2，3)，l2的方向向量为v2(，4，6)，若l1l2，则等于()a.1 b.2 c.3 d.4答案b解析l1l2，v1v2，则，2.2.已知a(1，0，2)，b(6，21，2)，若ab，则与的值可以是()a.2， b.， c.3，2 d.2，2答案a解析由题意知解得或3.直线l的方向向量s(1，1，1)，平面的一个法向量为n(2，x2x，x)，若直线l，则x的值为()a.2 b. c. d.答案d解析易知121(x2x)1(x)0，解得x.4.在正方体abcda1b1c1d1中，e，f分别在a1d，ac上，且a1ea1d，afac，则()a.ef至多与a1d，ac中的一个垂直b.efa1d，efacc.ef与bd1相交d.ef与bd1异面答案b解析以d点为坐标原点，分别以，的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则a1(1，0，1)，d(0，0，0)，a(1，0，0)，c(0，1，0)，e(，0，)，f(，0)，b(1，1，0)，d1(0，0，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(，)，(1，1，1)，0，0，从而efbd1，efa1d，efac.故选b.5.设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，若ab0，则()a.l b.l c.l d.l或l答案d解析当ab0时，l或l.6.已知平面内两向量a(1，1，1)，b(0，2，1)且cmanb(4，4，1).若c为平面的法向量，则m，n的值分别为()a.1，2 b.1，2 c.1，2 d.1，2答案a解析cmanb(4，4，1)(m，m，m)(0，2n，n)(4，4，1)(m4，m2n4，mn1)，由c为平面的法向量，得得二、填空题7.已知a(4，1，3)，b(2，3，1)，c(3，7，5)，点p(x，1，3)在平面abc内，则x的值为_.答案11解析点p在平面abc内，存在实数k1，k2，使k1k2，即(x4，2，0)k1(2，2，2)k2(1，6，8)，解得x42k1k2817，即x11.8.已知l，且l的方向向量为m(2，8，1)，平面的法向量为n(1，y，2)，则y_.答案解析l，l的方向向量m(2，8，1)与平面的法向量n(1，y，2)垂直，218y20，y.9.设平面的法向量为m(1，2，2)，平面的法向量为n(2，4，k)，若，则k_.答案4解析由得，解得k4.10.已知平面与平面垂直，若平面与平面的法向量分别为(1，0，5)，v(t，5，1)，则t的值为_.答案5解析平面与平面垂直，平面的法向量与平面的法向量v垂直，uv0，即1t05510，解得t5.三、解答题11.已知平面经过点a(1，2，3)，b(2，0，1)，c(3，2，0)，试求平面的一个法向量.解a(1，2，3)，b(2，0，1)，c(3，2