高考数学二轮复习 专题对点练6 导数与函数的单调性、极值、最值 理.doc

专题对点练6导数与函数的单调性、极值、最值1.(2017辽宁大连检测,理20)已知函数f(x)=ln(x-1)+axx+1(ar).(1)若函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,求a的取值范围;(2)若函数y=f(x)的图象与直线4x-3y-2=0相切,求a的值.解 (1)f(x)=1x-1+a(x+1)-ax(x+1)2=(x+1)2+a(x-1)(x-1)(x+1)2,函数f(x)在区间(1,4)内单调递增,f(x)0在(1,4)内恒成立,(x+1)2+a(x-1)0,即a(x+1)2-x+1=-x-3+4-x+1=-(x-1)+4x-1-4在(1,4)内恒成立,x(1,4),x-1(0,3),x-1+4x-14,取等号条件为当且仅当x=3,-(x-1)+4x-1-4-8,a-8.(2)设切点为(x0,y0),则f(x0)=43,4x0-3y0-2=0,y0=ln(x0-1)+ax0x0+1,1x0-1+a(x0+1)2=43,且4x0-23=ln(x0-1)+ax0x0+1.由得a=43-1x0-1(x0+1)2,代入得4x0-23=ln(x0-1)+43-1x0-1(x0+1)x0,即ln(x0-1)+4x03-7x02-x0-23(x0-1)=0,令f(x)=ln(x-1)+4x3-7x2-x-23(x-1),则f(x)=x(8x2-19x+17)3(x-1)2,8x2-19x+17=0的=-1830恒成立.f(x)在(1,+)内恒为正值,f(x)在(1,+)内单调递增.f(2)=0,x0=2代入式得a=3.2.(2017辽宁鞍山一模,理21改编)已知函数f(x)=ln(x+1)+ax2,其中ar.(1)若函数f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,求a的值;(2)讨论函数f(x)极值点的个数,并说明理由.解 (1)因为f(x)=1x+1+2ax,由f(x)在x=1处的切线与直线x+y-1=0垂直,可知f(1)=12+2a=1,所以a=14.(2)由题意知,函数f(x)的定义域为(-1,+),f(x)=1x+1+2ax=2ax2+2ax+1x+1,令g(x)=2ax2+2ax+1,x(-1,+).()当a=0时,g(x)=1,此时f(x)0,函数f(x)在(-1,+)单调递增,无极值点;()当a0时,方程g(x)=2ax2+2ax+1的判别式=4a2-8a=4a(a-2).当02时,0,设方程2ax2+2ax+1=0的两根为x1,x2(x1x2),因为x1+x2=-1,g(x)=2ax2+2ax+1的图象的对称轴方程为x=-12,所以x1-12.由g(-1)=g(0)=10,可得-1x1-12x20,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x1,x2)时,g(x)0,f(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增.因此函数f(x)有两个极值点.()当a0,由g(-1)=g(0)=10,可得x10,当x(-1,x2)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递增;当x(x2,+)时,g(x)0,f(x)0,函数f(x)单调递减,所以函数有一个极值点.综上所述,当a2时,函数f(x)有两个极值点.导学号168041673.(2017河北衡水中学三调,理21)设函数f(x)=bxlnx-ax,e为自然对数的底数.(1)若函数f(x)的图象在点(e2,f(e2)处的切线方程为3x+4y-e2=0,求实数a,b的值;(2)当b=1时,若存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立,求实数a的最小值.解 (1)f(x)=b(lnx-1)(lnx)2-a(x0,且x1),由题意得f(e2)=b4-a=-34,f(e2)=be22-ae2=-12e2,联立解得a=b=1.(2)当b=1时,f(x)=xlnx-ax,f(x)=lnx-1(lnx)2-a,xe,e2,ln x1,2,1lnx12,1.f(x)+a=lnx-1(lnx)2=-1lnx-122+1414,f(x)+amax=14,xe,e2.存在x1,x2e,e2,使f(x1)f(x2)+a成立xe,e2,f(x)minf(x)+amax=14.当a14时,f(x)0,f(x)在xe,e2上为减函数,则f(x)min=f(e2)=e22-ae214,解得a12-14e2.当a14时,由f(x)=-1lnx-122+14-a在e,e2上的值域为-a,14-a.()当-a0即a0时,f(x)0在xe,e2上恒成立,因此f(x)在xe,e2上为增函数,f(x)min=f(e)=e-ae,不符合题意,舍去.()当-a0时,即0a14时,由f(x)的单调性和值域可知存在唯一x0(e,e2),使得f(x0)=0,且满足当xe,x0)时,f(x)0,f(x)为增函数.f(x)min=f(x0)=x0ln x0-ax014,x0(e,e2).a1ln x0-14x01ln e2-14e214,与0a0时,m(x)0;当x0时,m(x)0,当x0时,h(x)0时,h(x)0,h(x)单调递增,所以当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;当a0时,h(x)=2(ex-eln a)(x-sin x),由h(x)=0得x1=ln a,x2=0.()当0a1时,ln a0,当x(-,ln a)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(ln a,0)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=ln a时h(x)取到极大值.极大值为h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2,当x=0时h(x)取到极小值,极小值是h(0)=-2a-1;()当a=1时,ln a=0,所以当x(-,+)时,h(x)0,函数h(x)在(-,+)上单调递增,无极值;()当a1时,ln a0,所以当x(-,0)时,ex-eln a0,h(x)单调递增;当x(0,ln a)时,ex-eln a0,h(x)0,h(x)0,h(x)单调递增.所以当x=0时h(x)取到极大值,极大值是h(0)=-2a-1;当x=ln a时h(x)取到极小值,极小值是h(ln a)=-aln2a-2ln a+sin(ln a)+cos(ln a)+2.综上所述:当a0时,h(x)在(-,0)上单调递减,在(0,+)上单调递增,函数h(x)有极小值,极小值