1.1.2导数的概念 (3).ppt

1 第二章 微积分学的创始人 德国数学家Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 从微观上研究函数 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家Fermat在研究 极值问题中提出 英国数学家Newton 2 在许多实际问题中 需要从数量上研究变量的变化速度 如物体的运动速度 电流强度 线密度 比热 化学反应速度及生物繁殖率等 所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题 即导数 本章将通过对实际问题的分析 引出微分学中两个最重要的基本概念 导数与微分 然后再建立求导数与微分的运算公式和法则 从而解决有关变化率的计算问题 3 导数和微分是继连续性之后 函数研究的进一步深化 导数反映的是因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况 而微分则是指明当自变量有微小变化时 函数大体上变化多少 重点 导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式四则运算法则复合函数求导的链式法则高阶导数隐函数和参量函数求导 难点 导数的实质 用定义求导 链式法则 4 引例 导数的定义 导数的几何意义与物理意义 可导与连续的关系 求导举例 小结思考题作业 2 1导数的概念 derivative 第二章导数与微分 5 例 直线运动的瞬时速度问题 一质点作直线运动 已知路程s与时间t的 试确定t0时的瞬时速度v t0 这段时间内的平均速度 等于质点在每个时刻的速度 解 若运动是匀速的 平均速度就 一 引例 关系 质点走过的路程 自由落体运动 6 此式既是它的定义式 又指明了它的计算 它越近似的 定义为 并称之为t0时的瞬时速度v t0 瞬时速度是路程对时间的变化率 若运动是非匀速的 平均速度 是这段 时间内运动快慢的平均值 越小 表明t0时运动的快慢 因此 人们把t0时的速度 注 方法 7 例 割线的极限位置 对于一般曲线如何定义其切线呢 曲线的切线斜率问题 若已知平面曲线 如何作过 的切线呢 初等数学中并没有给出曲线切线的定义 过该点的切线 我们知道与圆周有唯一交点的直线 即为圆周 但此定义不适应其它曲线 如 与抛物线有唯一交点的直线不一定是切线 切线位置 曲线上点 法国 数学家费马在1629年提出了如下的定义和求法 P deFermat1601 1665 从而圆满地解决了这个问题 8 割线的极限位置 切线位置 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 处切线的斜率 已知曲线的方程 确定点 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT 极限位置即 C在点M处的切线 如图 19 割线MN的斜率为 切线MT的斜率为 20 就其实际意义来说各不相同 关系上确有如下的共性 但在数量 1 在问题提法上 都是已知一个函数 求y关于x在x0处的变化率 2 计算方法上 1 当y随x均匀变化时 用除法 2 当变化是非均匀的时 需作平均变化率的 上述两例 分别属于运动学 几何学中的问题 极限运算 21 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 类似问题还有 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 变化率问题 22 定义 函数 与自 平均变化率 二 导数的定义 23 中的任何一个表示 存在 如 平均变化率的极限 或 函数在一点处的变化率 derivative 或有导数 可用下列记号 则称此极限值为 24 处不可导或导数不存在 特别当 1 式的极限为 有时也说在x0处导数是正 负 无 要注意 导数定义可以写成多种形式 当极限 1 式不存在时 就说函数f x 在x0 在利用导数的定义证题或计算时 正 负 无穷时 穷大 但这时导数不存在 25 关于导数的说明 或 如果x0 0 可以写成 特别是 1 点导数是因变量在点x0处的变化率 它反映了 因变量随自变量的变化而变化的快慢程度 2 如果函数y f x 在开区间I内的每点处都可 导 就称函数f x 在开区间I内可导 26 记作 即 或 3 对于任一 都对应着f x 的一个确定的 导数值 这个函数叫做原来函数f x 的 导函数 注意 27 例 用导数表示下列极限 解 解 28 设 存在 求极限 练习 解 原式 29 右导数 4 单侧导数 左导数 又分别可以解释为曲线 点的左切线的斜率与右切线的斜率 从几何上 leftderivative rightderivative 30 例求函数f x x 在x 0处的导数 因为f 0 f 0 解 所以函数f x x 在x 0处不可导 单侧导数 31 定理 32 处的可导性 此性质常用于判定分段函数在 分段点 如果 在开区间 内可导 都存在 33 例 解 三 求导举例 几个基本初等函数的导数 步骤 即 34 例 解 即 同理可得 自己练习 35 例 解 更一般地 如 即 36 例 解 即 37 例 解 即 38 1 几何意义 特别地 即 四 导数的几何意义与物理意义 39 40 例 解 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 由导数的几何意义 即 即 41 练习 设切点的横坐标为x0 解 于是所求切线的方程可设为 已知点 0 4 在切线上 所以 解之得x0 4 于是所求切线的方程为 则切线的斜率为 42 2 物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率 路程对时间的导数为物体的瞬时速度 电量对时间的导数为电流强度 为物体的线 面 体 密度 变速直线运动 交流电路 非均匀的物体 质量对长度 面积 体积 的导数 43 该点必连续 证 定理 如果函数 则函数在 五 可导与连续的关系 在点x处可导 即 函数极限与无穷小的关系 所以 44 如 该定理的逆定理不一定成立 注 连续是可导的必要条件 不是可导的充分条件 45 例 解 46 连续但不可导的函数 这是因为函数在点x 0处导数为无穷大 47 练习 为了使f x 在x0处可导 解 首先函数必须在x0处连续 由于 故应有 又因 应如何选取a b 48 从而 当 f x 在x0处可导 49 导数的实质 增量比的极限 导数的几何意义 切线的斜率 函数可导一定连续 但连续不一定可导 求导数最基本的方法 由定义求导数 判断可导性 不连续 一定不可导 连续 直接用定义 看左右导数是否存在且相等 六 小结 50 思考题 51 思考题解答 52 讨论 当k取何值时 函数在 x 0处连续与可导 解 因为当k 0时 有 所以 函数当k 1时 在x 0处可导 所以当k 0时 函数在x 0处连续 又因为 53 练习题 存在 则 2 已知 则 1 设 3 设 存在 且 求 问a取何值时 在 都存在 并求出 4 设 54 解 因为 3 设 存在 且 求 所以 55 问a取何值时 在 都存在 并求出 解 故 时 此时 在 都存在 显然该函数在x 0连续 4 设 56 Newton 1642 1727 伟大的英国数学家 物理学家 天文 学家和自然科学家 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 1665年他提出正 流数 微分 术 次年又提出反流数 积分 术 并于1671 年完成 流数术与无穷级数 一书 1736年出版 他 还著有 自然哲学的数学原理 和