1.3.1 单调性与最大（小）值 第1课时 函数的单调性（改）.ppt

1 3函数的基本性质1 3 1单调性与最大 小 值第1课时函数的单调性 1 理解函数的单调性的概念 重点 难点 2 掌握判断函数单调性的一般方法 重点 3 会用函数单调性的定义证明简单的函数的单调性 求函数的单调区间 重点 我们通过几个函数的图象观察函数值随自变量而变化的规律 这种函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而增大的性质我们称之为 函数在这个区间上是增函数 函数在其定义域的一个区间上函数值随着自变量的增大而减少的性质我们称之为 函数在这个区间上是减函数 如何用函数的解析式和数学语言进行描绘 对函数f x x2而言 函数值在 0 上随自变量的增大而增大 可以这样描述 在区间 0 上任取两个实数x1 x2 得到函数值f x1 x12 f x2 x22 当x1 x2时 有f x1 f x2 请同学们用数学语言描述函数f x 在 0 上函数值随自变量的增大而减小的情况 一般地 设函数f x 的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数在区间D上是增函数 探究点1函数是单调性的定义 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 当时 都有 那么就说函数在区间D上是减函数 如果函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 那么就说函数y f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做y f x 的单调区间 第一 在中学数学中所说的单调性是指严格的单调性 即必须是f x1 f x2 而不能是f x1 f x2 或f x1 f x2 探究点2对函数单调性的理解 第二 函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的 是局部概念 第三 学习函数的单调性 要注意定义中条件和结论是双向使用的 探究点3典型例题 例1 下图是定义在区间 5 5 上的函数y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一个单调区间上 它是增函数还是减函数 例2画出反比例函数f x 的图象 1 这个函数的定义域是什么 2 它在定义域I上的单调性是怎样的 证明你的结论 函数图象如图 取值 作差变形 定号 判断 取值 即设x1 x2是该区间内的任意两个值 且x1 x2 作差变形 即作差f x1 f x2 或f x2 f x1 并用因式分解 配方 有理化等方法将差式向有利于判断差的符号的方向变形 定号 确定差f x1 f x2 或f x2 f x1 的符号 当符号不确定时 可进行分类讨论 判断 根据定义得出结论 利用定义证明或判断函数在指定区间上的单调性的步骤 提升总结 例3 已知函数f x 为定义在区间 1 1 上的增函数 则满足f x f 4x 1 的实数x的取值范围为 练 讨论函数的单调性并证明 1 函数的单调性反映了函数值随自变量的变化而变化的一种特定规律 当在函数定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而增大时 函数在这个区间上单调递增 当函数在定义域的某个区间上函数值随自变量的增大而减小时 函数在这个区间上单调递减 2 函数的单调性是函数在其定义域上的 局部 性质 即函数可能在其定义域上的某个区间内递增 在另外的区间上递减 研究函数的单调性一定要注意在定义域的哪个区间内 3 函数单调性的定义 定量地刻画了函数的单调性 使用定义证明函数的单调性的基本步骤是 1 取值 2 作差变形 3 定号 4 作出判断 4