评试题难易探问题根源_2013年安徽高考难在哪里.pdf

高中版 2014 年 1 月 纵览2013年全国各套数学试卷 很多教师认为安徽 卷 杀伤力 较强 以至于部分学生被 秒杀 在考完数学 就进行 下一年 高考倒计时 网民为其赋诗一首 江城子 安徽高考数学 拿到试卷透心凉 一紧张 公式忘 似曾 相识 解法却不详 向量几何两茫茫 看数列 泪千行 两 小时后出考场 见同窗 共悲伤 如此成绩无脸见爹娘 待 到分数发布日 心余慌 愁断肠 为什么试卷会被师生共 同贴上 超难 的标签 安徽卷到底难在哪里 值得一线教 师关注和反思 通过与学生对话 与教师交流 笔者认为 很多问题的根源出在数学的教与学中 本文罗列相关现 象 给出对策 不足之处 敬请同仁批评指正 一 重教辅 轻教材 得不偿失 在高三复习教学中 不少教师一轮复习一本 学校统 一订购 通 二三轮复习沉溺于题海 各地信息卷 中 将 教材束之高阁 复习到最后甚至自己都搞不清某个知识 点在哪册书中 回归教材成为一句口号 教师根本就没有 告诉学生如何回归教材 更谈不上对教材的落实 看似加 深难度 拓宽广度 实则与目标渐行渐远 得不偿失 例1 安徽卷理科第3题 在下列命题中 不是公理 的是 A 平行于同一个平面的两个平面平行 B 过不在同一直线上的三个点 有且只有一个平面 C 如果一条直线上的两点在同一个平面内 那么这 条直线上所有点都在此平面内 D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么它们 有且只有一条过该点的公共直线 评析 选项B为公理2 选项C为公理1 选项D为公理 3 选项A为两个平面平行的判定定理 答案为A 在立体 几何中 判定定理 性质定理等真命题较多 但能称之为 公理的屈指可数 公理的地位何其重要 值得探究 再强 调都不过分 命题者选用此题彰显人文关怀 力争 送分 送到位 期待教与学回归教材 遗憾的是 学生对此毫不 领情 俨然成为一道把关题 第5题考查统计的基础知识 不少学生错选D 说明学生审题不细的同时也反映学生 对样本和总体的关系认识不清楚 对策 目前 教辅种类繁多 层次不齐 科学性 规范 性差 教材是专家集体智慧的结晶 是课程标准下知识 思想方法的载体 融科学性 趣味性 实用性为一体 立 足基础 着眼提高 教材中编者对内容的处理可以让教 师感悟新课程理念 教学资源为教师备课提供有益的补 充 开阔学生的视野 为教学探究提供素材和方向 目前 高中数学教材有6个版本 各有所长 教师在教学中 应 总揽全局 博取众长 教材看似平淡无奇 但其内蕴深 厚 就像一汪清澈见底的泉水 越品越有滋味 教师应重 视对教材的解读 先从薄到厚 再从厚到薄 切实弄清教 材编者的真实意图 落实新课标理念 教师在教学中应 充分发挥示范作用 教会学生如何合理使用教材 并加 强监督落实 二 重灌输 轻疏导 事与愿违 教师的宝贵经验是学生成长的阶梯 学生若能在阶 梯上平稳走好 则可加速成长 觅得真经 反之 则会从阶 梯上掉下摔伤自己 不少教师总结反思教学经验 将其做 为结论 方法 技巧灌输给学生 期待学生对号入座 提高 教学效益 还有一些教师认为 多选题 压轴题涉及知识 面广 对学生思维能力要求高 学生得分普遍较低 不如 花时间在其他性价比高的题上 对这类题的强化训练 缺 乏思想方法 一般技巧的指导 留下了 多选题难 压轴 题是清华北大学生的专利 的心理阴影 严重干扰了学生 的正常解题习惯和良好的考试心态 致使对本来可解的 问题浮光掠影 浅尝辄止 更多的是凭感觉 靠运气 非智 力因素导致潜在的失分 教学的短平快和教师的错误暗 示与教师的期待背道而驰 事与愿违 例2 安徽卷理科第15题 如图1 正方体ABCD A1B1C1D1棱长为1 P为BC的中点 Q为线段CC1上的动点 评试题难易探问题根源 2013年安徽高考难在哪里 筅安徽省灵璧县教育体育局教研室张桂海 筅安 徽 省 灵 璧 第 一 中 学郑良 命题感悟 数坛 在线 54 高中版 2014 年 1 月 过点A P Q的平面截该正方体所 得的截面记为S 则下列命题正确 的是 写出所有正确的命题的编号 当0 CQ 1 2 时 S为四边形 当CQ 1 2 时 S为等腰梯形 当CQ 3 4 时 S与C1D1的交点R满足C1R 1 3 当 3 4 CQ 1时 S为六边形 当CQ 1时 S的面积为 6 姨 2 评析 本题以正方体为载体 重在理解截面的定义和 性质 考查学生的空间想象能力 推理论证能力等 教材 中有 正方体截面的形状 课题学习 遗憾的是 教学过程 中很少教师安排完整的数学探究 建模活动 更多的是讲 数学甚至让学生自己看 相信很多学生都做过以下两个 问题 如果教师与学生共同探究清楚 例2迎刃可解 问题1 如图2 在透明塑料制成的长方体ABCD A1B1C1D1容器内灌进一些水 将 容器底面一边BC固定于地面 上 再将容器倾斜 随着倾斜度 的不同 有下列四个说法 其中 正确说法是 写 出所有正确的命题编号 水的部分始终呈棱柱状 水面四边形EFGH的面积不改变 棱A1D1始终与水面EFGH平行 当E AA1时 AE BF是定值 问题2 如图3 在四面体ABCD中 已知DA DB DC 1 且DA DB DC两两互相垂直 在该四面体表面上与点A距离为 23 姨 3 的点形成一条曲线 则这 条曲线的长度是 对策 学数学就是做数学 我听过的我会忘记 我看过的我 会记得 我做过的我才会理解 在教学中要想方设法提 供机会让学生去实践操作 在探究中学习 发展 只有 亲身经历的 学生才能悟得深刻 记得牢固 理解透彻 高考不仅仅是知识的较量 更是综合素质的比拼 教学 中结合学生实际 将自己宝贵的经验传授给学生 使其 少走弯路 但千万不能用教师 宝贵 的经验固化学生 鲜活的思维 甚至成为学生成长的绊脚石 三 重思路轻计算 因小失大 随着计算器的普及 在 多一点想 少一点算 的命题 立意下 计算能力地位看似下降 实际上 在任何时候计 算能力的要求都不能降低 从某种意义上说 得计算者 得高考 客观题自不必讲 主观题一旦出现计算错误 后 续的数据则可能导致无法正常的思维 很多师生认为只 要知道解题思路 在考试时仔细计算就可以避免计算错 误 没有厚积哪能薄发 考试时就会出现 会而不对 对而 不全 因小失大 例3 安徽卷理科第21题 某高校数学系计划在周 六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动 分别 由李老师和张老师负责 已知该系共有n位学生 每次 活动均需该系k位学生参加 n和k都是固定的正整数 假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独 立 随机地发给该系k位学生 且所发信息都能收到 记 该系收到李老师或张老师所发活动通知信息的学生人 数为X 1 求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通 知信息的概率 2 求使P X m 取得最大值的整数m 评析 本题背景公平 学生对所熟知的问题能够尽快 上手 第一问解决相对容易 第 2 问中 当k n时 m只能 取n 有 P X m P X n 1 当k n时 整数m满足k m t 其中t是2k和n中较小 者 由于 李老师和张老师各自独立 随机地发活动通知 信息给k位同学 所包含的基本事件总数为 Ck n 2 当X m 时 同学收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为 2k m 仅收到李老师或仅收到张老师转发信息的学生人 数均为m k 由乘法计数原理知 事件 X m 所包含基本 事件数为Ck nC 2k m k Cm k n k 此时P X m Ck nC 2k m k Cm k n k Ck n 2 C2k m k Cm k n k Ck n 只需P X m P X m 1 且 P X m P X m 1 分别 解得m 2k k 1 2 n 2 和m 2k 1 k 1 2 n 2 考虑到 k 1 2 n 2 未必是整数 所以当 k 1 2能被n 2整除时 P X m 在 m 2k k 1 2 n 2 和m 2k 1 k 1 2 n 2 处达最大值 当 k 1 2不能 图 1 D C C1 B1 A1 D1 BA Q P G D C B A E F H C1B1 A1 D1 图 2 G D C B A E F H 图 3 数坛 在线 命题感悟 55 高中版 2014 年 1 月 被n 2整除时 故P X m 在 m 2k k 1 2 n 2 22 处达最大值 注 x 表示不超过x的最大整数 在高考备考中 所有教师都会讲授如何求正项数列 及二项展开式中的最大项 学生为何对此题无能为力 除 去压轴题的因素外 呢 学生和教师重视解题思路的获 得 轻视计算过程的操作 导致学生眼高手低 一看就会 一做就错 对策 教师要让学生养成良好的计算习惯 除个别 计算用计算器外 其他尽可能用笔算 强化对学生运 算能力的培养 及时对计算情况进行跟踪调查 因人而 异地给出建议 教师要晓之以理 动之以情 使其充分认 识到准确计算的重要性 让提高运算能力成为学生的 迫切需求 四 重现象轻本质 事倍功半 数学教学是数学思维的教学 是数学本质的教学 数 学问题众象纷纭 通过抽丝剥茧 透过现象看本质 让学 生学习真正的数学 很多教师坠入题海 寻找各类题型 让学生反复操练 问题变式换汤不换药 仅仅是形式的差 异 无本质上的区别 导致学生陷入题海难以自拔 遇到 本质相同形式稍异的问题 不能修正思路或另辟蹊径 这 时 问题就成为了难题 例4 安徽理科第9题 在平面直角坐标系中 O是 坐标原点 两定点A B满足 O 22 A O 22 B O 22 A O 22 B 2 则点 集 P O 22 P O 22 A O 22 B 1 R 所表示的区域 面积是 A 22 姨B 23 姨C 42 姨D 43 姨 解法1 以OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系 则A 2 0 B 1 3 姨 根据O 22 P O 22 A O 22 B 得 x 2 y 3 姨 姨 u 解得 x 3 姨y 3 2 u 3 姨 3 y 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 代入 1 得 3 姨x y 2 y 23 姨 该不等式组等价于下列 不等式组 y 0 3 姨x y 0 3 姨x y 23 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 y 0 3 姨x y 0 3y 3 姨x 23 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 y 0 3 姨x y 0 3 姨x 3y 23 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 y 0 3 姨x y 0 3y 3 姨x 23 姨 姨 姨 姨 姨 姨姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 姨 在坐标系中画出线性区域 图略 A 2 0 B 1 3 姨 C 2 0 D 1 3 姨 平行四边形为43 姨 答 案为D 解法2 由题知 O 22 A O 22 B 3 当 0 0时 有 1 当 1时 如图4所示 在 OAB中 取O 22 C O 22 A 过点C作CD OB交 AB于D 作DE OA交OB于E 则O 22 D O 22 A C 22 D 由于 C 22 D 1 O 22 B 所以C 22 D O 22 A 1 O 22 B O 22 A O 22 B O 22 P 所以当 1时 点P的区域为 ABC及其内部 其 他类似 点P构成的区域为矩形ABFG 其面积为S 4S AOB 4 1 2 2 2 sin 3 43 姨 答案为D 评析 很多学生在解题中利用方法1 陷入命题的圈 套 过程自然 计算繁杂 造成策略不当而失分 实际上 这类问题在教材 模拟题中多次出现 学生往往满足答案 正确 错失思维上升的时机 解法2类比线性规划 通过探 究 得到一般性结论 揭示问题的本质 斜坐标系的线 性问题 对策 在教学中 不能满足 第一答案 的安慰 应该 立足学生实际 找准学生思维的起点 通过题组变式教 学 引领学生思维从低到高 逐步看到问题的本质 悟