数学北师大版七年级下册构造全等三角形.ppt

构造全等三角形 埇桥区021中学张学诚 全等三角形的构造方法全等三角形是初中数学中的重要内容之一 是今后学习其他内容的基础 判断三角形全等公理有SAS ASA AAS SSS 如果能够直接证明三角形的全等的 直接根据相应的公理就可以证明 但是如果给出的条件不全 就需要根据已知的条件结合相应的公理来进行分析 先推导出所缺的条件然后再证明 一些较难的一些证明问题要构造合适的全等三角形 把条件相对集中起来 再进行等量代换 就可以化难为易了 构造方法有 1 见山开道 遇水搭桥例1 如图 AB AD BC DC 求证 B D 练习 已知 如图AB CD AD BC 求证 A C 小结 上述例题和练习体现了 见山开道 遇水搭桥 的辅助线添加方法 2 倍长中线法若题设中含有中点或中线 可延长一倍 以构造全等三角形 从而将分散条件集中在一个三角形内 复习 可以利用倍长中线法 即把中线延长一倍 来构造全等三角形 例1如图 若AD为 ABC的中线 AB 5 AC 3 AD的取值范围是 A B C D E 1 2 例2 如图 在 ABC中 D是BC边的中点 E是AD上一点 BE AC BE的延长线交AC于点F 求证 EAF AEF P 练习 已知 如图 AD AE分别是 ABC和 ABD的中线 且BA BD 3 截长补短法 通常用来证明线段和差相等 截长法 即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段 使其中一段与较短线段相等 然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法 补短法 为把两条线段中的一条接长成为一条长线段 然后证明接成的线段与较长的线段相等 或是把一条较短的线段加长 使它等于较长的一段 然后证明加长的那部分与另一较短的线段相等 具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条线段延长 使之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于证明线段的和 差 倍 分等类的题目 例1 如图 已知正方形ABCD中 E为BC边上任意一点 AF平分 DAE 求证 AE BE DF P 例2 已知 如图所示 在四边形ABCD中 BC BA AD CD BD平分 ABC 求证 A C 180 例3 已知 AD为 ABC的角平分线 AB AC 求证 ABAC BD DC 练习1 在RT ABC中 BAC 90 AB AC BD平分 ABC CE BD 求证BD 2CE 要求 不能用补短法 只能用截长法 练习2 已知 如图 在 ABC中 C 2 B 1 2 求证 AB AC CD 要求 不能用截长法 只能用补短法 3 ABC中 BAC 60 C 40 AP平分 BAC交BC于P BQ平分 ABC交AC于Q AP BQ交于点O 求证 AB BP BQ AQ 4 如图 梯形中 A D 90o BE CE均是角平分线 求证 BC AB CD A C D 过点E作EF BC 构造了 全等的直角三角形且距离相等 B F 思考 你从本题中还能得到哪些结论 E 4 翻折 轴对称 法若题设中含有垂线 角的平分线等条件的 可以试用轴对称性质 沿轴翻转图形来构造全等三角形 沿角平分线翻折构造全等三角形 沿高线翻折构造全等三角形 绕点旋转构造全等三角形 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形 问题 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 方法一 A B C D E 必有结论 在AB上截取AE AC 连结DE ADE ADC ED CD 3 2 1 AED C ADE ADC 方法二 A B C D F 延长AC到F 使AF AB 连结DF 必有结论 ABD AFD BD FD 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形 问题 3 2 1 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 B F ADB ADF 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形 问题 A B C D M N 方法三 作DM AB于M DN AC于N 必有结论 AMD AND DM DN 3 2 1 如图 在 ABC中 AD平分 BAC 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 AM AN ADM AND 还可以用 角平分线上的点到角的两边距离相等 来证DM DN 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C E 在BC上截取BE 使BE AB 连结DE BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 ABD和 EBD中 AB EB 已知 1 2 已证 BD BD 公共边 ABD EBD S A S 1 2 4 3 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 3 2 1 A 3 全等三角形的对应角相等 AD CD 已知 AD DE 已证 DE DC 等量代换 4 C 等边对等角 AD DE 全等三角形的对应边相等 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C F 延长BA到F 使BF BC 连结DF BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 BFD和 BCD中 BF BC 已知 1 2 已证 BD BD 公共边 BFD BCD S A S 1 2 4 3 F C 已证 4 C 等量代换 3 2 1 F C 全等三角形的对应角相等 AD CD 已知 DF DC 已证 DF AD 等量代换 4 F 等边对等角 3 4 180 平角定义 A C 180 等量代换 DF DC 全等三角形的对应边相等 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C M 作DM BC于M DN BA交BA的延长线于N BD是 ABC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 DN BA DM BC 已知 N DMB 90 垂直的定义 在 NBD和 MBD中 N DMB 已证 1 2 已证 BD BD 公共边 NBD MBD A A S 1 2 4 C 全等三角形的对应角相等 N 4 3 3 2 1 ND MD 全等三角形的对应边相等 DN BA DM BC 已知 NAD和 MCD是Rt 在Rt NAD和Rt MCD中 ND MD 已证 AD CD 已知 Rt NAD Rt MCD H L 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 证明 例1 已知 如图 在四边形ABCD中 BD是 ABC的角平分线 AD CD 求证 A C 180 D A B C M 作DM BC于M DN BA交BA的延长线于N 1 2 N 4 3 3 2 1 BD是 ABC的角平分线 已知 DN BA DM BC 已知 ND MD 角平分线上的点到这个角的两边距离相等 4 C 全等三角形的对应角相等 DN BA DM BC 已知 NAD和 MCD是Rt 在Rt NAD和Rt MCD中 ND MD 已证 AD CD 已知 Rt NAD Rt MCD H L 3 4 180 平角定义 A 3 已证 A C 180 等量代换 练习1 如图 已知 ABC中 AD是 BAC的角平分线 AB AC CD 求证 C 2 B A B C D E 1 2 2 1 证明 在AB上截取AE 使AE AC 连结DE AD是 BAC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 在 AED和 ACD中 AE AC 已知 1 2 已证 AD AD 公共边 AED ACD S A S 3 B 4 等边对等角 4 C 3 全等三角形的对应角相等 又 AB AC CD AE EB 已知 EB DC ED 等量代换 3 B 4 2 B 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 C 2 B 等量代换 ED CD 全等三角形的对应边相等 练习1 如图 已知 ABC中 AD是 BAC的角平分线 AB AC CD 求证 C 2 B A B C D F 1 2 证明 延长AC到F 使CF CD 连结DF AD是 BAC的角平分线 已知 1 2 角平分线定义 AB AC CD CF CD 已知 AB AC CF AF 等量代换 ACB 2 F 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和 ACB 2 B 等量代换 3 2 1 在 ABD和 AFD中 AB AF 已证 1 2 已证 AD AD 公共边 ABD AFD S A S F B 全等三角形的对应角相等 CF CD 已知 B 3 等边对等角 练习2 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长AE 交直线PQ于点F 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 F 5 练习2 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长BA到点G 使得AG AD 连结EG 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 G 练习2 如图 已知直线MN PQ 且AE平分 BAN BE平分 QBA DC是过E的任意线段 交MN于点D 交PQ于点C 求证 AD AB BC 证明 延长BA到点G 使得AG AD 连结EG 3 0 22 21 A B C D E M N P Q 1 2 3 4 G 练习3 已知 如图在Rt ABC中 BAC 90 AE BC BD是 ABC的角平分线 GF BC 求证 AD FC A B C D E H 1 2 证明 过D作DH BC 垂足为H G F 3 0 如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形 小结 3 作DM AB于M DN AC于N 1 在AB上截取AE AC 连结DE 2 延长AC到F 使AF AB 连结DF A B C D E F M N 必有结论 ADE ADC 必有结论 ABD AFD 必有结论 AMD AND 可以利用角平分线所在直线作对称轴 翻折三角形来构造全等三角形 如图 在 ABC中 AD为