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第八章 二次型 一 二次型及其标准形的概念 称为二次型 我们仅讨论实二次型 例如 都是二次型 不是二次型 例如 为二次型的标准形 1 用和号表示 对二次型 二 二次型的表示方法 则 1 式可以表示为 二次型用和号表示 则 其中为对称阵 二次型的矩阵表示式 说明 对称阵与二次型一一对应 若 二次型的矩阵满足 的对角元是的系数 的元是系数的一半 则对称阵称为二次型的矩阵 二次型称为对称阵的二次型 三 二次型的矩阵及秩 在二次型的矩阵表示中 任给一个二次型 就唯一地确定一个对称矩阵 反之 任给一个对称矩阵 也可唯一地确定一个二次型 这样 二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 解 例 练习求二次型的矩阵 解 解 解 例2 求对称矩阵所对应的二次型 解 例3 已知二次型的秩为2 求参数c 解 四 化二次型为标准形 设 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求可逆的线性变换 将二次型化为标准形 系数矩阵 则线性变换可记作 二次型研究的主要问题是 寻找可逆变换 使 这种只含平方项的二次型称为二次型的标准形 法式 特别地 如果标准形中的系数只在三个数中取值 那么这个标准形称为二次型的规范形 标准形的矩阵是对角阵 经可逆变换后 新旧二次型的矩阵的关系 因为有 所以与的关系为 则 因为 以上说明 矩阵的合同关系 定义设和是阶矩阵 若有可逆矩阵 使 则称矩阵与合同 说明 合同关系是一个等价关系 设与合同 若是对称阵 则也对称阵 对称阵一定合同 相似与一个对角阵 若与合同 则 经可逆变换后 二次型的矩阵由变为与合同的矩阵 且二次型的秩不变 注释 2 在变换二次型时 要求所作的线性变换是非退化的 可逆的 合同 定义中 矩阵A B为一般方阵 但实际中 多针对对称矩阵考虑合同关系 任一对称矩阵 都存在对角矩阵与它合同与对角矩阵合同的矩阵必是对称矩阵 化二次型为标准形 定理任给二次型 总 其中是的矩阵的特征值 即任何二次型都可用正交变换化为标准形 存在正交变换 使化为标准形 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1 写出对应的二次型矩阵 并求其特征值 例 从而得特征值 2 求特征向量 3 将特征向量正交化 得正交向量组 4 将正交向量组单位化 得正交矩阵 于是所求正交变换为 解 例3 作业 思考题解答 定理任给二次型 总 其中不一定是的矩阵的特征值 存在满秩变换 使化为标准形 2020 3 17 39 可编辑 初等变换化二次型为标准型 而任意可逆矩阵是可以分解为若干初等矩阵的乘积 定理任给二次型 总 其中可能是的矩阵的特征值 存在满秩变换 使化为标准形 用阶单位矩阵及矩阵 构造 经过若干次这样的变换后 当化为对角阵时 而就化为变换矩阵 练习 用初等变换法化二次型 为标准型 并求出相应的可逆线性变换 惯性定理 InertiaTheorems 一个实二次型 既可以通过正交变换化为标准形 也可以通过拉格朗日配方法化为标准形 显然 其标准形一般来说是不唯一的 但标准形中所含有的项数是确定的 项数等于二次型的秩 下面我们限定所用的变换为实变换 来研究二次型的标准形所具有的性质 设有二次型 它 的秩为 有两个可逆变换 及 使 及 则 正数的个数相等 中正数的个数与 中 注意 定理任给二次型 总 有可逆变换 使为规范形 即任何二次型都可用可逆变换化为规范形 证设有二次型 由定理知 存在正交变换 使 设二次型的秩为 则特征值中恰有个不为0 不妨设不等于0 于是 令 其中 则可逆 且变换把化为 记 则可逆变换能把化为规范形 练习 由以上讨论不难得到以下结论 1 对于任何n阶实二次型 都存在非退化线性 变换 化为规范型二次型 即 其中r为f的秩 P为f的正惯性指数 2 任一n阶实对称矩阵A都合同于对角矩阵 3 n阶实对称矩阵A合同于B的充要条件为r A r B 且A和B的正惯性指数相同 例下列矩阵中 与矩阵 合同的矩阵是哪一个 为什么 解析 此题的目的是熟悉惯性定理 用惯性定理解题 容易求得的特征值 于是可知 所对应的二次型的正惯性指数 为 负惯性指数为 合同的二次型应有相同的正 负惯性指数 故选 B 应选 B 理由是 正定Positivedefinite二次型的概念 定义设有二次型 如果对任何 都有 如果对任何 都有 则称为负定二次型 并称对称阵是负定的 阵是正定的 显然 0 则称为正定二次型 并称对称 为正定二次型 为负定二次型 例如 说明 按定义 当变量取不全为零的值时 二次型若是正定 二次型 则它的对应值总是正数 负定 负数 若是正定二次型 则 就是负定二次型 三 正 负 定二次型的判别 证已知 有可逆变换 使 先证充分性 设 任给 则 故 再证必要性 用反证法 假设有 取 单位坐标向量 这与为正定相矛盾 这就证明了 则有 且 推论1正定二次型 正定矩阵 的秩为 推论2对称阵为正定矩阵的充要条件是 的特征值全为正 这个定理称为霍尔维茨定理 Hurwitz 定理3对称矩阵为正定的充分必要条件是 的各阶主子式为正 即 对称矩阵为负定的充分必要条件是 奇数阶主子式为负 而偶数阶主子式为正 即 正定 的正惯性指数 的个特征值全为正 的规范形为 合同于单位阵 可逆 的各阶主子式全为正 正定矩阵具有以下一些简单性质 解 使用配方法化二次型为标准型 然后判断 解 它的顺序主子式 故上述二次型是正定的 解 二次型的矩阵为 用特征值判别法 故此二次型为正定二次型 即知是正定矩阵 解 2 正定二次型 正定矩阵 的判别方法 1 定义法 2 顺次主子式判别法 3 特征值判别法 四 小结 1 正定二次型的概念 正定二次型与正定矩阵的区别与联系 3 根据正定二次型的判别方法 可以得到负定二次型 负定矩阵 相应的判别方法 请大家自己推导 思考题 思考题解答 矩阵的三大关系 它们的定义 存在阶可逆阵和阶可逆阵 使 存在可逆阵 使 存在正交阵 使 存在可逆阵 使 等价 相似 正交相似 合