（全国通用）2018高考数学大一轮复习 第八篇 平面解析几何 第7节 圆锥曲线的综合问题 第三课时 定点 定值 存在性专题习题 理.doc

第三课时定点、定值、存在性专题【选题明细表】知识点、方法题号圆锥曲线的定点问题1圆锥曲线的定值问题2,5,6圆锥曲线的存在性问题3,4,7,81.导学号 18702516已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为f1,f2,椭圆c过点p(1,22),直线pf1交y轴于q,且pf2=2qo,o为坐标原点.(1)求椭圆c的方程;(2)设m是椭圆c的上顶点,过点m分别作直线ma,mb交椭圆c于a,b两点,设这两条直线的斜率分别为k1,k2,且k1+k2=2,证明:直线ab过定点.(1)解:因为椭圆c过点p(1,22),所以1a2+12b2=1,因为pf2=2qo,所以pf2f1f2,则c=1,所以a2-b2=1,由得a2=2,b2=1,所以椭圆c的方程为x22+y2=1.(2)证明:当直线ab的斜率不存在时,设a(x0,y0),则b(x0,-y0),由k1+k2=2得y0-1x0+-y0-1x0=2,得x0=-1.当直线ab的斜率存在时,设ab的方程为y=kx+m(m1),a(x1,y1),b(x2,y2),x22+y2=1,y=kx+m(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,得x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-21+2k2,k1+k2=2y1-1x1+y2-1x2=2(kx2+m-1)x1+(kx1+m-1)x2x2x1=2,即(2-2k)x2x1=(m-1)(x2+x1)(2-2k)(2m2-2)=(m-1)(-4km),由于m1,所以(1-k)(m+1)=-kmk=m+1,即y=kx+m=(m+1)x+mm(x+1)=y-x.综上得直线ab过定点(-1,-1).2.(2016河北衡水中学调考)已知椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x-5y+12=0相切.(1)求椭圆c的方程;(2)设a(-4,0),过点r(3,0)作与x轴不重合的直线l交椭圆c于p,q两点,连接ap,aq分别交直线x=163于m,n两点,若直线mr,nr的斜率分别为k1,k2,试问:k1k2是否为定值?若是,求出该定值,若不是,请说明理由.解:(1)由题意得ca=12,127+5=b,a2=b2+c2,所以a=4,b=23,c=2,故椭圆c的方程为x216+y212=1.(2)是定值.设p(x1,y1),q(x2,y2),m(xm,ym),n(xn,yn),直线pq的方程为x=my+3,联立x216+y212=1,x=my+3所以(3m2+4)y2+18my-21=0,所以y1+y2=-18m3m2+4,y1y2=-213m2+4,由a,p,m三点共线可知ym163+4=y1x1+4,所以ym=28y13(x1+4),同理可得yn=28y23(x2+4).所以k1k2=ym163-3yn163-3=9ymyn49=16y1y2(x1+4)(x2+4),因为(x1+4)(x2+4)=(my1+7)(my2+7)=m2y1y2+7m(y1+y2)+49,所以k1k2=16y1y2m2y1y2+7m(y1+y2)+49=-127为定值.3.导学号 18702517已知椭圆的中心在坐标原点o,焦点在x轴上,短轴长为2,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点f与x轴不垂直的直线l交椭圆于p,q两点.(1)求椭圆的方程;(2)当直线l的斜率为1时,求poq的面积;(3)在线段of上是否存在点m(m,0),使得以mp,mq为邻边的平行四边形是菱形?若存在,求出m的取值范围;若不存在,请说明理由.解:(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0),根据题意得b=c=1,所以a2=b2+c2=2,所以椭圆方程为x22+y2=1.(2)根据题意得直线l方程为y=x-1,解方程组y=x-1,x22+y2=1得p,q坐标为(0,-1),(43,13),则|pq|=423,点o到直线pq的距离为22,所以spoq=23.(3)存在.假设在线段of上存在点m(m,0)(0m1),使得以mp,mq为邻边的平行四边形是菱形,因为直线l与x轴不垂直,所以设直线l的方程为y=k(x-1)(k0).p,q坐标为(x1,y1),(x2,y2),由y=k(x-1),x22+y2=1得,(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,x1+x2=4k22k2+1,x1x2=2k2-22k2+1,则mp=(x1-m,y1),mq=(x2-m,y2),其中x1x2,由于以mp,mq为邻边的平行四边形是菱形,所以|mp|=|mq|,计算得m=k22k2+1(k0),所以0mb0)的右焦点f(1,0),过点f且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于p,q两点,当直线pq经过椭圆的一个顶点时其倾斜角恰好为60.(1)求椭圆c的方程;(2)设o为坐标原点,线段of上是否存在点t(t,0),使得qptp=pqtq?若存在,求出实数t的取值范围;若不存在,说明理由.解:(1)由题意知c=1,又bc=tan 60=3,所以b2=3,a2=b2+c2=4,所以椭圆c的方程为x24+y23=1.(2)存在.设直线pq的方程为y=k(x-1)(k0),代入x24+y23=1,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,设p(x1,y1),q(x2,y2),线段pq的中点为r(x0,y0),则x0=x1+x22=4k23+4k2,y0=k(x0-1)=-3k3+4k2,由qptp=pqtq得pq(tq+tp)=pq(2tr)=0,所以直线tr为线段pq的垂直平分线,直线tr的方程为y+3k3+4k2=-1k(x-4k23+4k2),令y=0得t点的横坐标t=k23+4k2=13k2+4,因为k2(0,+),所以3k2+4(4,+),所以t(0,14).所以线段of上存在点t(t,0)使得qptp=pqtq,其中t(0,14).5.导学号 18702518已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为32,且过点(2,22).(1)求椭圆的方程;(2)设不过原点o的直线l:y=kx+m(k0),与该椭圆交于p,q两点,直线op,oq的斜率依次为k1,k2,满足4k=k1+k2,试问:当k变化时,m2是否为定值?若是,求出此定值,并证明你的结论;若不是,请说明理由.解:(1)依题意可得(2)2a2+(22)2b2=1,ca=32,a2=b2+c2,解得a=2,b=1.所以椭圆的方程是x24+y2=1.(2)当k变化时,m2为定值,证明如下:由y=kx+m,x24+y2=1得,(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0.设p(x1,y1),q(x2,y2),则x1+x2=-8km1+4k2,x1x2=4(m2-1)1+4k2,(*)因为直线op,oq的斜率依次为k1,k2,且4k=k1+k2,所以4k=y1x1+y2x2=kx1+mx1+kx2+mx2,得2kx1x2=m(x1+x2),将(*)代入得m2=12,经检验满足题意.6.椭圆c:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为35,p(m,0)为c的长轴上的一个动点,过p点斜率为45的直线l交c于a,b两点.当m=0时,papb=-412.(1)求椭圆c的方程;(2)证明:|pa|2+|pb|2为定值.(1)解:因为离心率为35,所以ba=45.当m=0时,l的方程为y=45x,代入x2a2+y2b2=1并整理得x2=a22.设a(x0,y0),则b(-x0,-y0),papb=-x02-y02=-4125x02=-4125a22.又因为papb=-412,所以a2=25,b2=16,椭圆c的方程为x225+y216=1.(2)证明:l的方程为x=54y+m,代入x225+y216=1,并整理得25y2+20my+8(m2-25)=0.设a(x1,y1),b(x2,y2).则|pa|2=(x1-m)2+y12=4116y12,同理|pb|2=4116y22.则|pa|2+|pb|2=4116(y12+y22)=4116(y1+y2)2-2y1y2=4116(-4m5)2-16(m2-25)25=41.所以|pa|2+|pb|2是定值.7.导学号 18702520已知动点p到定点f(1,0)和到直线x=2的距离之比为22,设动点p的轨迹为曲线e,过点f作垂直于x轴的直线与曲线e相交于a,b两点,直线l:y=mx+n与曲线e交于c,d两点,与线段ab相交于一点(与a,b不重合).(1)求曲线e的方程;(2)当直线l与圆x2+y2=1相切时,四边形acbd的面积是否有最大值.若有,求出其最大值及对应的直线l的方程;若没有,请说明理由.解:(1)设点p(x,y),由题意可得(x-1)2+y2|x-2|=22,整理可得x22+y2=1.曲线e的方程是x22+y2=1.(2)有.设c(x1,y1),d(x2,y2),由已知可得|ab|=2.当m=0时,不合题意.当m0时,由直线l与圆x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2.联立y=mx+n,x22+y2=1,消去y得(m2+12)x2+2mnx+n2-1=0,=4m2n2-4(m2+12)(n2-1)=2m20,x1=-2mn+2m2+1,x2=-2mn-2m2+1,s四边形acbd=12|ab|x2-x1|=2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22,当且仅当2|m|=1|m|,即m=22时等号成立,此时n=62,经检验可知,直线l的方程为y=22x-62或y=-22x+62时四边形acbd的面积最大,最大值为22.8.导学号 18702521已知a是椭圆m:x2+5y2=5与y轴正半轴的交点,f是椭圆m的右焦点,过点f的直线l与椭圆m交于b,c两点.(1)若|ob|=|oc|,求b,c两点的坐标;(2)是否存在直线l,使得|ab|=|ac|?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由.解:(1)由x2+5y2=5可得x25+y2=1,所以c=2,所以f(2,0),a(0,1).由椭圆的对称性可知,满足|ob|=|oc|的直线l有两种:当直线lx轴时,令x=2,y=55.所以b,c两点的坐标分别为(2,55)和(2,-55).当直线l与x轴重合时,b,c两点的坐标分别为(5,0)和(-5,0).(2)存在.易知,当直线l与x轴重合时,|ab|=|ac|,此时直线l的方程为y=0.当直线l与x轴垂直时,直线l不符合题意.当直线l与坐标轴不垂直时,设过点f的直线的斜率为k,直线l与椭圆m的交点b(x1,y1),c(