（浙江通用）高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系.doc

【步步高】（浙江通用）2017版高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.2 两条直线的位置关系1两条直线的位置关系(1)两条直线平行与垂直两条直线平行：()对于两条不重合的直线l1、l2，若其斜率分别为k1、k2，则有l1l2k1k2.()当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时，l1l2.两条直线垂直：()如果两条直线l1、l2的斜率存在，设为k1、k2，则有l1l2k1k21.()当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1l2.(2)两条直线的交点直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解2几种距离(1)两点p1(x1，y1)，p2(x2，y2)之间的距离|p1p2|.(2)点p0(x0，y0)到直线l：axbyc0的距离d.(3)两条平行线axbyc10与axbyc20(其中c1c2)间的距离d.【知识拓展】1一般地，与直线axbyc0平行的直线方程可设为axbym0；与之垂直的直线方程可设为bxayn0.2过直线l1：a1xb1yc10与l2：a2xb2yc20的交点的直线系方程为a1xb1yc1(a2xb2yc2)0 (r)，但不包括l2.3点到直线与两平行线间的距离的使用条件：(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线l1和l2斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)已知直线l1：a1xb1yc10，l2：a2xb2yc20(a1、b1、c1、a2、b2、c2为常数)，若直线l1l2，则a1a2b1b20.()(4)点p(x0，y0)到直线ykxb的距离为.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离()(6)若点a，b关于直线l：ykxb(k0)对称，则直线ab的斜率等于，且线段ab的中点在直线l上()1设ar，则“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的 ()a充分不必要条件 b必要不充分条件c充分必要条件 d既不充分也不必要条件答案a解析(1)充分性：当a1时，直线l1：x2y10与直线l2：x2y40平行；(2)必要性：当直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行时有a2或1.所以“a1”是“直线l1：ax2y10与直线l2：x(a1)y40平行”的充分不必要条件，故选a.2(教材改编)已知点(a,2)(a0)到直线l：xy30的距离为1，则a等于()a. b2c.1 d.1答案c解析依题意得1.解得a1或a1.a0，a1.3已知直线l1：(3m)x4y53m，l2：2x(5m)y8平行，则实数m的值为()a7 b1c1或7 d.答案a解析l1的斜率为，在y轴上的截距为，l2的斜率为，在y轴上的截距为.又l1l2，由得，m28m70，得m1或7.m1时，2，l1与l2重合，故不符合题意；m7时，4，符合题意4(2014福建)已知直线l过圆x2(y3)24的圆心，且与直线xy10垂直，则l的方程是()axy20 bxy20cxy30 dxy30答案d解析圆x2(y3)24的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线xy10垂直，所以直线l的斜率k1.由点斜式得直线l：y3x0，化简得xy30.5(教材改编)若直线(3a2)x(14a)y80与(5a2)x(a4)y70垂直，则a_.答案0或1解析由两直线垂直的充要条件，得(3a2)(5a2)(14a)(a4)0，解得a0或a1.题型一两条直线的平行与垂直例1(1)已知两条直线l1：(a1)x2y10，l2：xay30平行，则a等于()a1 b2c0或2 d1或2(2)已知两直线方程分别为l1：xy1，l2：ax2y0，若l1l2，则a_.答案(1)d(2)2解析(1)若a0，两直线方程为x2y10和x3，此时两直线相交，不平行，所以a0.当a0时，若两直线平行，则有，解得a1或a2，选d.(2)方法一l1l2，k1k21，即1，解得a2.方法二l1l2，a20，a2.思维升华(1)当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件(2)在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论已知两直线l1：xysin 10和l2：2xsin y10，求的值，使得：(1)l1l2；(2)l1l2.解(1)方法一当sin 0时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率为0，显然l1不平行于l2.当sin 0时，k1，k22sin .要使l1l2，需2sin ，即sin .所以k，kz，此时两直线的斜率相等故当k，kz时，l1l2.方法二由a1b2a2b10，得2sin210，所以sin .所以k，kz.又b1c2b2c10，所以1sin 0，即sin 1.故当k，kz时，l1l2.(2)因为a1a2b1b20是l1l2的充要条件，所以2sin sin 0，即sin 0，所以k，kz.故当k，kz时，l1l2.题型二两条直线的交点与距离问题例2(1)已知直线ykx2k1与直线yx2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是_(2)直线l过点p(1,2)且到点a(2,3)和点b(4,5)的距离相等，则直线l的方程为_答案(1)(2)x3y50或x1解析(1)方法一由方程组解得(若2k10，即k，则两直线平行)交点坐标为.又交点位于第一象限，解得k.方法二如图，已知直线yx2与x轴、y轴分别交于点a(4,0)，b(0,2)而直线方程ykx2k1可变形为y1k(x2)，表示这是一条过定点p(2,1)，斜率为k的动直线两直线的交点在第一象限，两直线的交点必在线段ab上(不包括端点)，动直线的斜率k需满足kpakkpb.kpa，kpb.k.(2)方法一当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知，即|3k1|3k3|，k.直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x1，也符合题意方法二当abl时，有kkab，直线l的方程为y2(x1)，即x3y50.当l过ab中点时，ab的中点为(1,4)直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.思维升华(1)求过两直线交点的直线方程的方法求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程(2)利用距离公式应注意：点p(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数化为相等(1)如图，设一直线过点(1,1)，它被两平行直线l1：x2y10，l2：x2y30所截的线段的中点在直线l3：xy10上，求其方程解与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x2y20.设所求直线方程为(x2y2)(xy1)0，即(1)x(2)y20.又直线过(1,1)，(1)(1)(2)120.解得.所求直线方程为2x7y50.(2)正方形的中心为点c(1,0)，一条边所在的直线方程是x3y50，求其他三边所在直线的方程解点c到直线x3y50的距离d.设与x3y50平行的一边所在直线的方程是x3ym0(m5)，则点c到直线x3ym0的距离d，解得m5(舍去)或m7，所以与x3y50平行的边所在直线的方程是x3y70.设与x3y50垂直的边所在直线的方程是3xyn0，则点c到直线3xyn0的距离d，解得n3或n9，所以与x3y50垂直的两边所在直线的方程分别是3xy30和3xy90.题型三对称问题命题点1点关于点中心对称例3过点p(0,1)作直线l，使它被直线l1：2xy80和l2：x3y100截得的线段被点p平分，则直线l的方程为_答案x4y40解析设l1与l的交点为a(a,82a)，则由题意知，点a关于点p的对称点b(a,2a6)在l2上，代入l2的方程得a3(2a6)100，解得a4，即点a(4,0)在直线l上，所以直线l的方程为x4y40.命题点2点关于直线对称例4已知直线l：2x3y10，点a(1，2)，则点a关于直线l的对称点a的坐标为_答案解析设a(x，y)，由已知得解得故a.命题点3直线关于直线的对称问题例5已知直线l：2x3y10，求直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程解在直线m上任取一点，如m(2,0)，则m(2,0)关于直线l的对称点m必在直线m上设对称点m(a，b)，则解得m.设直线m与直线l的交点为n，则由得n(4,3)又m经过点n(4,3)由两点式得直线m的方程为9x46y1020.思维升华解决对称问题的方法(1)中心对称点p(x，y)关于q(a，b)的对称点p(x，y)满足直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称点a(a，b)关于直线axbyc0(b0)的对称点a(m，n)，则有直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决在等腰直角三角形abc中，abac4，点p是边ab上异于a，b的一点，光线从点p出发，经bc，ca发射后又回到原点p(如图)若光线qr经过abc的重心，则ap等于()a2 b1 c. d.答案d解析建立如图所示的坐标系：可得b(4,0)，c(0,4)，故直线bc的方程为xy4，abc的重心为，设p(a,0)，其中0a0，所以，均为锐角，由于直线l1，l2与x轴围成一个等腰三角形，则有以下两种情况：(1)2时，tan tan 2，有，因为k0，解得k；(2)2时，tan tan 2，有2k，因为k0，解得k.15已知三条直线：l1：2xya0(a0)；l2：4x2y10；l3：xy10，且l1与l2间的距离是.(1)求a的值；(2)能否找到一点p，使p同时满足下列三个条件：点p在第一象限；点p到l1的距离是点p到l2的距离的；点p到l1的距离与点p到l3的距离之比是.若能，求点p的坐标；若不能，说明理由解(1)直线l2：2xy0，所以两条平行线l1与l2间的距离为d，