（全国通用版）2019版高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 课时达标22 解三角形应用举例.doc

课时达标第22讲 解三角形应用举例解密考纲本考点考查利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，三种形式均可能出现，一般排在选择题、填空题的中间或最后位置或解答题靠前的位置，题目难度中等一、选择题1一艘海轮从a处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟后到达b处在c处有一座灯塔，海轮在a处观察灯塔，其方向是南偏东70，在b处观察灯塔，其方向是北偏东65，那么b，c两点间的距离是(a)a10 海里b10 海里c20 海里d20 海里解析如图所示，易知，在abc中，ab20海里，cab30，acb45，根据正弦定理得，解得bc10海里故选a2要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45，30，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120，甲、乙两地相距500 m，则电视塔的高度是(d)a100 mb400 mc200 md500 m解析由题意画出示意图，设塔高abh m，在rtabc中，由已知得bch m，在rtabd中，由已知得bdh m，在bcd中，由余弦定理bd2bc2cd22bccdcosbcd，得3h2h25002h500，解得h500 m.3长为3.5 m的木棒ab斜靠在石堤旁，木棒的一端a在离堤足c处1.4 m的地面上，另一端b在离堤足c处的2.8 m的石堤上，石堤的倾斜角为，则坡度值tan (a)abcd解析由题意，可得在abc中，ab3.5 m，ac1.4 m，bc2.8 m，且acb.由余弦定理，可得ab2ac2bc22acbccosacb，即3.521.422.8221.42.8cos()，解得cos ，所以sin ，所以tan .4如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取a，b两点，从a，b两点分别测得建筑物顶端的仰角为30，45，且a，b两点间的距离为60 m，设该建筑物的高度为h m，则h(a)a3030b3015c1530d1515解析在pab中，pab30，apb15，ab60，sin 15sin(4530)sin 45cos 30cos 45sin 30.由正弦定理，得，所以pb30()，故建筑物的高度hpbsin 4530()3030 .5(2018河南天一大联考)2017年9月16日05时，第19号台风“杜苏芮”的中心位于甲地，它以每小时30千米的速度向西偏北的方向移动，距台风中心t千米以内的地区都将受到影响，若16日08时到17日08时，距甲地正西方向900千米的乙地恰好受台风影响，则t和的值分别为(附：8.585)(a)a858.5,60b858.5,30c717,60d717,30解析如图，根据题意，3小时后台风中心距甲地90千米，27小时后台风中心距甲地810千米，乙地有24小时在台风范围内，根据余弦定理得t29002902290900cos ，t2900281022810900cos ，解得cos ，所以60，t29002902290900cos 60737 100，t858.5.故选a6如图，从气球a上测得正前方的河流的两岸b，c的俯角分别为75，30，此时气球的高是60 m，则河流的宽度bc(c)a240(1) mb180(1) mc120(1) md30(1) m解析tan 15tan(6045)2，bc60tan 6060tan 15120(1)(m)故选c二、填空题7一艘船上午9：30在a处测得灯塔s在它的北偏东30处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达b处，此时又测得灯塔s在它的北偏东75处，且与它相距8 n mile，此船的航速是_32_n mile/h.解析设航速为v n mile/h，在abs中，abv，bs8 n mile，bsa45.由正弦定理，得，v32 n mile/h.8江岸边有一炮台oa高30 m，江中有两条船m，n，船与炮台底部o在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45和60，而且两条船与炮台底部连线成30角，则两条船相距_10_m.解析omaotan 4530(m)，onaotan 303010(m)，在mon中，由余弦定理，得mn10(m)9某同学骑电动车以24 km/h的速度沿正北方向的公路行驶，在点a处测得电视塔s在电动车的北偏东30方向上，15 min 后到点b处，测得电视塔s在电动车的北偏东75方向上，则点b与电视塔的距离是_3_km.解析由题意知ab246，在abs中，bas30，ab6，abs18075105，asb45，由正弦定理知，bs3.三、解答题10如图，航空测量组的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机的高度为海拔10 000 m，速度为50 m/s.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420 s后又看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度为多少米？(取1.4，1.7)解析如图，作cd垂直于ab的延长线于点d，由题意知a15，dbc45，acb30，ab5042021 000(m)又在abc中，bcsin 1510 500()(m)cdad，cdbcsindbc10 500()10 500(1)7 350(m)故山顶的海拔高度h10 0007 3502 650(m)11(2018河南郑州一中期中)如图，一辆汽车从a市出发沿海岸一条笔直公路以每小时100 km的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在a市南偏东方向距a市500 km且与海岸距离为300 km的海上b处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给汽车的司机(1)快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？(2)在(1)的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与ab所成的角解析(1)如图，设快艇以v km/h的速度从b处出发，沿bc方向，t h后与汽车在c处相遇，在abc中，ab500，ac100t，bcvt，bd为ac边上的高，bd300.设bac，则sin ，cos .由余弦定理，得bc2ac2ab22abaccos ，所以v2t2(100t)250022500100t.整理，得v210 000250 00010 000250 00023 600.当，即t时，v3 600，vmin60 km/h，即快艇至少以60 km/h的速度行驶才能把稿件送到司机手中(2)当v60 km/h时，在abc中，ab500，ac100625，bc60375，由余弦定理，得cosabc0，所以abc90，故快艇应向垂直于ab的方向向北偏东方向行驶12如图，某测量人员为了测量西江北岸不能到达的两点a，b之间的距离，她在西江南岸找到一个点c，从点c可以观察到点a，b；找到一个点d，从点d可以观察到点a，c；找到一个点e，从点e可以观察到点b，c；并测量得到数据：acd90，adc60，acb15，bce105，ceb45，dcce1百米(1)求cde的面积；(2)求a，b之间的距离解析(1)连接de，在cde中，dce3609015105150，secddccesin 150sin 30(平方百米)(2)依题意知，在rtacd中，acdctanadc1tan 6