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卢湾区2010年高考模拟考试数学试卷（理科）参考答案及评分标准一、填空题（本大题满分56分）1 2 3 4 56 7 8nhenmohen向下的抛物线，uxz 9 1011 12 13 14二、选择题（本大题满分16分）15B 16D 17A 18C三、解答题（本大题满分78分）19（本题满分14分）解：由题设，得，（6分）方程的两虚根为， 于是，（10分）由，得或（14分）20（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分解：（1）设，由题设，得，即，解得故的长为（6分）（2）以点为坐标原点，分别以，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系由已知及（1），可知，设平面的法向量为，有，其中，则有即解得，取，得平面的一个法向量，且（12分）在平面上取点，可得向量，于是点到平面的距离（14分）21（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分8分解：（1）由题设，得（），（2分）当时，当时，当时，故（8分）（2）易知当时，为单调递增函数，（10分）当时，为单调递减函数，（12分）当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减，（证明略），得，故的最大值为，此时（16分）22（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分（1）证明：由及，得，故、成等比数列（4分）（2）解：由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，得，又，及，得点的坐标为，（6分）因为点在椭圆上，所以，又，得，故存在满足题意的直线，其斜率（10分）（3）黄金双曲线的定义：已知双曲线：，其焦距为，若（或写成），则称双曲线为“黄金双曲线”（12分）在黄金双曲线中有真命题：已知黄金双曲线：的左、右焦点分别是、，以、为顶点的菱形的内切圆过顶点、（14分）证明：直线的方程为，原点到该直线的距离为，将代入，得，又将代入，化简得，故直线与圆相切，同理可证直线、均与圆相切，即以、为直径的圆为菱形的内切圆，命题得证（16分）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分解：（1）由题设，得，即，得，又，于是，故其公比（4分）（2）设等比数列为，其公比，（6分）由题设假设数列为的无穷等比子数列，则对任意自然数，都存在，使，即，得，（8分）当时，与假设矛盾，故该数列不为的无穷等比子数列（10分）（3）设的无穷等比子数列为，其公比（），得，由题设，在等差数列中，因为数列为的无穷等比子数列，所以对任意自然数，都存在，使，即，得， 由于上式对任意大于等于的正整数都成立，且，均为正整数，可知必为正整数，又，故是大于1的正整数（14分）再证明：若是大于1的正整数，则数列存在无穷等比子数列即证明无穷等比数列中的每一项均为数列中的项在等比数列中，在等差数列中， 若为数列中的第项，则由，得， 整理得，由，均为正整数，
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