第一章-1.2类比推理.docx

1.2类比推理学习目标1通过具体实例理解类比推理的意义2会用类比推理对具体问题作出推断知识链接类比推理的结论能作为定理应用吗？答不能因为类比推理的结论不一定正确，只有经过严格的逻辑证明，说明其正确性，才能进一步应用预习导引1类比推理(1)类比推理的含义由于两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征推断另一类对象也具有类似的其他特征，这种推理过程称为类比推理类比推理是两类事物特征之间的推理(2)类比推理的特征类比推理是从特殊到特殊的推理，简称类比(3)结论真假：利用类比推理得出的结论不一定是正确的(4)思维过程流程图：2合情推理(1)合情推理的含义根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式归纳推理和类比推理是最常见的合情推理(2)思维过程流程图3演绎推理根据已知的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程要点一平面图形与空间图形的类比例1三角形与四面体有下列相似性质：(1)三角形是平面内由直线段围成的最简单的封闭图形；四面体是空间中由三角形围成的最简单的封闭图形(2)三角形可以看作是由一条线段所在直线外一点与这条线段的两个端点的连线所围成的图形；四面体可以看作是由三角形所在平面外一点与这个三角形三个顶点的连线所围成的图形通过类比推理，根据三角形的性质推测空间四面体的性质填写下表：三角形四面体三角形的两边之和大于第三边三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心解三角形四面体三角形的两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线的长等于第三边长的一半，且平行于第三边四面体的中截面(以任意三条棱的中点为顶点的三角形)的面积等于第四个面的面积的，且平行于第四个面三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心规律方法将平面几何中的三角形、长方形、圆、面积等和立体几何中的三棱锥、长方体、球、体积等进行类比，是解决和处理立体几何问题的重要方法跟踪演练1类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等A B C D答案C解析由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，叫类比推理，上述三个结论均符合推理结论，故均正确要点二解题方法的类比例2已知以下过程可以求123n的和因为(n1)2n22n1，n2(n1)22(n1)1，2212211，有(n1)212(12n)n，所以123n.类比以上过程求122232n2的和解因为(n1)3n33n23n1，n3(n1)33(n1)23(n1)1，2313312311，有(n1)313(1222n2)3(123n)n，所以1222n2.规律方法典型的数学方法往往可以解决一类问题，培养学生总结、反思、举一反三的习惯，可以提高学生的知识迁移能力和灵活应用知识的能力而解决问题需要我们展开丰富的联想，利用旧的知识帮助寻找思路或者将原问题降低难度，先解决较简单的问题，再类比到复杂问题，常常可达到柳暗花明的成效跟踪演练2设f(x)，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f(5)f(4)f(0)f(5)f(6)的值是_答案3解析本题要求类比课本中等差数列的求和方法，即“倒序相加法”令tf(5)f(4)f(0)f(5)f(6)，则tf(6)f(5)f(0)f(4)f(5)，两式相加，类似于等差数列的情形，易得t3.要点三等差数列与等比数列的类比例3在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n(n19，nN)成立类比上述性质，相应的，在等比数列bn中，若b91，则有什么样的等式成立？解在等差数列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1，a1a2ana1a2a19n，相应的，在等比数列bn中，若b91，则可得b1b2bnb1b2b17n(n17，nN)规律方法1.在高中阶段类比方向主要集中在等差数列与等比数列，平面几何与立体几何，平面向量与空间向量三个方面.2.在等差数列与等比数列的类比中，等差数列中的和类比等比数列中的积，差类比商，积类比幂如通项公式：ana1(n1)dbnb1qn1.跟踪演练3设等差数列an的前n项和为Sn，则S4，S8S4，S12S8，S16S12成等差数列类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，_，_，成等比数列答案解析等差数列类比于等比数列时，和类比于积，减法类比于除法，可得类比结论为：设等比数列bn的前n项积为Tn，则T4，成等比数列1下列平面图形中可作为空间平行六面体类比对象的是()A三角形 B梯形C平行四边形 D矩形答案C2下面几种推理是类比推理的是()A因为三角形的内角和是180(32)，四边形的内角和是180(42)，所以n边形的内角和是180(n2)B由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质C某校高二年级有20个班，1班有51位团员，2班有53位团员，3班有52位团员，由此可以推测各班都超过50位团员D4能被2整除，6能被2整除，8能被2整除，所以偶数能被2整除答案B3已知P(x0，y0)是抛物线y22px(p0)上的一点，过P点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y22px两边同时对x求导，得2yy2p，则y，所以过P的切线的斜率k.类比上述方法求出双曲线x21在P(，)处的切线方程为_答案2xy0解析将双曲线方程化为y22(x21)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy4x，则y，即过P的切线的斜率k，由于P(，)，故切线斜率k2，因此切线方程为y2(x)，整理得2xy0.4对于平面几何中的命题“夹在两平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题_.答案夹在两平行平面间的平行线段相等类比推理的特点(1)类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠(2)类比推理以旧的知识作基础，推测新的结果，具有发现的功能，类比在数学发现中具有重要作用，但必须明确，类比并不等于论证(3)由于类比推理的前提是两类对象之间具有某些可以清楚定义的类似特征，所以进行类比推理的关键是明确地指出两类对象在某些方面的类似特征一、基础达标1对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想：正四面体的内切球切于四面体各正三角形的()A一条中线上的点，但不是中心B一条垂线上的点，但不是垂心C一条角平分线上的点，但不是内心D中心答案D解析由正四面体的内切球可知，内切球切于四个侧面的中心2已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形面积公式S扇等于()A. B. C. D不可类比答案C解析我们将扇形的弧类比为三角形的底边，则高为扇形的半径r，S扇lr.3(2013临沂模拟)已知x0，由不等式x22，x33，我们可以得出推广结论：xn1(nN)，则a()A2n Bn2 C3n Dnn答案D解析再续写一个不等式：x44，由此可得ann.4设ABC的三边长分别为a、b、c，ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r，类比这个结论可知：四面体SABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体SABC的体积为V，则r()A. B.C. D.答案C解析设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和则四面体的体积为V四面体ABCD(S1S2S3S4)R，R.5若数列an(nN)是等差数列，则数列bn也为等差数列，类比上述性质，若数列cn是等比数列，且cn0(nN)，则有dn_也是等比数列答案解析c1q，是等比数列6平面内正三角形有很多性质，如三条边相等类似地写出空间正四面体的两条性质：_；_.答案三个侧面与底面构成的二面角相等四个面都全等(答案不唯一)7就任一等差数列an，计算a7a10和a8a9，a10a40和a20a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题在等比数列中会有怎样的类似的结论？解设等差数列an的公差为d，则ana1(n1)d，从而a7a16d，a10a19d，a8a17d，a9a18d.所以a7a102a115d，a8a92a115d，可得a7a10a8a9.同理a10a40a20a30.由此猜想，任一等差数列an，若m，n，p，qN且mnpq，则有amanapaq成立类比等差数列，可得等比数列an的性质：若m，n，p，qN且mnpq，则有amanapaq成立二、能力提升8三角形的面积为S(abc)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积为()AVabcBVShCV(S1S2S3S4)r，(S1、S2、S3、S4为四个面的面积，r为内切球的半径)DV(abbcac)h，(h为四面体的高)答案C解析ABC的内心为O，连结OA、OB、OC，将ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都是r，底边长分别为a、b、c；类比：设四面体ABCD的内切球球心为O，连结OA、OB、OC、OD，将四面体分割为四个以O为顶点，以原来面为底面的四面体，高都为r，所以有V(S1S2S3S4)r.9类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列an是等和数列，且a12，公和为5，那么a18_，这个数列的前n项和Sn的计算公式为_答案3Sn解析定义“等和数列”：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和由上述定义，得an故a183.从而Sn10已知结论：“在三边长都相等的ABC中，若D是BC的中点，G是ABC外接圆的圆心，则2”若把该结论推广到空间，则有结论：在六条棱长都相等的四面体ABCD中，若M是BCD的三边中线的交点，O为四面体ABCD外接球的球心，则_.”答案3解析如图，易知球心O在线段AM上，不妨设四面体ABCD的棱长为1，外接球的半径为R，则BM，AM，R，解得R.于是，3.11观察：tan 10tan 20tan 20tan 60tan 60tan 101，tan 5tan 10tan 10tan 75tan 75tan 51，由以上两式成立能得到一个从特殊到一般的推广，此推广是什么？并证明你的推广解观察得到10206090，1075590，猜测推广式子为：若90，且，均不为k，(kZ)，则tan tan tan tan tan tan 1.证明由，得，tan()tan，tan()，tan tan tan()(1tan tan )(1tan tan )tan tan tan tan tan tan tan (tan tan )tan tan tan (1tan tan )tan tan 1tan tan tan tan 1.12(1)椭圆C：1(ab0)与x轴交于A、B两点，点P是椭圆C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证：为定值b2a2.(2)类比(1)可得如下真命题：双曲线1(a0，b0)与x轴交于A、B两点，点P是双曲线C上异于A、B的任意一点，直线PA、PB分别与y轴交于点M、N，求证为定值，请写出这个定值(不要求写出解题过程)解(1)证明如下：设点P(x0，y0)，(x0a)，依题意，得A(a,0)，B(a,0)所以直线PA的方程