2020届附中高三上学期期中考试数学（理）试题（PDF版解析）

页 1 第 高三年级数学 理科 试题 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题 目要求的 1 已知集合 2 1 0 1 2 A 1 2 0 Bxx x 则BA 的子集个数为 A 2 B 4 C 6 D 8 答案 B 2 设命题p nN 2 2nn 则p 为 A 2 2nnN n B 2 2nnN n C 2 2nnN n D 2 2nnN n 答案 D 3 若复数z满足 34 112i zi 其中i为虚数单位 则z的虚部为 A 2 B 2 C 2i D 2i 答案 B 4 我国古代数学典籍 九章算术 第七章 盈不足 章中有一道 两鼠穿墙 问题 有厚墙 5 尺 两只 老鼠从墙的两边相对分别打洞穿墙 大老鼠第一天进一尺 以后每天加倍 小老鼠第一天也进一尺 以后每天减半 问两鼠在第几天相遇 A 第 2 天 B 第 3 天 C 第 4 天 D 第 5 天 答案 B 5 已知变量 x y 满足约束条件 1 3 230 x xy xy 则yxz 2的最小值为 A 1 B 2 C 3 D 6 答案 A 6 已知等差数列 an 的前 n 项和 Sn满足 1213 0 0 SS 且 Sn 的最大项为 m S 1 2 m a 则 13 S 页 2 第 A 20 B 22 C 24 D 26 答案 D 7 右图为一正方体的平面展开图 在这个正方体中 有以下结论 ANGC CF 与 EN 所成的角为60 BD MN 二面角EBCN 的大小为45 其中正确的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 8 已知ABC 中 2ADDC uuu ruuu r E 为 BD 中点 若BCAEAB uuu ruuu ruuu r 则2 的值为 A 2 B 6 C 8 D 10 答案 C 9 若 1 16 4 log 9 a 3 3 log 2 b 0 2 0 6c 则 a b c的大小关系为 A cba B cab C bac D abc 答案 A 10 已知函数 2sin 0 f xx 的部分图像如右图 所示 且 1 1 2 AB 则 的值为 A 5 6 B 6 C 5 6 D 6 答案 C 11 已知函数 2 ln 1 22 xx f xx 则使不等式 1 2 f xfx 成立的x的取值范围是 A 1 1 B 1 页 3 第 C 1 1 3 D 2 1 答案 D 12 已知函数 sin2sin 4 f xxxx 若对于任意的 1212 0 2 x xxx 均有 12 12 xx f xf xa ee 成立 则实数 a 的最小值为 A 2 3 B 1 C 3 2 D 3 答案 B 页 4 第 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线 x yxe 在点 1 1 e 处的切线方程为 答案 1 y e 14 已知 3 sin 2cos sin 2 则 2 sinsincos 答案 5 6 2 sinsincos 5 6 tan1 tantan 2 2 15 已知ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 若1c ABC 的面积为 22 1 4 ab 则ABC 面积的 最大值为 答案 21 4 16 已知ABC 的外接圆圆心为 O 6 8ABAC AOABACR uuu ruuu ruuu r 若 2 1 s i n 2At t为实数 有最小值 则参数t的取值范围是 答案 33 15 16 16 三 解答题 本大题共 6 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c 若 2 1 cos 222 Ab c 1 求角 C 2 BM 平分角 B 交 AC 于点 M 且1 6BMc 求cos ABM 解析 1 由题1 cos 1 cos 222 Abb A cc cossinsinsin sincoscossinACBACACAC 页 5 第 sincos0AC 又 0 sin0cos0 2 AACC 2 记ABM 则MBC 在Rt MCB 中 cosCB 在Rt ACB 中 cos BC ABC AB 即 cos cos2 6 即 2 cos 2cos1 6 3 cos 4 或 2 3 舍 3 cos 4 ABM 18 本小题满分 12 分 已知数列 n a的前n项和为 n S 1 1 2 a 2 1 1 n n S anN nn 1 证明 数列 1 n n S n 为等差数列 2 若数列 bn 满足 1 2 n n nn n b SS 求数列 bn 的前n项和 Tn 解析 1 2n 时 2222 1 nnnn Sn annn SSnn 即 22 1 1 1 nn nSn Sn n 2 n 同除以 1 n n 得 1 1 1 2 1 nn nn SSn nn 1 n n S n 为等差数列 首项为 1 公差为 1 2 由 1 知 2 1 1 nn nn SnS nn 1 211 1 22 1 2 n nnn n b n nnn 1121 111111 1 1 2 22 23 22 1 2 1 2 n nnn T nnn 19 本小题满分 12 分 已知函数 cossin cossin 2 3sincos 222222 xxxxxx f x 1 求函数 f x的最大值并指出 f x取最大值时x的取值集合 2 若 为锐角 126 cos 135 f 求 6 f 的值 页 6 第 解析 1 22 cossin2 3sincos 2222 xxxx f x cos3sin2sin 6 xxx 令2 62 xk 得2 3 xkkZ 所以最大值为 2 此时x的取值集合为 2 3 x xkkZ 2 由 为锐角 12 cos 13 得 5 sin 13 Q0 2 2 663 又 312 sin 6522 664 4 cos 65 cos cos 66 63 cos cos sin sin 6665 126 2sin 2sin 2cos 6326665 f 20 本小题满分 12 分 已知四棱锥PABCD 的底面 ABCD 是直角梯形 AD BC ABBC 3 22 ABBCAD E 为 CD 的中点 PBAE 1 证明 平面 PBD 平面 ABCD 2 若P B P D PC 与平面 ABCD 所成的角为 4 试问 在侧面 PCD 内是否存在一点 N 使得BN 平面 PCD 若存在 求出点 N 到平面 ABCD 的距离 若不存在 请说明理由 页 7 第 解析 1 证明 由四边形 ABCD 是直角梯形 AB BC 2AD 2 AB BC 可得 DC 2 BCD 3 从而 BCD 是等边三角形 BD 2 BD 平分 ADC E 为 CD 的中点 DE AD 1 BD AE 又 PB AE PB BD B AE 平面 PBD 又 AE 平面 ABCD 平面 PBD 平面 ABCD 2 在平面 PBD 内作 PO BD 于 O 连接 OC 又 平面 PBD 平面 ABCD 平面 PBD 平面 ABCD BD PO 平面 ABCD PCO 为 PC 与平面 ABCD 所成的角 则 PCO 4 易得 OP OC PB PD PO BD O 为 BD 的中点 OC BD 以 OB OC OP 所在的直线分别为 x y z 轴建立空间直角坐标系 则 B 1 0 0 C 0 0 D 1 0 0 P 0 0 假设在侧面PCD内存在点N 使得BN 平面PCD成立 设 0 1 PNPDPC uuu ruuu ruuu r 易得 3 3 1 N 由 0 0 BN PC BN PD uuu r uuu r uuu r uuu r得 12 55 满足题意 所以 N 点到平面 ABCD 的距离为 2 3 3 1 5 21 本小题满分 12 分 1 已知 2 1 lnf xx x 证明 当2x 时 22 1 ln1 ln2 4 xxx 页 8 第 2 证明 当 42 11 2 1 a ee 时 33 131 ln 2 39 a g xxxxx x 有最小值 记 g x最小值为 a 求 a 的值域 解析 1 证明 2 33 122 0 x fx xxx f x 在 2 上单增 2x 时 2 f xf 即 2 11 lnln2 4 x x 2x 时 22 1 ln1 ln2 4 xxx 2 2222 2 1311 ln1 ln 33 a g xxxxxxxa x 由 f x在 2 上单增且 2 24 11 1 2 f ef e ee 42 11 2 1 a ee 知存在唯一的实数 2 0 xe e 使得 0 0g x 即 0 2 0 1 ln0 xa x 0 2 0 xxg xg x 单减 0 0 xxg xg x 单增 min0 g xg x 0 x满足 0 2 0 1 ln0 xa x 0 2 0 1 lnax x 33 00000 131 ln 39 a g xxxxx 3 2 0 00 2 93 x x exe 记 32 12 93 h xxx exe 则 2 2 0 33 x h x h x 在 2 e e上单减 63 22 22 9393 ee eh eh xh ee 所以 a 的值域为 63 2 22 9393 ee ee 22 本小题满分 10 分 已知函数 2 24 f xxx 1 解不等式 34f xx 2 若函数 f x最小值为a 且2 0 0 mna mn 求 21 1mn 的最小值 页 9 第 解析 1 当2x 时 3234xx 无解 当22x 时 634xx 得 1 2 2 x 当2x 时 3234xx 得2x 所以不等式解集