2020届湖北省部分重点中学高三（上）期末试卷数学（理科）（PDF版含答案）

1 页 数学试卷 理科 数学试卷 理科 题号 一 二 三 总分 得分 一 选择题 本大题共 12 小题 共 60 0 分 1 i2020 A 1 B 1 C i D i 2 已知集合 A x 0 log2x 2 B y y 3 x 2 x R 则 A B A 1 4 B 2 4 C 1 2 D 1 3 若 a ln2 的大小关系为 A b c a B b a c C a b c D c b a 4 当 0 x 1 时 则下列大小关系正确的是 A x3 3x log3x B 3x x3 log3 x C log3 x x3 3x D log3 x 3x x3 5 已知 cos 2cos 且 tan 则 tan 的值为 A 7 B 7 C 1 D 1 6 将函数 f x sin 2x 0 的图象向右平移 个单位长度后得到函数 的 图象 则函数 f x 的一个单调减区间为 A B C D 7 设向量 1 2 a 1 b 0 其中 O 为坐标原点 a 0 b 0 若 A B C 三 点共线 则 的最小值为 A 4 B 6 C 8 D 9 8 若数列 an 满足 d n N d 为常数 则称数列 an 为调和数列 已知数列 为调和数列 且 x1 x2 x20 200 则 x5 x16 A 10 B 20 C 30 D 40 9 设函数 f x x2 2cosx x 1 1 则不等式 f x 1 f 2x 的解集为 A 1 B 0 C D 0 10 设椭圆的左焦点为 F 在 x 轴上 F 的右侧有一点 A 以 FA为直径的圆与椭圆在 x 轴上方部分交于 M N两点 则的值为 A B C D 2 页 11 已知向量 满足 E F 分别是线段 BC CD 的中点 若 则向量与向量的夹角为 A B C D 12 已知变量 x1 x2 0 m m 0 且 x1 x2 若 x1 x2恒成立 则 m 的最大值为 A e B C D 1 二 填空题 本大题共 4 小题 共 20 0 分 13 已知数列 an 满足 a1 1 前 n项和未 sn 且 sn 2an n 2 n N 则 an 的通项公式 an 14 已知边长为 3的正 ABC三个顶点都在球 O 的表面上 且 OA与平面 ABC 所成的角为 30 则球 O的 表面积为 15 公元前 6世纪 古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图 发现 0 618就是黄金分 割 这是一个伟大的发现 这一数值也表示为 a 2sin18 若 a2 b 4 则 16 如图 已知双曲线 C 1 a 0 b 0 的右顶点为 A O 为坐标原点 以 A 为圆心的圆与双曲 线 C 的某渐近线交于两点 P Q 若 PAQ 60 且 3 则双曲线的离心率为 三 解答题 本大题共 7 小题 共 82 0 分 17 已知 ABC 的内角 A B C的对边分别为 a b c满足 1 求 A 2 若 ABC的面积 求 ABC 的周长 18 棋盘上标有第 0 1 2 100 站 棋子开始时位于第 0站 棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏 若掷出 正面 棋子向前跳出一站 若掷出反面 棋子向前跳出两站 直到跳到第 99站或第 100 站时 游戏结 束 设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn 1 当游戏开始时若抛掷均匀硬币 3 次后求棋手所走站数之和 X 的分布列与数学期望 2 证明 3 求 P99 P100的值 3 页 19 如图 已知平面 BCC1B1是圆柱的轴截面 经过圆柱的轴截面 BC是圆柱底 面的直径 O为底面圆心 E为母线 CC1的中点 已知 AB AC AA1 4 1 求证 B1O 平面 AEO 2 求二面角 B1 AE O 的余弦值 20 椭圆 C焦点在 y轴上 离心率为 上焦点到上顶点距离为 2 求椭圆 C的标准方程 直线 l与椭圆 C交与 P Q 两点 O为坐标原点 OPQ的面积 S OPQ 1 则 2 2是否为 定值 若是求出定值 若不是 说明理由 21 已知函数 f x excosx xsinx g x sinx ex 其中 e 为自然对数的底数 1 x1 0 x2 0 使得不等式 f x1 m g x2 成立 试求实数 m 的取值范围 2 若 x 1 求证 f x g x 0 22 在平面直角坐标系中 已知直线 l的参数方程为 t为参数 以原点为极点 x 轴的非负半 轴为极轴建立极坐标系 曲线 C的极坐标方程 4cos 1 求直线 l的普通方程与曲线 C 的直角坐标方程 2 直线 l与曲线 C交于 A B 两点 点 P 1 2 求 PA PB 的值 4 页 23 已知函数 f x 2x 1 x 4 1 解不等式 f x 6 2 若不等式 f x x 4 a2 8a 有解 求实数 a 的取值范围 5 页 答案答案 1 答案 A 2 答案 B 3 答案 A 4 答案 C 5 答案 B 6 答案 A 7 答案 C 8 答案 B 9 答案 B 10 答案 A 11 答案 A 12 答案 A 13 答案 14 答案 16 15 答案 16 答案 17 答案 解 1 由正弦定理可得 且 A 0 2 bc 12 又 a2 b2 c2 2bcosA 9 b c 2 3bc 即 ABC的周长为 18 答案 解 1 解 由题意得 X 的可能取值为 3 4 5 6 P X 3 3 P X 4 P X 5 P X 6 3 X的分布列如下 6 页 X 3 4 5 6 P 2 证明 棋子先跳到第 n 2 站 再掷出反面 其概率为 棋子先跳到第 n 1 站 再掷出正面 其概率为 即 3 解 由 2 知数列 Pn Pn 1 n 1 是首项为 Pn Pn 1 n 1 公比为的等比数列 由此得到 由于若跳到第 99站时 自动停止游戏 故 解析 本题考查离散型随机变量的分布列 数学期望的求法 等比数列的性质 考查运算求解能力 考 查化归与转化思想 属于较难题 1 由题意得 X的可能取值为 3 4 5 6 分别求出相应的概率 由此能求出 X 的分布列和数学期望 2 棋子先跳到第 n 2 站 再掷出反面 其概率为 棋子先跳到第 n 1 站 再掷出正面 其概率为 从而 由此能证明 3 数列 Pn Pn 1 n 1 是首项为 Pn Pn 1 n 1 公比为的等比数列 从而 由此能求出 P99 P100的值 19 答案 证明 1 依题意可知 AA1 平面 ABC BAC 90 如图建立空间直角坐标系 A xyz 因为 AB AC AA1 4 则 A 0 0 0 B 4 0 0 E 0 4 2 B1 4 0 4 C 0 4 0 O 2 2 0 2 分 2 2 4 2 2 2 2 2 0 3分 2 2 2 2 4 2 0 7 页 B1O EO 2 2 2 2 4 0 0 B1O AO 5 分 AO EO O AO EO 平面 AEO B1O 平面 AEO 6 分 2 由 1 知 平面 AEO 的法向量为 2 2 4 7分 设平面 B1AE的法向量为 x y z 则 令 x 2 则 2 2 2 10 分 cos 二面角 B1 AE F 的余弦值为 12 分 解析 1 依题意可知 AA1 平面 ABC BAC 90 建立空间直角坐标系 A xyz 利用向量法能证 明 B1O 平面 AEO 2 求出平面 AEO的法向量和平面 B1AE的法向量 利用向量法能求出二面角 B1 AE F 的余弦值 本题考查线面垂直的证明 考查二面角的余弦值的求法 是中档题 解题时要认真审题 注意向量法的合 理运用 20 答案 解 由题意可得 解得 可得 b2 a2 c2 1 即有椭圆 C的标准方程为 设 P x1 y1 Q x2 y2 1 当 l斜率不存在时 P Q两点关于 x 轴对称 S OPQ x1 y1 1 又 解得 2 2 2 x12 y12 2 2 5 2 当直线 l的斜率存在时 设直线 l的方程为 y kx m 由题意知 m 0 将其代入 得 k2 4 x2 2kmx m2 4 0 8 页 即有 则 O到 PQ距离 则 解得 k2 4 2m2 满足 0 则 即有 2 2 x12 y12 x22 y22 3 8 5 综上可得 2 2为定值 5 解析 运用椭圆的离心率公式和两点的距离公式 及 a b c 的关系 解得 a b 进而得到椭圆 方程 设 P x1 y1 Q x2 y2 讨论直线 l的斜率不存在和存在 设出直线方程 代入椭圆方程 运 用韦达定理和判别式大于 0 结合三角形的面积公式 点到直线的距离公式和弦长公式 化简整理 即可 得到所求和为定值 5 本题考查椭圆方程的求法 注意运用离心率公式 考查直线和椭圆联立 运用韦达定理和弦长公式 注意 讨论直线的斜率不存在 考查化简整理的运算能力 属于中档题 21 答案 解 1 f x excosx exsinx sinx xcosx cosx 0 sinx 0 ex 0 excosx exsinx sinx xcosx 0 即 f x 0 f x 在上单调递增 f x 的最大值为 f 0 1 设 h x g x 则 h x 0 h x 在 0 上单调递减 h x 的最大值为 h 0 h x 0 即 g x 0 9 页 g x 在 0 上单调递减 g x 的最大值为 g 0 根据题意知 f x max m g x max 实数 m 的取值范围为 2 设 F x ex x 1 则 F x ex 1 x 1 0 时 F x 0 x 0 时 F x 0 F x 在 1 上的最小值为 F 0 0 F x 0 ex x 1在 x 1 上恒成立 x 0时取 该不等式和不等式 等号不能同时取到 f x g x 0 解析 1 根据题意便知 f x max m g x max 这样可根据导数求 f x g x 的最大值 求导 数 f x 容易说明 f x 0 从而可以得出 f x 在上单调递增 从而可求出最大值为 1 同样的办法 求 可设 h x g x 再求导便可得出 h x 0 在上恒成立 从而得出 g x 单调递减 从而可以得出最大值为 g 0 从而便可得到 1 这样便可得出 实数 m的取值范围 2 先求出 f x g x 根据导数可以证明 ex x 1 而显然 恒 成立 从而有 而根据两角和的余弦公式即 可说明 x 1 cosx sinx x 1 0 并且可以看出这个等号和前面不等式的等号不同时取到 从而 便证出 f x g x 0 考查根据导数符号判断函数单调性的方法 根据函数单调性求函数最大值的方法 在判断导数符号时可以 两次求导 以及两角和的余弦公式 不等式的性质 22 答案 解 1 直线 l的参数方程为 t为参数 由得 l的普通方程为 C 的极坐标方程是 4cos 2 4 cos x2 y2 4x 10 页 C 的直角坐标方程为 x2 y2 4x 0 2 将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程 得 t1 t2同号 解析 1 由直线 l的参数方程 能求出 l的普通方程 由曲线 C的极坐标方程 能求出曲线 C的直角 坐标方程 2 将 l的参数方程代入 C的直角坐标方程 得 由此能求出 PA PB 的值 本小题考查直线和曲的直角坐标方程 极坐标方程 参数方程等基础知识 考查运算求解能力 考查化归 与转化思想等 23 答案 解 1 由已知得当时 不等式 f x 6化为 3x 3 6 解得 x 1 所以取 当时 不等式 f x 6 化为 x 5 6 解得 x 1 所以取 当 x 4 时 不等式 f x 6 化为 3x 3 6 解得 x 3 不合题意 舍去 综上知 不等式 f