北京市海淀区2018届高三数学下学期期中练习一模试题文.doc

1 北京市海淀区北京市海淀区 20182018 届高三数学下学期期中练习 一模 试题届高三数学下学期期中练习 一模 试题 文文 本试卷共 4 页 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题纸上 在试卷 上作答无效 考试结束后 将答题纸交回 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共一 选择题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 要求的一项 1 已知集合 0 Aa 12Bxx 且AB 则a可以是 A 1 B 0 C l D 2 2 已知向量a a l 2 b b 1 0 则a a 2b b A 1 2 B 1 4 C 1 2 D 1 4 3 下列函数满足 0f xfx 的是 A f xx B lnf xx C 1 1 f x x D cosf xxx 4 执行如图所示的程序框图 输出的 S 值为 A 2 B 6 C 8 D 10 5 若抛物线 2 2 0 ypx p 上任意一点到焦点的距 离恒大于 1 则p的取值范围是 A 1p B 1p C 2p D 2p 6 如图 网格纸上小正方形的边长为 1 若四边形ABCD及其内部的点组成的集合记为 M P x y为M中任意一点 则yx 的最大值为 A 1 B 2 C 1 D 2 7 已知 n S是等差数列 n a的前n项和 则 nn Sna 对 2n 恒成立 是 数列 n a为递增 数列 的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 8 已知直线l 4 yk x 与圆 22 2 4xy 相交于AB 两点 M是线段AB的 中点 则点M到直线3460 xy 的距离的最大值为 A 2 B 3 C 4 D 5 第二部分第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 复数 2 1 i i 10 已知点 2 0 是双曲线C 2 2 2 1 x y a 的一个顶点 则C的离心率为 11 在ABC 中 若2c 3a 6 A 则sinC s2coC 12 某几何体的三视图如右图所示 则该几何体的体积是 13 已知函数 1 cosf xx x 给出下列结论 f x在0 2 上是减函数 f x在0 上的最小值为 2 f x在0 2上至少有两个零点 其中正确结论的序号为 写出所有正确结论的序号 14 将标号为 1 2 20 的 20 张卡片放入下列表格中 一个格放入一张卡片 把每 列标号最小的卡片选出 将这些卡片中标号最大的数设为a 把每行标号最大的卡片选出 将这些卡片中标号最小的数设为b 甲同学认为a有可能比b大 乙同学认为a和b有可能相等 那么甲乙两位同学中说法正 确 的同学是 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 3 已知等比数列 n a满足以 1 1 a 52 1 8 aa I 求数列 n a的通项公式 试判断是否存在正整数n 使得 n a的前n项和 n S为 5 2 若存在 求出n的值 若不存在 说明理由 16 本小题 13 分 函数 3sin f xxx 0 2 的部分图象如图所示 其中 0 x是函数 f x的一个零点 I 写出 及 0 x的值 求函数 f x在区间 0 2 上的最大值和最小值 17 本小题 13 分 流行性感冒多由病毒引起 据调查 空气相对湿度过大或过小时 都有利于一些病毒 的繁殖和传播 科学测定 当空气相对湿度大于 65 或小于 40 时 病毒繁殖滋生较快 当 空气相对湿度在 45 55 时 病毒死亡较快 现随机抽取了全国部分城市 获得了它们的 空气月平均相对湿度共 300 个数据 整理得到数据分组及频数分布表 其中为了记录方便 将空气相对湿度在a b 时记为区间 a b 组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 15 25 25 35 35 45 45 55 55 65 65 75 75 85 85 95 频数 2 3 15 30 50 75 120 5 I 求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率 从区间 15 35 的数据中任取两个数据 求恰有一个数据位于 25 35 的概率 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替 试估计样本中空气月平均相对 湿度的平均数在第几组 只需写出结论 18 本小题 14 分 4 如图 四棱锥EABCD 中 1 1 2 ADBC ADAbAEBC 且BC 平面 ABE M为棱CE的中点 I 求证 DM 平面ABE 求证 平面CDE 平面CBE 当四面体DABE 的体积最大时 判断直线AE与直线CD是 否垂直 并说明理由 19 本小题 14 分 已知椭圆C的两个焦点为 12 1 0 1 0 FF 离心率为 1 2 I 求椭圆C的方程 设点A是椭圆C的右顶点 过点 1 F的直线与椭圆C交于P Q两点 直线AP AQ与直线4x 分别交于M N两点 求证 点 1 F在以MN为直径的圆上 20 本小题 13 分 已知函数 e sin x f xxax I 当0a 时 求曲线 yf x 在 0 0 f处的切线方程 当0a 时 判断 f x 在 3 0 4 上的单调性 并说明理由 当1a 时 求证 3 0 4 x 都有 0f x 参考答案 一一 选择题选择题 本大题共本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 在每小题列出的四个选项中 选出符在每小题列出的四个选项中 选出符 合题目要求的一项合题目要求的一项 题号 12345678 答案 CADDDBCC 5 二二 填空题 本大题共填空题 本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 9 1 i 10 5 2 11 3 1 33 12 3 3 2 13 14 乙 三三 解答题 本大题共解答题 本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 解 设 n a 的公比为q 因为 52 1 8 aa 且 3 52 aa q 所以 3 1 8 q 得 2 1 q 所以 1 1 1 1 1 2 2 n n n aa qn 6 分 不存在n 使得 n a 的前n项和 n S 为 5 2 因为 1 1a 2 1 q 所以 n n n S 2 1 12 2 1 1 2 1 1 10 分 方法 1 令 5 2 n S 则 15 2 1 22 n 得24 n 该方程无解 所以不存在n 使得 n a 的前n项和 n S 为 5 2 13 分 方法 2 因为对任意 Nn 有 1 2 1 1 n 6 所以 2 2 1 12 n n S 所以不存在n 使得 n a 的前n项和 n S 为 5 2 13 分 16 解 0 11 2 612 x 6 分 由 可知 3sin 2 6 f xx 因为 0 2 x 所以 5 2 666 x 当2 62 x 即 3 x 时 f x 的最小值为3 当2 66 x 即 0 x 时 f x 的最大值为 3 2 13 分 17 解 由已知 当空气相对湿度在45 55时 病毒死亡较快 而样本在 45 55 上的频数为 30 所以所求频率为 301 30010 3 分 设事件A为 从区间 15 35 的数据中任取两个数据 恰有一个数据位于 25 35 设区间 15 25 中的两个数据为 12 a a 区间 25 35 中的三个数据为 123 b b b 因此 从区间 15 35 的数据中任取两个数据 包含 12111213212223121323 a aa ba ba ba ba ba bb bb bb b 共 10 个基本事件 而事件A包含 111213212223 a ba ba ba ba ba b 共 6 个基本事件 所以 63 105 P A 10 分 第 6 组 13 分 7 18 证明 取线段EB的中点N 连接 MN AN D A B C M E N 因为M为棱CE的中点 所以在 CBE 中 MNBC 1 2 MNBC 又 ADBC 1 2 ADBC 所以 MNAD MNAD 所以四边形DMNA是平行四边形 所以 DMAN 又DM 平面ABE AN 平面ABE 所以 DM 平面ABE 因为AEAB N 为EB中点 所以AN BE 又BC 平面ABE AN 平面ABE 所以BC AN 又BCBEB 所以AN 平面BCE 又又 DMAN 所以DM 平面BCE 因为DM 平面CDE 所以平面CDE 平面CBE 9 分 AECD 设EAB 1ADABAE 则四面体DABE 的体积 sinVAE ABAD 11 3 2 1 sin 6 当 90 即AEAB 时体积最大 又BC 平面ABE AE 平面ABE 所以AE BC 8 因为BCABB 所以AE 平面ABC 因为CD 平面ABCD 所以AE CD 14 分 19 解 由题意 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 则 222 1 1 2 c c a abc 得2 3 ab 所以椭圆方程为 22 1 43 xy 5 分 证明 由 可得 2 0 A 当直线 PQ不存在斜率时 可得 33 1 1 22 PQ 直线AP方程为 1 2 2 yx 令 4 x 得 4 3 M 同理 得 4 3 N 所以 11 3 3 3 3FMFN 得 11 0FM F N 所以 1 90MFN 1 F在以MN为直径的圆上 当直线PQ存在斜率时 设PQ方程为 1yk x 11 y xP 22 y xQ 由 22 1 1 43 yk x xy 可得 2222 3484120kxk xk 显然0 22 1212 22 8412 3434 kk xxx x kk 9 直线AP方程为 1 1 2 2 y yx x 得 1 1 6 4 2 y M x 同理 2 2 6 4 2 y N x 所以 12 11 12 66 3 3 22 yy FMFN xx 12 11 12 36 9 2 y y FM F N xx 2 因为 1122 1 1yk xyk x 所以 2 1212 1212 3636 1 1 2 2 y ykxx xxxx 22 2 1212 1212 222 2 2 222 2 2 2 361 2 4 412834 36 34 412 1612 16 34 9 36 36 9 kx xxx x xxx kkk k k kkk k k k 所以 11 0FM F N 所以 90MFN F在以MN为直径的圆上 14 分 综上 F在以MN为直径的圆上 20 解 当0a 时 e sin x f xx e sincos x fxxxx R 得 0 1 f 又 0 0 e sin0 0f 所以曲线 yf x 在 0 0 f处的切线方程为 yx 4 分 10 方法 1 因为 e sin x f xxax 所以 e sincos x fxxxa 2e sin 4 x xa 因为 3 0 4 x 所以 44 x 所以2e sin 0 4 x x 所以 当0a 时 0fx 所以 f x在区间 3 0 4 单调递增 8 分 方法 2 因为 e sin x f xxax 所以 e sincos x fxxxa 令 g xfx 则 e sincos e cossin 2e cos xxx g xxxxxx g x g x随x的变化情况如下表 x 0 0 2 2 3 24 3 4 g x 0 g x1a 极大值 a 11 当0a 时 3 0 10 0 4 gaga 所以 3 0 4 x 时 0g x 即 0fx 所以 f x在区间 3 0 4 单调递增 8 分 方法 1 由 可知 当0a 时 f x在区间 3 0 4 单调递增 所以 3 0 4 x 时 0 0f xf 当01a 时 设 g xfx 则 e sincos e cossin 2e cos xxx g xxxxxx g x g x随x的变化情况如下表 x 0 0 2 2 3 24 3 4 g x 0 g x1a 极大值 a 所以 fx在 0 2 上单调递增 在 3 24 上单调递减 因为 0 10fa 3 0 4 fa 所以存在唯一的实数 0 3 24 x 使得 0 0fx 且当 0 0 xx 时 0fx 当 0 3 4 xx 时 0fx 所以 f x在 0 0 x上单调递增 f x在 0 3 4 x 上单调递减 12 又 0 0f 332 44 32323 2 30 42422 e feae 所以当01a 时 对于任意的 3 0 4 x 0f x 综上所述 当1a 时 对任意的 3 0 4 x 均有 0f x 13 分 方法 2 由 可知 当0a 时 f x在区间 3 0 4