2014年中考数学试题相似三角形.doc

菁优网初三数学图形的相似热门一解答题（共30小题）1（2014义乌市三模）如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8动点P从点A开始沿折线ACCBBA运动，点P在AC，CB，BA边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持lAC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为_；当t=_秒时，点P与点E重合；（2）当点P在AC边上运动时，将PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当ENAB时，求t的值；（3）当点P在折线ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值2（2013赤峰）如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由3（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若=3，求的值（1）尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是_，CG和EH的数量关系是_，的值是_（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则的值是_（用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若=a，=b，（a0，b0），则的值是_（用含a、b的代数式表示）4（2012新区二模）在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动（1）第一小组的同学发现，在如图11的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，RtADC可以由RtABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程_（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图21）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B处（如图22），这样能得到BGC的大小，你知道BGC的大小是多少吗？请写出求解过程（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图31的方式剪下ABC，其中BA=BC，将ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了CDE、EFG和GHI，如图32已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题：如图41，已知AA=BB=CC=2，AOB=BOC=COA=60，请利用图形变换探究SAOB+SBOC+SCOA与的大小关系5（2008青岛）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC；（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由6（2006青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，C=90，EG=4cm，EGF=90，O是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）7（2014宛城区一模）在ABC中，BAC=90，ABAC，M是BC边的中点，MNBC交AC于点N动点P从点B出发沿射线BA以每秒厘米的速度运动同时，动点Q从点N出发沿射线NC运动，且始终保持MQMP设运动时间为t秒（t0）（1）PBM与QNM相似吗？以图1为例说明理由；（2）若ABC=60，AB=厘米求动点Q的运动速度；设APQ的面积为S（平方厘米），求S与t的函数关系式；（3）探求BP2、PQ2、CQ2三者之间的数量关系，以图1为例说明理由8（2013汕头）有一副直角三角板，在三角板ABC中，BAC=90，AB=AC=6，在三角板DEF中，FDE=90，DF=4，DE=将这副直角三角板按如图1所示位置摆放，点B与点F重合，直角边BA与FD在同一条直线上现固定三角板ABC，将三角板DEF沿射线BA方向平行移动，当点F运动到点A时停止运动（1）如图2，当三角板DEF运动到点D到点A重合时，设EF与BC交于点M，则EMC=_度；（2）如图3，当三角板DEF运动过程中，当EF经过点C时，求FC的长；（3）在三角板DEF运动过程中，设BF=x，两块三角板重叠部分的面积为y，求y与x的函数解析式，并求出对应的x取值范围9（2013苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm，BC=12cm，点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动在运动过程中，EBF关于直线EF的对称图形是EBF设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）（1）当t=_s时，四边形EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t，使得点B与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由10（2012玉林）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），现有两动点P，Q，点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动点P，Q同时出发，同时停止，设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围（2）连接AQ并延长交x轴于点E，把AE沿AD翻折交CD延长线于点F，连接EF，则AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？11（2014遵义三模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（8，0），直线BC经过点B（8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转度（0180）得到四边形OABC，此时直线OA、直线BC分别与直线BC相交于P、Q（1）四边形OABC的形状是_，当=90时，的值是_；（2）如图1，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴上时，求PQ的长；如图2，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求PQ的长（3）小明在旋转中发现，当点P位于点B的右侧时，总存在线段PQ与线段_相等；同时存在着特殊情况BP=BQ，此时点P的坐标是_12（2012三明）在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），BPE=ACB，PE交BO于点E，过点B作BFPE，垂足为F，交AC于点G（1）当点P与点C重合时（如图1）求证：BOGPOE；（2）通过观察、测量、猜想：=_，并结合图2证明你的猜想；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图3），若ACB=，求的值（用含的式子表示）13（2012高淳县二模）如图，在ABC中，AB=AC=10cm，BC=16cm，DE=4cm动线段DE（端点D从点B开始）沿BC边以1cm/s的速度向点C运动，当端点E到达点C时运动停止过点E作EFAC交AB于点F（当点E与点C重合时，EF与CA重合），连接DF，设运动的时间为t秒（t0）（1）直接写出用含t的代数式表示线段BE、EF的长；（2）在这个运动过程中，DEF能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；（3）设M、N分别是DF、EF的中点，求整个运动过程中，MN所扫过的面积14如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动过点P作PEDC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x秒，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动设PE=y；（1）求y关于x的函数关系式；（2）探究：当x为何值时，四边形PQBE为梯形？（3）是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由15如图，在梯形纸片ABCD中，BCAD，A+D=90，tanA=2，过点B作BHAD于H，BC=BH=2动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作FEAD交折线DCB于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C1、D1设F点运动的时间是x秒（x0）（1）当点E和点C重合时，求运动时间x的值；（2）在整个运动过程中，设EFD1或四边形EFD1C1与梯形ABCD重叠部分面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式和相应自变量x的取值范围；（3）平移线段CD，交线段BH于点G，交线段AD于点P在直线BC上存在点I，使PGI为等腰直角三角形请求出线段IB的所有可能的长度16（2014沙坪坝区二模）已知等边ABC和RtDEF按如图所示的位置放置，点B，D重合，且点E、B（D）、C在同一条直线上其中E=90，EDF=30，AB=DE=，现将DEF沿直线BC以每秒个单位向右平移，直至E点与C点重合时停止运动，设运动时间为t秒（1）试求出在平移过程中，点F落在ABC的边上时的t值；（2）试求出在平移过程中ABC和RtDEF重叠部分的面积s与t的函数关系式；（3）当D与C重合时，点H为直线DF上一动点，现将DBH绕点D顺时针旋转60得到ACK，则是否存在点H使得BHK的面积为？若存在，试求出CH的值；若不存在，请说明理由17（2014徐州一模）在ABC中，AB=4，BC=6，ACB=30，将ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到A1BC1（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求CC1A1的度数；（2）如图2，连接AA1，CC1若CBC1的面积为3，求ABA1的面积；（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在ABC绕点B按顺时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值18（2013太原）数学活动求重叠部分的面积问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，将两块全等的直角三角形纸片ABC和DEF叠放在一起，其中ACB=E=90，BC=DE=6，AC=FE=8，顶点D与边AB的中点重合，DE经过点C，DF交AC于点G求重叠部分（DCG）的面积（1）独立思考：请回答老师提出的问题（2）合作交流：“希望”小组受此问题的启发，将DEF绕点D旋转，使DEAB交AC于点H，DF交AC于点G，如图2，你能求出重叠部分（DGH）的面积吗？请写出解答过程（3）提出问题：老师要求各小组向“希望”小组学习，将DEF绕点D旋转，再提出一个求重叠部分面积的问题“爱心”小组提出的问题是：如图3，将DEF绕点D旋转，DE，DF分别交AC于点M，N，使DM=MN，求重叠部分（DMN）的面积任务：请解决“爱心”小组提出的问题，直接写出DMN的面积是_请你仿照以上两个小组，大胆提出一个符合老师要求的问题，并在图4中画出图形，标明字母，不必解答（注：也可在图1的基础上按顺时针旋转）19（2013遵义）如图，在RtABC中，C=90，AC=4cm，BC=3cm动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0t2.5）（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与ABC相似？（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由20（2013包头）如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC上的一个动点，连接DE，交AC于点F（1）如图，当时，求的值；（2）如图当DE平分CDB时，求证：AF=OA；（3）如图，当点E是BC的中点时，过点F作FGBC于点G，求证：CG=BG21（2013淮安）如图，在ABC中，C=90，BC=3，AB=5点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿BCAB的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位沿CAB方向的运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为秒（1）当=_时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C的运动过程中，当为何值时，PCQ为等腰三角形？（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中，设PCQ的面积为S平方单位求S与之间的函数关系式；当S最大时，过点P作直线交AB于点D，将ABC中沿直线PD折叠，使点A落在直线PC上，求折叠后的APD与PCQ重叠部分的面积22（2013娄底）如图，在ABC中，B=45，BC=5，高AD=4，矩形EFPQ的一边QP在BC边上，E、F分别在AB、AC上，AD交EF于点H（1）求证：；（2）设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积；（3）当矩形EFPQ的面积最大时，该矩形EFPQ以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动（当矩形的边PQ到达A点时停止运动），设运动时间为t秒，矩形EFPQ与ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围23（2013福州质检）如图，RtABC中，C=90，AC=BC=8，DE=2，线段DE在AC边上运动（端点D从点A开始），速度为每秒1个单位，当端点E到达点C时运动停止F为DE中点，MFDE交AB于点M，MNAC交BC于点N，连接DM、ME、EN设运动时间为t秒（1）求证：四边形MFCN是矩形；（2）设四边形DENM的面积为S，求S关于t的函数解析式；当S取最大值时，求t的值；（3）在运动过程中，若以E、M、N为顶点的三角形与DEM相似，求t的值24（2013滨湖区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回点P，Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止连结PQ，设运动时间为t（t0）秒（1）求线段AC的长度；（2）当点Q从B点向A点运动时（未到达A点），求APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）伴随着P，Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；当l经过点B时，求t的值25（2013如东县模拟）以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作AOB和COD，其中ABO=DCO=30（1）点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_；如图2，将图1中的AOB绕点O沿顺时针方向旋转角（060），其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进行证明；（2）如图3，若BO=3，点N在线段OD上，且NO=2点P是线段AB上的一个动点，在将AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_，最大值为_26（2013宜城市模拟）如图RtABC中，A=90，AB=AC，E、D分别是BC、AC上的点，且AED=45（1）求证：ABEECD；（2）若AB=4，BE=，求AD长及ADE的面积；（3）当BC=4，在BC上是否存在点E，使得ADE为等腰三角形？若存在，请求出EC的长；若不存在，请说明理由27（2013海淀区一模）在ABC中，ACB=90经过点B的直线l（l不与直线AB重合）与直线BC的夹角等于ABC，分别过点C、点A作直线l的垂线，垂足分别为点D、点E（1）若ABC=45，CD=1（如图），则AE的长为_；（2）写出线段AE、CD之间的数量关系，并加以证明；（3）若直线CE、AB交于点F，CD=4，求BD的长28（2012营口）如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F（1）如图1，求证：AE=DF；（2）如图2，若AB=2，过点M作 MGEF交线段BC于点G，判断GEF的形状，并说明理由；（3）如图3，若AB=，过点M作 MGEF交线段BC的延长线于点G直接写出线段AE长度的取值范围；判断GEF的形状，并说明理由29如图1，两个等腰直角三角板ABC和DEF有一条边在同一条直线l上，DE=2，AB=1将直线EB绕点E逆时针旋转45，交直线AD于点M将图1中的三角板ABC沿直线l向右平移，设C、E两点间的距离为k解答问题：（1）当点C与点F重合时，如图2所示，可得的值为_；在平移过程中，的值为_（用含k的代数式表示）；（2）将图2中的三角板ABC绕点C逆时针旋转，原题中的其他条件保持不变当点A落在线段DF上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，090，原题中的其他条件保持不变计算的值（用含k的代数式表示）30如图1，梯形ABCD中，ADBC，AB=AD=DC=5，BC=11一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQBC，交折线段BAAD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束设点P的运动时间为t秒（t0）（1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；（2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；（3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将DEQ沿BD翻折，得到DEF，连接PF是否存在这样的t，使PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由初三数学图形的相似热门参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2014义乌市三模）如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8动点P从点A开始沿折线ACCBBA运动，点P在AC，CB，BA边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位直线l从与AC重合的位置开始，以每秒个单位的速度沿CB方向平行移动，即移动过程中保持lAC，且分别与CB，AB边交于E，F两点，点P与直线l同时出发，设运动的时间为t秒，当点P第一次回到点A时，点P和直线l同时停止运动（1）当t=5秒时，点P走过的路径长为19；当t=3秒时，点P与点E重合；（2）当点P在AC边上运动时，将PEF绕点E逆时针旋转，使得点P的对应点M落在EF上，点F的对应点记为点N，当ENAB时，求t的值；（3）当点P在折线ACCBBA上运动时，作点P关于直线EF的对称点，记为点Q在点P与直线l运动的过程中，若形成的四边形PEQF为菱形，请直接写出t的值考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）由条件可以求出AB=10，根据P点在各边的速度可以求出在各边所用的时间，从而可以求出P在5秒内走的路程，根据CE=P走的路程AC建立方程就可以求出其值；（2）如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知PEF=MEN，由EFAC，C=90可以得出CPE=PEF，又由ENAB，就有B=MEN可以得出CPE=B最后利用三角函数的关系建立方程求出其解就可以了；（3）根据菱形的性质和相似三角形的性质分两种情况当P点在AC上时和当P在AB上时可以分别求出t的值解答：解：（1）在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8由勾股定理，得AB=10，点P在AC，CB，BA边上运动，速度分别为每秒3，4，5个单位，点P在AC边上运动的时间为：63=2秒，点P在BC边上运动的时间为：84=2秒，点P在AB边上运动的时间为：522=1秒，P点在AB边上运动的距离为：51=5，当t=5秒时，点P走过的路径长为 19；由题意可知，当（t2）4=t时，点P与点E重合解得：t=3，t=3秒时，点P与点E重合故答案为：19，3；（2）如图，由点P的对应点M落在EF上，点F的对应点为点N，可知PEF=MEN，P在AC上，AP=3t （0t2），CP=63t，EFAC，C=90，BEF=90，CPE=PEFENAB，B=MENPEF=FEN，CPE=B，CP=t解得：（3）如图1，当P点在AC上时，（0t2）AP=3t，PC=63t，EC=t，BE=8t，EFAC，FEBACB，EF=6t四边形PEQF是菱形，POE=90，OE=EF=3t，EFAC，C=90，OEC=90，四边形PCEO是矩形，OE=PC3t=63t，t=，如图2，当P在AB上时（4t6），四边形PFQE是菱形，PE=PF，PFE=PEF，EFAC，C=90，FEB=FEP+PEB=90，B+EFB=90，B+FEP=90，PEB=B，PE=PBPB=5（t4），BF=10（t4），sinB=，EF=6t24CE=t，BE=8t，FEBACB，EF=6t6t=6t24解得t=t的值为（秒）或（秒）点评：本题考查了勾股定理的运用，相似三角形的判定及性质的运用，菱形的性质的运用，三角函数值的运用及分类讨论思想的运用，解答本题时利用相似三角形的性质和菱形的性质是关键2（2013赤峰）如图，在RtABC中，B=90，AC=60cm，A=60，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动设点D、E运动的时间是t秒（0t15）过点D作DFBC于点F，连接DE，EF（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值，如果不能，说明理由；（3）当t为何值时，DEF为直角三角形？请说明理由考点：相似形综合题菁优网版权所有分析：（1）利用t表示出CD以及AE的长，然后在直角CDF中，利用直角三角形的性质求得DF的长，即可证明；（2）易证四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，据此即可列方程求得t的值；（3）分两种情况讨论即可求解解答：（1）证明：直角ABC中，C=90A=30AB=AC=60=30cmCD=4t，AE=2t，又在直角CDF中，C=30，DF=CD=2t，DF=AE；解：（2）DFAB，DF=AE，四边形AEFD是平行四边形，当AD=AE时，四边形AEFD是菱形，即604t=2t，解得：t=10，即当t=10时，AEFD是菱形；（3）当t=时DEF是直角三角形（EDF=90）；当t=12时，DEF是直角三角形（DEF=90）理由如下：当EDF=90时，DEBCADE=C=30AD=2AE即604t=4t解得：t=t=时，EDF=90当DEF=90时，DEEF，四边形AEFD是平行四边形，ADEF，DEAD，ADE是直角三角形，ADE=90，A=60，DEA=30，AD=AE，AD=ACCD=604t，AE=DF=CD=2t，604t=t，解得t=12综上所述，当t=时DEF是直角三角形（EDF=90）；当t=12时，DEF是直角三角形（DEF=90）点评：本题考查了直角三角形的性质，菱形的判定与性质，正确利用t表示DF、AD的长是关键3（2012河南）类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整原题：如图1，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线CD于点G若=3，求的值（1）尝试探究在图1中，过点E作EHAB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是AB=3EH，CG和EH的数量关系是CG=2EH，的值是（2）类比延伸如图2，在原题的条件下，若=m（m0），则的值是（用含有m的代数式表示），试写出解答过程（3）拓展迁移如图3，梯形ABCD中，DCAB，点E是BC的延长线上的一点，AE和BD相交于点F若=a，=b，（a0，b0），则的值是ab（用含a、b的代数式表示）考点：相似形综合题；平行四边形的性质；梯形；相似三角形的判定与性质菁优网版权所有专题：代数几何综合题；压轴题分析：（1）本问体现“特殊”的情形，=3是一个确定的数值如答图1，过E点作平行线，构造相似三角形，利用相似三角形和中位线的性质，分别将各相关线段均统一用EH来表示，最后求得比值；（2）本问体现“一般”的情形，=m不再是一个确定的数值，但（1）问中的解题方法依然适用，如答图2所示（3）本问体现“类比”与“转化”的情形，将（1）（2）问中的解题方法推广转化到梯形中，如答图3所示解答：解：（1）依题意，过点E作EHAB交BG于点H，如右图1所示则有ABFEHF，AB=3EHABCD，EHAB，EHCD，又E为BC中点，EH为BCG的中位线，CG=2EH=故答案为：AB=3EH；CG=2EH；（2）如右图2所示，作EHAB交BG于点H，则EFHAFB=m，AB=mEHAB=CD，CD=mEH5分EHABCD，BEHBCG=2，CG=2EH6分=故答案为：（3）如右图3所示，过点E作EHAB交BD的延长线于点H，则有EHABCDEHCD，BCDBEH，=b，CD=bEH又=a，AB=aCD=abEHEHAB，ABFEHF，=ab，故答案为：ab点评：本题的设计独具匠心：由平行四边形中的一个特殊的例子出发（第1问），推广到平行四边形中的一般情形（第2问），最后再通过类比、转化到梯形中去（第3问）各种图形虽然形式不一，但运用的解题思想与解题方法却是一以贯之：即通过构造相似三角形，得到线段之间的比例关系，这个比例关系均统一用同一条线段来表达，这样就可以方便地求出线段的比值本题体现了初中数学的类比、转化、从特殊到一般等思想方法，有利于学生触类旁通、举一反三4（2012新区二模）在图形的全等变换中，有旋转变换，翻折（轴对称）变换和平移变换一次数学活动课上，老师组织大家利用矩形进行图形变换的探究活动（1）第一小组的同学发现，在如图11的矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，RtADC可以由RtABC经过一种变换得到，请你写出这种变换的过程将ABC绕点O旋转180后可得到ADC（2）第二小组同学将矩形纸片ABCD按如下顺序进行操作：对折、展平，得折痕EF（如图21）；再沿GC折叠，使点B落在EF上的点B处（如图22），这样能得到BGC的大小，你知道BGC的大小是多少吗？请写出求解过程（3）第三小组的同学，在一个矩形纸片上按照图31的方式剪下ABC，其中BA=BC，将ABC沿着直线AC的方向依次进行平移变换，每次均移动AC的长度，得到了CDE、EFG和GHI，如图32已知AH=AI，AC长为a，现以AD、AF和AH为三边构成一个新三角形，已知这个新三角形面积小于15，请你帮助该小组求出a可能的最大整数值（4）探究活动结束后，老师给大家留下了一道探究题：如图41，已知AA=BB=CC=2，AOB=BOC=COA=60，请利用图形变换探究SAOB+SBOC+SCOA与的大小关系考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据矩形是中心对称图形，可以将RtABC旋转180得到RtADC而得出结论；（2）连接BB，由题意得EF垂直平分BC，就有BB=BC，由翻折可得BC=BC，从而BBC为等边三角形就可以求出BCB=60；（3）分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，由BA=BC，根据平移变换的性质，就有CDE、EFG和GHI都是等腰三角形，就有DPCE，FQEG，HRGI，由勾股定理就可以求出HR2=a2，从而得出新三角形三边的值，从而得出结论；（4）将BOC沿BB方向平移2个单位，所移成的三角形记为BPR，将COA沿AA方向平移2个单位，所移成的三角形记为AQR由条件可以得出AQR为等边三角形，由等边三角形的性质就可以求出AQR的面积为，从而就可以得出结论解答：解：（1）将ABC绕点O旋转180后可得到ADC；故答案为：将ABC绕点O旋转180后可得到ADC（2）如图221，连接BB，由题意得EF垂直平分BC，BB=BC，由翻折可得，BC=BC，BBC为等边三角形BCB=60，BCG=30，GBC=90，BGC=60；（3）如图311，分别取CE、EG、GI的中点P、Q、R，连接DP、FQ、HR、AD、AF、AH，BA=BC，根据平移变换的性质，CDE、EFG和GHI都是等腰三角形，DPCE，FQEG，HRGI，GR=EQ=CP=0.5a，DP=FQ=HRAC=a，AI=4aAH=AI，AH=4a，AR=3.5aAH2=16a2在RtAHR中，AH2=HR2+AR2，16a2=HR2+a2，HR2=a2，DP2=FQ2=HR2=a2，在RtADP和RtAFQ中，由勾股定理，得AD2=AP2+DP2=6a2，AF2=AQ2+FQ2=10a2，AH2=AD2+AF2，新三角形为直角三角形，新三角形三边长为4a、a、a其面积为：aa=a2a215，a215a的最大整数值为3（4）如图411，将BOC沿BB方向平移2个单位，所移成的三角形记为BPR，将COA沿AA方向平移2个单位，所移成的三角形记为AQS连接PQ，QR+PR=OC+OC，Q、R、P三点共线OQ=OA+AQ=OA+OA=AA=2，OP=OB+BP=OB+OB=BB=2且QOP=60，OPQ为等边三角形PQ=OQ=OP=2RP=OC，QS=OC，RP+QS=OC+OC=CC=2=PQ，R、S重合SQOP=，SAOB+SBOC+SCOA=SAOB+SBPR+SPQASOPQ，SAOB+SBOC+SCOA点评：本题考查了旋转变换的运用，翻折变换的运用，平移变换的运用，等边三角形的性质的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用本题的综合性较强要求学生熟练的运用图形变换解题是关键5（2008青岛）已知：如图，在RtACB中，C=90，AC=4cm，BC=3cm，点P由B出发沿BA方向向点A匀速运动，速度为1cm/s；点Q由A出发沿AC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s；连接PQ若设运动的时间为t（s）（0t2），解答下列问题：（1）当t为何值时，PQBC；（2）设AQP的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t，使线段PQ恰好把RtACB的周长和面积同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由；（4）如图，连接PC，并把PQC沿QC翻折，得到四边形PQPC，那么是否存在某一时刻t，使四边形PQPC为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）当PQBC时，我们可得出三角形APQ和三角形ABC相似，那么可得出关于AP，AB，AQ，AC的比例关系，我们观察这四条线段，已知的有AC，根据P，Q的速度，可以用时间t表示出AQ，BP的长，而AB可以用勾股定理求出，这样也就可以表示出AP，那么将这些数值代入比例关系式中，即可得出t的值（2）求三角形APQ的面积就要先确定底边和高的值，底边AQ可以根据Q的速度和时间t表示出来关键是高，可以用AP和A的正弦值来求AP的长可以用ABBP求得，而sinA就是BC：AB的值，因此表示出AQ和AQ边上的高后，就可以得出y与t的函数关系式（3）如果将三角形ABC的周长和面积平分，那么AP+AQ=BP+BC+CQ，那么可以用t表示出CQ，AQ，AP，BP的长，那么可以求出此时t的值，我们可将t的值代入（2）的面积与t的关系式中，求出此时面积是多少，然后看看面积是否是三角形ABC面积的一半，从而判断出是否存在这一时刻（4）我们可通过构建相似三角形来求解过点P作PMAC于M，PNBC于N，那么PNCM就是个矩形，解题思路：通过三角形BPN和三角形ABC相似，得出关于BP，PN，AB，AC的比例关系，即可用t表示出PN的长，也就表示出了MC的长，要想使四边形PQPC是菱形，PQ=PC，根据等腰三角形三线合一的特点，QM=MC，这样有用t表示出的AQ，QM，MC三条线段和AC的长，就可以根据AC=AQ+QM+MC来求出t的值求出了t就可以得出QM，CM和PM的长，也就能求出菱形的边长了解答：解：（1）在RtABC中，AB=，由题意知：AP=5t，AQ=2t，若PQBC，则APQABC，=，=，t=所以当t=时，PQBC（2）过点P作PHAC于HAPHABC，=，=，PH=3t，y=AQPH=2t（3t）=t2+3t（3）若PQ把ABC周长平分，则AP+AQ=BP+BC+CQ（5t）+2t=t+3+（42t），解得t=1若PQ把ABC面积平分，则SAPQ=SABC，即+3t=3t=1代入上面方程不成立，不存在这一时刻t，使线段PQ把RtACB的周长和面积同时平分（4）过点P作PMAC于M，PNBC于N，若四边形PQPC是菱形，那么PQ=PCPMAC于M，QM=CMPNBC于N，易知PBNABC=，=，PN=，QM=CM=，t+t+2t=4，解得：t=当t=s时，四边形PQPC是菱形此时PM=3t=cm，CM=t=cm，在RtPMC中，PC=cm，菱形PQPC边长为cm点评：本题图形结合的动态题，是近几年考试热点，同时考查三角形相似知识，是一道很好的综合题本题亮点是巧妙结合图形综合考查不同知识点6（2006青岛）如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，C=90，EG=4cm，EGF=90，O是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2）（不考虑点P与G、F重合的情况）（1）当x为何值时，OPAC；（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为13：24？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由（参考数据：1142=12996，1152=13225，1162=13456或4.42=19.36，4.52=20.25，4.62=21.16）考点：相似形综合题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）由于O是EF中点，因此当P为FG中点时，OPEGAC，据此可求出x的值（2）由于四边形AHPO形状不规则，可根据三角形AFH和三角形OPF的面积差来得出四边形AHPO的面积三角形AHF中，AH的长可用AF的长和FAH的余弦值求出，同理可求出FH的表达式（也可用相似三角形来得出AH、FH的长）三角形OFP中，可过O作ODFP于D，PF的长易知，而OD的长，可根据OF的长和FOD的余弦值得出由此可求得y、x的函数关系式（3）先求出三角形ABC和四边形OAH