定积分的基本公式.ppt

第二节 一 积分上限函数及其导数 二 牛顿 莱布尼兹公式 定积分的基本公式 第五章 定积分 机动目录上页下页返回结束 本节的教学要求 理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理掌握牛顿 莱布尼茨公式 重点 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 机动目录上页下页返回结束 一 变上限函数及其导数 考察定积分 设f x 在 a b 上可积 任取一点 变上限函数 如果上限x在区间 a b 上任意变动 每一个取定的x值 则对于 定积分有一个对应值 所以它 在 a b 上定义了一个函数 记为 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 一定要分清函数的 自变量x 积分变量t 与 这个函数的几何意义 是如图红色部分的面积 函数 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 则变上限函数 在 a b 上可导 且它的导数 定积分的基本公式 微积分的基本定理 机动目录上页下页返回结束 系 因此区间 a b 上连续函数f x 的不定积 定理指出 函数 就是f x 的一个原函数 1 连续函数f x 一定有原函数 分可以用定积分形式表示 即 2 初步揭示了积分学中定积分与原函数的联 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 例1 设 求 解由定理知 例2 设 求 定积分的基本公式 解由定理知 例3 设 求 机动目录上页下页返回结束 例4 设 求 解因为 所以 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 例5 求 解令 则有 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 定积分的基本公式 例6 求 机动目录上页下页返回结束 例7求 解 型未定式 由洛必达法则得 这是 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 定积分的基本公式 例8 求 机动目录上页下页返回结束 解 由 有 令 得驻点 由极值第二充分条件知 是极值点 极小值为 定积分的基本公式 课堂练习 2 求 原式 解 1 求 解 原式 机动目录上页下页返回结束 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 三 牛顿 莱布尼茨公式 定理 一个原函数 则 牛顿 Newton 莱布尼茨 Leibniz 公式 微积分基本公式 在区间上的 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 微积分基本公式表明 求定积分问题转化为求原函数的问题 一个连续函数在区间 a b 上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间 a b 上的增量 定积分的基本公式 例计算 机动目录上页下页返回结束 解 例求 定积分的基本公式 求 机动目录上页下页返回结束 定积分的基本公式 例 例求定积分 解 由定积分的区间可加性 机动目录上页下页返回结束 定积分的基本公式 机动目录上页下页返回结束 面积 解 平面图形的面积 所围成的 例 定积分的基本公式 解 求 求 1 2 解 原式 原式 机动目录上页下页返回结束 定积分的基本公式 练习 例汽车以每小时36km的速度行驶 机动目录上页下页返回结束 到某处需要减 速停车 设汽车以等加速度 刹车 问从开 始刹车到停车走了多少距离 解设开始刹车时刻为 则此时刻汽车速度 刹车后汽车减速行驶 其速度为 当汽车停住时 即 得 故在这段时间内汽车所走的距离为 定积分的基本公式 内容小结 机动目录上页下页返回结束 2 微积分基本公式 则有 积分中值定理 微