几种常用的梯形辅助线方法2.doc

几种常用的梯形辅助线方法在解（证）有关梯形的问题时，常常要添作辅助线，把梯形问题转化为三角形或平行四边形问题。本文举例谈谈梯形中的常用辅助线，以帮助同学们更好地理解和运用一、平移法（1）梯形内平移一腰(过一顶点做腰的平行线)例1如图，在等腰梯形ABCD中，ADBC，ABCD，C60，AD15cm，BC49cm，求CD的长解：过D作DEAB交BC于E，则四边形ABED为平行四边形ADBE15cm，ABDEECBCBEBCAD491534cm又ABCD， DECD又C60，CDE是等边三角形，即CDEC34cm（2）梯形外平移一腰(过一顶点做腰的平行线)例2如图,在梯形ABCD中，ABCD，四边形ACED是平行四边形，延长DC交BE于F. 求证：EF=FB 证明：过点B作BGAD,交DC的延长线于G四边形ABGD是平行四边形 AD=BGACED中，ADCE AD=CECEBG且CE=BG CEF=GBF又CFE=GFB ECFBGF( ASA)EF=FB点评：过梯形上底或下底的一个端点作另一腰的平行线，可将梯形转化为一个平行四边形和三角形。（3）梯形内平移两腰：利用梯形中的某个特殊点，过此点作两腰的平行线，把两腰转化到同一个三角形中。例3如图，已知：梯形ABCD中，ADBC，C+B=90，M，N分别是AD，BC的中点 求证：MN证明：过点E分别作AB、CD的平行线，交BC于点G、H , 则四边形ABGE,EDCH为平行四边形 AE=BG，ED=HC ABEG B=EGF又DCEH C=EHF则EGHEHG=BC=90，EGH是直角三角形E、F分别是AD、BC的中点 AE=ED，BF=CF GF=FH则有EF=(BC-BG-HC)=(BC-AD)（4）平移对角线(过一顶点做对角线的平行线）例4求证：对角线相等的梯形是等腰梯形已知：在梯形ABCD中，ADBC，对角线AC=BD 求证：AB=DC证明：过点D作DEAC交BC的延长线于点E则四边形ACED是平行四边形 AC=DE DE=AC=DB DBC=E ACB=E DBC=ACB又BD=CA BC=CB ABCDCB(SAS) AB=DC 点评：过梯形的一个顶点作对角线的平行线，将对角线的有关条件转化到一个三角形中。二、延长两腰交于一点，可使梯形转化为三角形例5如图，在梯形ABCD中，AD/BC，B=50，C=80，AD=2，BC=5，求CD的长。解：延长BA、CD交于点E在BCE中，B=50，C=80E=50 BC=EC=5又AD/BC EAD =B=50 AD=ED=2CD=EC-ED=5-2=3三、作梯形的高（1）作一条高，从底边的一个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为直角三角形或矩形例6如图，在直角梯形ABCD中，AB/DC，ABC=90，AB=2DC，对角线ACBD，垂足为F，过点F作EF/AB，交AD于点E求证：四边形ABFE是等腰梯形证明：过点D作DGAB于点G，则易知四边形DGBC是矩形，所以DC=BGAB=2DCAG=GBDA=DBDAB=DBA又EF/AB四边形ABFE是等腰梯形。（2）作两条高：从同一底边的两个端点作另一条底边的垂线，把梯形转化为两个直角三角形和一个矩形例7如图，在梯形ABCD中，DCAB，AD=BC，若AD=5，CD=2，AB=8,求梯形ABCD的面积。解：过点D、C分别作DEAB于E，CFAB于F.DCAB, DEAB,CFAB四边形CDEF是矩形 DC=EF，DE=CF易证ADEDCF(HL) AE=BFAE=(AB-EF)=(AB-CD)=3 DE=四、构造全等三角形（1）连接梯形一顶点及一腰的中点例8(梯形中位线的性质)如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：MNADBC， 证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点EAD/BC， D=DCE易证ADNECN(ASA) AN=EN，AD=CE又AM=MB EFAD / BC(三角形中位线性质)（2）过一腰的中点作另一腰的平行线例9(梯形的中位线性质)如图，已知在梯形ABCD中，AD/BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：MNADBC， 证明：过F作AB的平行线，交AD的延长线于点N，交BC于M则四边形ANMB为平行四边形 AN=BM ，AB=MN，AB/NMAD/BC， N=CMF易证DNFCMF(ASA)DN=CM，DF=CF又AE=EB AE=NF且AE/NF 四边形AEFN为平行四边形EFAD / BC EF=AN=BM五、中位线法（1）已知梯形一腰中点，作梯形的中位线例10如图，在梯形ABCD中，AB/DC，O是BC的中点，AOD=90，求证：ABCD=AD证明：取AD的中点E，连接OE，则易知OE是梯形ABCD的中位线OE=（ABCD）在AOD中，AOD=90，AE=DE ABCD=AD点评：已知梯形一腰中点，作梯形的中位线，既可轻松解决计算问题，也可以在证明中将梯形转化为三角形。（2）已知梯形两条对角线的中点，连接梯形一顶点与一条对角线中点，并延长与底边相交，使问题转化为三角形中位线例11如图，在梯形ABCD中，AD/BC，E、F分别是BD、AC的中点，求证：（1）EF/AD；（2）证明：连接DF，并延长交BC于点G，易证AFDCFG（ASA）则AD=CG，DF=GFDE=BE，EF是BDG的中位线EF/BG且又AD/BG，BG=BC-CG=BC-ADEF/AD，EF六、作对角线，使梯形转化为三角形例12如图，在直角梯形ABCD中，AD/BC，ABAD，BC=CD，BECD于点E，求证：AD=DE证明：连结BDAD/BC ADB=DBE又BC=CD DBC=BDC ADB=BDE又B