2004年上海市初中数学竞赛试卷填空第10题的多种解法.pdf

2002 上海市高中数学竞赛第九题的多种解法上海市高中数学竞赛第九题的多种解法 2002 上海市高中数学竞赛上海市高中数学竞赛 9 2004 初中数学联赛初中数学联赛 10 ABC 中 中 B C 点 点 P Q 分别在分别在 AC AB 上 且上 且 AP PQ QB BC 求 求 A 的大小 的大小 解法 1 在 AC 上取点 D 连结 QD BD 使 QD PQ 设 A x 则 AQP x QPD 2 x QD PQ QDP 2 x BQD 3x PQ QB QD QB QDB 90 1 5x BDC 180 2 x 90 3 2 x 90 1 2 x 又在 ABC 中 C 90 1 2 x BDC C BD DC QB BC QB BD QD BQD 3x 60 x 20 即 A 20 解法 2 过 P 作 PD AB 过 B 作 BD PQ PD 和 BD 相交于 点 D 连 CD PD AB BD PQ 又 PQ QB 四边形 PQBD 是菱形 BD PQ QB PD 设 A x 则 AQP x PD AB DPC A x 又 AB AC AP QB AQ PC 在 APQ 与 PDC 中 AP PD AQ PC A DPC APQ PDC DC PQ PQA DCP x DC BD BC DCB 60 又在 ABC 中 ACB 90 1 2 x 90 1 2 x 60 x x 20 即 A 20 D P Q C A B D P Q CB A 解法 3 因为 AQ PC 所以可以将等腰三角形 APQ 剪 下拼到 PC 上 则 PM MC AP PQ MCP MPC A PQA 连结 QM MCP A MC AB 又 MC QB 四边形 MCBQ 是平行四边形 BC QM 从而 PQ QM PM QPM 60 而 QPC 2 A MPC A QPM 3 A 3 A 60 A 20 解法 4 因为 AP QB 所以可以将等腰三角形 APQ 剪下拼到 QB 上 则 QB MQ AP PQ MB AQ MBQ QMB A PQA 连结 MP AQ PC MB PC 又 QBM A BM PC 四边形 MBCP 是平行四边形 BC PM 从而 PM MQ PQ MQP 60 MQA MBQ QMB 2 A AQP A MQP 3 A 3 A 60 A 20 M P Q CB A M P Q C B A 解法 5 过 B 作 BD 平分 QBC 交 AC 于 D 连结 QD BD 平分 QBC QBD DBC 又 QB BC BD BD QBD DBC QDB CDB BQD C 设 A x 则 AQP x BQD C 90 1 2 x PQD 180 x 90 1 2 x 90 1 2 x PQD BQD 又 QB QP QD QD QBD QPD QDB PDQ QDB PDQ BDC 60 90 1 2 x 45 1 4 x 60 180 x 20 即 A 20 解法 6 设 AP PQ QB BC a AQ PC b A 则 1 cos sin 222 AEbCDa APaACab b1a cos b 2acos sin 2a22 a b 由得代入得 1a1 sin 22 a 2acos2 1 2cos 3 6sin 8sin 1 22 331 2sin 1 sin 222 33 30 150 22 舍去 A 20 P D Q C B A b a a b E D P Q C B A 解法 7 连结 PB 设 A 则 AQP PQ QB AQP QBP QPB QBP QPB 2 而 QPC 2 BPC 3 2 ABC 90 2 PBC 90 在 APQ 中 sinsin 1802sin2 abb 在 PBC 中 3 sin 90 sin 2 ab 两式相比