矢量代数基础.ppt

欢迎光临 理论力学 易丽清 Email yilq Telyilqnew 密码 yiliqing 理论力学 矢量代数基础 1 矢量的概念 矢量用粗斜体字母a F v 表示 在图中表示为一有向线段 量度单位确定之后 仅用数的大小就可以完全表示的量称为标量 标量 具有大小和方向 并遵从一定运算规则的量称为矢量 矢量 矢量的大小称为它的模 表示为 a 或a 模等于1的矢量称为单位矢量 模等于零的矢量称为零矢量 表示为0 在此情况下 无所谓它的方向 零矢量 单位矢量 自由矢量与约束矢量 约束矢量是具有某些附加限制的矢量 包括定位矢量和滑动矢量 定位矢量 矢量的作用点为一确定位置 滑动矢量 矢量的作用点可以沿矢量的作用线自由滑动 自由矢量与约束矢量 2 矢量的加减法 矢量相等 指两个矢量的大小和方向完全相同 记为a b矢量相加 c a b遵从平行四边形法则或三角形法则 矢量相加的多边形法则AR Ai AR Ai A1 A2 A1 A2 A3 矢量相减归结为加法运算 矢量的加法满足交换律和结合律 即a b b aa b c a b c c a b a b 矢量的数乘 实数 与矢量a的乘积仍为矢量b a其中 b a 0b与a同向 0b与a方向相反 矢量的数乘满足分配律 任意矢量可表示为其模与同方向单位矢量的乘积 A A A A AeA式中eA为A方向的单位矢量 eA A A a b a b 3 矢量的分解 平面矢量的分解设A1和A2是平面内任意两个线性无关 不共线 的矢量 则平面上任意矢量可表示为 B 1A1 2A2 正交分解B Bx By式中Bx By 空间矢量的分解设A1 A2 A3彼此线性无关 三矢量不共面 且其中任意两个矢量均不共线 则任意矢量B可表示为B 1A1 2A2 3A3 正交分解B Bx By Bz式中Bx By Bz相互正交 4 矢量的标积与矢量在轴上的投影 矢量A与B的标积也称为A与B的点乘 定义为A B A B cos A B 显然 矢量的标积是一个代数量 关于点乘的下列运算规律可由直接计算导出 A B B A A B C A B A C A B A B A B A A A BA B 0 矢量在某轴上的投影 设轴N上的单位矢量为en 则矢量A在轴N上的投影为An A en A cos A en 注意矢量在轴上的投影An是一个代数量 正负号取决于A与en之间的夹角 矢量A在轴B上的投影 AB A eB A cos A eB AB A eB Acos cos eA eB 任意两个矢量A与B之间的夹角 A B A B cos A B 2020 3 17 19 可编辑 合矢量投影定理 设AR Ai 用轴N上的单位矢量en点乘上式两边得en AR en Ai en Ai因此ARn Ain上式表明 合矢量在某轴上的投影等于各分矢量在同一轴上的投影的代数合 这一结论称为合矢量投影定理 5 矢量的矢积 叉乘 矢量A与B的矢积为一矢量 记作C A B其定义为大小 C A B sin A B 方向C A与B所决定的平面指向由右手螺旋决定 换句话说A B C组成右手系 矢积的几何意义 关于叉乘的运算规律A A 0A B C A B A C A B A B A B A B B AA与B共线A B 0 B A A B A B 约束矢量对点的矩作用于点P的定位矢量A对空间任意固定点O之矩定义为MO A r A式中r为矢量A的作用点P相对于定点O的矢径 注意到当矢量A沿其作用线PQ滑动时 并不影响矩MO A 的大小和方向 故上述定义对滑动矢量同样是有效的 6 矢量的混合积 矢量A B C的混合积 A B C为标量 其绝对值等于以A B C为棱边的平行六面体的体积 h 轮换公式A B C B C A C A B 此外 显然有 A B C共面A B C 0 7 基矢量 沿空间直角坐标系Oxyz各坐标轴正向的单位矢量ex ey ez称为基矢量 有时也用i j k表示基矢量 ex ex ey ey ez ez 1ex ey ey ez ez ex 0ex ex ey ey ez ez 0ex ey ez ey ez ex ez ex ey以上结果可由直接计算得出 基矢量的正交性 8 矢量的解析表达式 任意矢量可表示成基矢量的线性组合A Axex Ayey Azez式中Ax Ay Az分别为矢量A沿各坐轴的投影 Ax ex AAy ey AAz ez A 问题 分量Ax与投影Ax的区别是什么 矢量代数运算的投影表达式设A Axex Ayey AzezB Bxex Byey Bzez基本运算A B Ax Bx ex Ay By ey Az Bz ezA B AxBx AyBy AzBzA B 合矢量投影定理若AR Ai 则ARx Aix ARy Aiy ARz Aiz混合积的投影表达式A B C 习题 1 1求矢量A 2i j k B i j 2k C 3i 2j 4k之和的方向上的单位矢量 1 2若A 2i 3j 5k B 3i j 2k 计算 A B A B 1 3若A 2i 3j 5k B 3i yj 2k 试求使A B的y 1 4若A 2i j k B i 2j 2k C 3i 4j 2k 求A C在B方向的投影 1 5一个三角形的三个顶点在A 2 3 1 B 1 1 2 C 1 2 3 求从点B引向边AC的中线的长度 以及此中线与边BC的夹角 1 6若矢量A 2i j k B i 2j 3k 求 2A B A 2B 1 7求与矢量A 3i 2j 4k和B i j 2k所在平面垂直的单位矢量 1 8求三个顶点在A 2 3 1 B 1 1 2 C 1 2 3 的三角形的面积 1 9求点 3 2 1 到由点 1 1 0 3 1 1 1 0 2 所确定的平面的最短距离 1 10若A 2i j 3k B i 2j k C i j 4k 求 a A B C b C A B c A B C d A B C 答案1 1 6i 2j 7k