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1 不等关系与不等式不等关系与不等式 练习题练习题 一 选择题 1 已知 ab 不等式 22 ab 11 ab 11 aba 能成立的个数是 A 0B 1C 2D 3 2 对 a b c 是不全相等的正数 给出下列判断 a b 2 b c 2 c a 2 0 a b 与 a b 及 a c 中至少有一个成立 a c b c a b 不能同时成立 其中判断正确的个数为 A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个 3 若 a b b a 1 2均不能成立 D 不等式 1 1 ba 和 a a 1 2 b b 1 2均不能成立 4 如果ba 0且0 ba 那么以下不等式正确的个数是 ba 11 ba 11 33 abba 23 aba 32 bba A 2B 3C 4D 5 5 已知 a 0 1 b ab2 abB ab ab2 aC ab2 a abD ab2 ab a 6 设 a b c d R 且 a b c d 则下列结论中正确的是 A a c b dB a c b d C ac bdD c b d a 二 填空题 7 b 克糖水中有 a 克糖 b a 0 若再加入 m 克糖 m 0 则糖水更甜了 试根据这 个事实写出一个不等式 8 设 a b 是两个实数 给出下列条件 a b 1 a b 2 a b 2 a 2 b 2 2 ab 1 2 其中能推出 a b 中至少有一个实数大于 1 的条件是 9 已知 25 Axx 121 Bx mxm 满足BA 则实数m的范围 是 10 已知acba b cR 给出下列不等式 cba cba cba cba cba 其中一定成 立的不等式是 注 把成立的不等式的序号都填上 三 解答题 11 设ba 为实数 求证 2 22 2 1 4 11baba 12 若二次函数 y f x 的图象经过原点 且 1 f 1 2 3 f 1 4 求 f 2 的范围 13 若 a 0 b 0 a3 b3 2 求证ba 2 ab 1 14 已知正项数列 an 满足 a1 P 0 P 1 且 n n n a a a 1 1 I 求数列的通项 an II 求证 1 1432 321 n aaaa n 3 答案与解析 A 组 1 答案 选 A 提示 对 当 a b 为负时不成立 对 只有 a b 同号时才成立 11 aba b a ab 因为 b 的符号不确定 故不成立 2 答案 选 C 对 只有abc 时才成立 故正确 对 假设都不成立 则由a b与 a b可知ab 又ac 也不成立 即ac 故三个数都相等 假设不成立 正确 3 答案 B 解析 b0 a b a 又 a b 0 a 0 aba 11 故 aba 11 不成立 a b b 1 1 ba 故 1 1 ba 不成立 由此可选 B 另外 A 中 ba 11 成立 C 与 D 中 a b 1 2 b a 1 2成立 其证明如下 a b 0 ab 11 0 a b 1 b a 1 b a 1 故 a b 1 2 b a 1 2 4 答案 选 B 由ba 0知 错 正确 33 0a babab abab 故 正 确 32 0aaba abab 故 不正确 23 0a bbb abab 故 正确 5 答案 选 A 提示 特殊值 1 1 2 ab 验证可得 6 答案 A 解析 a b c d a c b d 7 答案 mb ma b a 提示 0 m baama bmbb bm 8 答案 提示 当 12 23 ab 时 不满足 当1ab 时 不满足 当2 3ab 时 与 不满足 9 答案 3m 提示 当121mm 即2m 时 B 为空集 显然成立 当 B 不为 4 空集时 有 3 3 m m 综上 m 的范围为3m 10 答案 解析 ba ba ba ba ba ba 这是绝对值不等式的重要性质 必须熟练地掌握 cbacbcbaccba 是正确的 ba ba c a cb 正确 令3 a 1 b 4 c 满足条件 但4 3 13 cba 2 3 1 3 cba不能成立 是错误的 11 证 要证明原不等式成立 则只要证 4 2 1 2 1 1 211 22 2222 abbababa 只要证 abba 1 1 1 22 若01 ab 上式显然成立 从而原不等式成立 若 1 ab 0 则只要证 222222 211baabbaba 只要证 0 2 ba 上式显然成立 从而原不等式成立 12 解解 又 f 2 4a 2b 3f 1 f 1 而 1 f 1 2 3 f 1 4 所以3 3f 1 6 得 4 3f 1 f 1 10 即 6 f 2 10 13 证法证法 1 作差比较法 a 0 b 0 a3 b3 2 33 2 ba a3 b3 ba23 3ab2 8 633 22 abba 3 2 baab 3 33 babaab 3 2 baba 0 即 3 ba 23 又 0 ba ba 2 ab2 ba 2 ab 1 证法证法 2 适当配凑 综合法 5 a 0 b 0 a3 b3 2 2 a3 b3 22 abbaba 2 ababba bab 6 3baab 8 2 3 baab 3a2b 3ab2 a3 b3 3 ba ba 2 以下略 14 解 1 由已知得 an 1an an an 1 1 1 1 1 11 1 11 1 1 p n an pa pa aa n n n