北京大学2018年博雅计划数学真题.doc

北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。1. 设n为正整数，为组合数，则等于（ ）A. B. 2018！ C. D. 前三个答案都不对【答案】D解析： ，故选D。2. 设a，b，c为非负实数，满足a+b+c=3，则a+ab+abc的最大值为（ ）A. 3 B. 4 C. D. 前三个答案都不对【答案】B解析：，对其求导得到时取最大值为4。3. 一个正整数称为具有3-因数积性质若n的所有正因数的乘积等于，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55 B. 50 C. 51 D. 前三个答案都不对【答案】C解析：设的所有正因数的乘积为T，即。显然符合题意；下面证明当时，正整数的质因数的个数最多为2：假设的质因数的个数大于或等于3，即的全部质因数为，并设，则的所有正因数的乘积中，至少在这些因子中出现，即出现的次数大于或等于4，这样T，这与题意矛盾，所以假设不成立，即的质因数的个数最多为2。若只有一个质因数，设，则，此时只有质数满足；若有两个质因数，设，此时，解得，即：取2时有24个取值，取3时有13个取值，取5时有5个取值，取7时有3个取值，取11时有2个取值，取13时有1个取值；综上，所求总个数=1+2+24+13+5+3+2+1=51个。4. 已知复数，则的最小值为（ ）A. 2B. C. D. 前三个答案都不对【答案】B解析：，取等条件为：。5. 设A是不超过2018的正整数组成的集合，对于正整数k，用表示所有可能的A中k个数乘积的倒数之和，则的值为（ ）A. 1B. C. D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：，两式相加即得。6. 已知实数a,b,c成公差非0的等差数列，在平面直角坐标系中，点P 的坐标为（-3，2），点N的坐标为（2，3），过点P作直线ax+by+c=0的垂线，垂足为点M，则M,N间的距离的最大值与最小值的乘积是（ ）A. 10B. C. D. 前三个答案都不对【答案】A解析：由等差中项性质得，可见直线ax+by+c=0过定点，设垂足，则，即点M在圆T：上，点N到圆心T的距离，所以。7. 设是4036个实数，互异，满足对任意的都有=2018，则对任意的的值为（ ）A. 2018 B. -2018 C. 不能确定 D. 前三个答案都不对【答案】B解析：由恒成立可得：，上式两边令即得。8. 用x表示不超过实数x的最大整数，例如=3,-= -4. 设n为正整数，用表示当时，函数的值域中的元素的个数，则使得最小的n的取值为（ ）A. 63 B. 1009 C. 2018 D. 前三个答案都不对【答案】A解析：令，当时；时，则，有k个取值；，所以，当时最小，而，故n=64时最小，选D。9. 已知的面积为1，D,E 分别为边BC,CA上的点，且,AD和BE交于点P，则四边形PDCE的面积是（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对【答案】B解析： ，又。比较两式得，所以。10. 设实数x,y满足，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对【答案】C解析：表示椭圆上动点到定点与定点的距离之和，F为椭圆右焦点，设左焦点为，则。11. 设关于的方程有3个互不相同的实根，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对【答案】D解析：，要使原方程有三个互不相等实根，则或，解得，故选D。12. 把正整数中的非完全平方数从小到大排成一个数列，例如，则的值为（ ）A. 2061 B. 2062 C. 2063 D. 前三个答案都不对【答案】C解析：，即小于2018的数中共有44个完全平方数，所以，（2025是完全平方数，不在该数列中）。13. 15人围坐在圆桌旁，从中选出4人使得其中任意两人都不相邻的选法数为（ ）A. 1820 B. 450 C. 360 D. 前三个答案都不对【答案】B解析：从15人中任选4人的方法总数为：若选出的4个人刚好顺序相邻，情况种数=15；若选出的4人中有3人顺序相邻，其余1人与他们隔开，情况种数=；若选出的4人可分成两两一组，其中每组内部两人相邻，但整体两组不相邻，情况种数=；若选出的4人中只有两人相邻，其他两人跟他们彼此不相邻，情况种数=。综上，所求4人使得其中任意两人都不相邻的选法数=。14. 从不超过2018的正整数中任取3个数使得不包含两个连续的数，则这样的取法种数是（其中表示组合数）（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对【答案】A解析：从2018个数中任取3个数的方法总数为：若取出的三个数均相邻，情况数=2016；若取出的三个数只有两个数相邻，情况数=；综上，所求方法种数=。15. 设集合S中有10个元素，从S中每次随机选取1个元素，取出后还放回S中，则取5次后出现重复元素的概率是（保留两位有效数字）（ ）A. 0.50 B. 0.55 C. 0.70D. 前三个答案都不对【答案】C解析：由加法原理和乘法原理，因而答案选C。16. 立方体中， 为的中点，为的中点，则异面直线与的夹角余弦值是（ ）A. B. C. D. 前三个答案都不对【答案】B解析：如图，易知，故所求余弦值等于，设立方体棱长为1，则，在三角形中，由余弦定理易得。17. 有多少个正整数n满足.( )A. 0B. 1 C. 无穷多个 D. 前三个答案都不对【答案】A解析：运用等差角求和公式，在式子上下同乘，然后积化和差得到：下面需要对这个式子就行估算，注意到0.707，即，而上式左边不超过1，所以不存在使得原式成立。18. 的最小值所属区间为（ ）A. 10,11 B.(11,12 C. (12,13 D. 前三个答案都不对【答案】C解析：首先观察原式代数结构特点，易知取最小值时，可先固定，即把视为常数，看做变量，此时为常量，表示轴上一动点P到定点A与定点B距离之和，显然，当且仅当A，P，B三点共线时取等；，问题进而转化为轴上动点到定点C与定点D距离之和，显然，当且仅当C、D、三点共线时，即取等；进一步往回带可得动点P坐标为。综上，当时，最小值为13，故选C。19. 方程的实根个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3D. 前三个答案都不对【答案】D解析：注意到为定值，故可设，则，原方程等价于：，又，所以，由韦达定理解得，进而，解得，原方程实根个数为4，故选D。20. 表示边长为整数，周长为n的两两不全等的三角形的个数，则的值为（ ）A. 3 B. 0 C. -3D. 前三个答案都不对【答案】B解析：首先证明中不含边长为