分形几何与混沌ppt.ppt

分形蕨草混沌蝴蝶 由一棵分形树想到的 第一部分 分形蕨草 1985年的某一天 世界上第一棵巴恩斯利蕨 Barnsleyfern 从美国佐治亚理工学院的巴恩斯利教授手中诞生了 与此同时 他成为了第一个提出迭代函数系统 IFS 简称迭代函数系 的人 他实际上研究的是如何利用自相似性把描绘自然景观的信息进行大幅压缩 基本思路是以一些运算规则为基础 把原始图形 生成元 进行收缩 旋转 平移等收敛性的仿射变换 affinetransformations 最终形成具有自相似的分形结构的极限图形 该集就被称为IFS 为了生成植物的形状 巴恩斯利教授把两种运算规则相结合 确定性算法与随机性算法 一方面他规定了一组N个确定的仿射变换 记为R 1 R 2 R 3 R N 每次迭代的规则都必定来源于组内 另一方面 具体每次迭代哪一个规则是随机决定的 运算时 每个规则R i被选中的可能性记为P i 每次随机地从R i i 1 N 中挑选一个迭代规则迭代一次 然后再随机地在R i i 1 N 中选一个规则迭代一次 不断重复 最后生成一张类似植物形态的极限图形 如图 这是在网上找的标准图样 按照以上思路 我编写了如下程序 按照运行结果 一万个点组成的图像如下 可以发现蕨叶已经具体而微了 进一步增加到50万个点 所得图像如下 另一方面 改变x y对应的变换公式中的参数 可以得到形态各异的分形树 当然也有可能得到的不是树 IFS是什么 使用随机算法有什么优势 IFS 迭代函数系统 IteratedFunctionSystem IFS是构造分形图形的重要方法之一 为计算机模拟一些自然景物提供了一个有力的工具 特别是利用带有概率的IFS绘制分形图形 与单纯递归算法相比 不仅实现代码简单 而且降低了对计算机硬件的要求 1985年美国佐治亚学院的M FBaransley首先应用一组变换族模拟自然景物IFS 基本思想是 分形具有局部与整体的自相似性 也就是说局部是整体的一个复制品 只是在大小 位置和方向上有所不同而已 而数学中的变换是一种线性变换 正好具有把图形放大 缩小 旋转和平移和性质 因此 产生一个复制品的过程相当于对图形做一次压缩变换 于是从原则上说 任何图形都可以用一组压缩变换来描述或生成 什么是分形 分形难下确切的定义 分形的原意是 不规则的 分数的 支离破碎的 故又可称为 碎形 分形是研究自然和社会中广泛存在的零碎而复杂 无序 不规则 非线性 不光滑 具有自相似 自仿射和标度不变性的复杂系统 图形 构造 功能 性质和复杂现象 及隐藏在这些复杂现象背后的 具有精细结构 内在随机性 局部与整体本质联系的 被传统线性科学 物理 欧氏几何学 排斥在外的不规则 病态 不可微的事体 形体 在尺度变换 放大 缩小 下具有 自相似性 和 标度不变性 无特征长度 的 从有限认识无限的特殊规律的科学 即其组成部分 局部 以某种方式 结构 信息 功能等广义分形 与整体相似的形体 事物 或现象 或在多个层次上 适当地放大或缩小其几何尺寸 其局部与整体的整个精细结构 形态 性质等不因此而发生改变 统计 的形体 体系 分形是整体与局部在某种意义下 大小尺度之间的对称性与统一性的集合 是非线性变换下的不变性 是整体观 统一观 共性观 非二分法的产物 是有规则的不规则性 分形是没有特征长度 但具有一定意义 广义 下的自相似图形 结构 性质和形态的总称 分形特征 大自然中的山 树 云 海岸线都可以看成是分形 一般地说 分形具有以下一些特征 该集合具有精细的结构 即有任意小比例的细节 无限可分性 该集合整体与局部间有某种自相似性 分形集合的分形维数一般不是整数 而是分数 且一般大于它的拓扑维数 分形集合是如此的不规则 以至它的整体与局部都不能用传统的几何语言来描述 在大多数情况下 分形集合可以以非常简单的方法来定义 可能由迭代产生 通常有某种自相似的形式 可能是近似的或是统计的 为什么会分形 一般认为非线性 随机性 以及耗散性是出现分形结构的必要物理条件 非线性是指运动方程中含有非线性项 迭代 状态演化 相空间轨迹 发生分支 是混沌的根本原因 随机性分为两大类 即噪声热运动和混沌 它们反映了系统的内在随机性 而随机性系统未必就是完全无序的 耗散性强调开放性 研究熵变的过程和机制 即传统的无序熵增过程 及未来的有序熵减过程 宇宙的 有序与无序 物质与能量与信息的相互转换的两大循环 系统产生分形结构的充分条件是 吸引子 Attractor 不严格地说 一个吸引子就是一个集合 并且使得附近的所有轨道都收敛到这个集合上 非线性耗散系统能产生无规运动 耗散系统的无规运动 最终会成为趋向吸引子的无规运动 而无规运动的吸引子 结果 便是相间的分形结构 奇怪吸引子的产生必须以系统发生的失稳为前提 如对称破缺等 涨落形成波动 具有周期性的波动 单个周期是简单有序 周期3便是混乱 混沌 分形学看上去很美 但它真的有用吗 1 模拟模仿自己运用广泛 法国巴黎高师信息学研究生方文杰说 分形这个理论 可以让我们能更好地描述自然中的很多现象 因为自然中的现象很多都有 自相似 的现象 在这种情况下 用一般的 连续的数学是难以描述的 这个时候 分形作为一种处理自相似性的工具就能起到作用了 分形的应用是很广泛的 比如说在计算机领域 有一种图像压缩算法就叫 分形压缩 所谓分形压缩是一种有损耗的图像压缩方法 这种方法最适合具有特定质感和自然的图像 这种压缩的思想是自然的图像通常都会以某种规律 自己模仿自己 比如说 一块石头质感是由无数个小石纹组成的 如果每一个小石纹都用一组数字表示的话 会占用很多存储空间 但是这些小石纹不是完全无规律的 经过放大 会发现那些小的石纹很像大的石纹的 仿制品 这就是自然界的 分形规律 的体现 分形压缩 的思路就是抹去那些小石纹的图像 代之以通过分形计算得到的 人工石纹 它虽然不如天然石纹自然 但也可以骗过人的眼睛 因为这些人工石纹是由数学运算得到的 占用的空间较少 而且可以无限放大 用JPEG GIF和MPEG等格式压缩过的石纹放大之后会 糊 但 分形压缩 的石纹从理论上说可以无限放大 另外 分形的数学方法可以模拟很多表面的复杂形状 在高分子化学和材料领域有广泛应用 它还可以用来模拟金融交易中复杂的涨落现象 2美色图画软件流行天下 分形学最明显的应用 还是在艺术方面 上世纪80年代 以德国布来梅大学的数学家和计算机专家佩欧根 H Peotgen 与雷切特 P Richter 等为代表 在当时最先进的计算机图形工作站上制作了大量的分形图案 胡巴德 J Hubbard 等人还完成了一部名为 混沌 的计算机动画 接着 印刷着分形的画册 挂历 明信片甚至T恤衫纷纷出笼 巴恩斯利蕨 就是分形学和艺术相结合的完美例子 很多人喜欢 分形学 是因为倾心于分形之美 数学上的审美很难为一般人所理解 一大堆数字 公式 符号怎么体现出来呢 然而 计算机能让数学的某些内在的美直观呈现出来 给出其形式化的表达 而继科学家之后 越来越多的艺术家借助现成软件 漫步于分形图像的领地 对于电脑动画来讲 无论是模拟海浪还是植物的生长 分形都是不可缺少的工具 3哲学和混沌学联手 分形学的 美色 不可阻挡 很快它又和同时代的一种特别有 才 的物理学理论搭上了关系 这种理论就是混沌学 1972年12月29日 美国麻省理工学院教授 混沌学开创人之一洛伦兹在美国科学发展学会第139次会议上发表了题为 蝴蝶效应 的论文 在演讲中 他用一个比喻描述气象模型绘制出的蝴蝶形曲线 在巴西一只蝴蝶翅膀的拍打能在美国得克萨斯州产生一个龙卷风 他以此描述气候的长期预测难以精确实现 蝴蝶效应 的含义并非强调偶然性 而是强调一个多参数系统 一个参数的微小变化就会引起系统的巨大变化 1975年 也就是曼德博提出 分形 一词的那年 美国马里兰大学数学教授约克 JamesA Yorke 和研究生李天岩正式提出了 混沌学 这个名称 一般地 如果一个接近实际而没有内在随机性的模型仍然具有貌似随机的行为 就可以称这个真实物理系统是 混沌 的 吸引子 混沌学 继相对论和量子力学之后再一次深刻地改变了非科学人士的世界观 它说明即使世界的每一个局部都被清晰认识 世界仍然是不可预测的 牛顿式的决定论世界受到致命一击 一时间 蝴蝶效应 和 混沌 成为流行词汇 通过深入研究 科学家发现混沌系统虽然从局部来说不可预测 但从更大的视角来看还是有其规律的 所谓 混沌吸引子 又叫 奇异吸引子 就是规律之一 一个混沌系统存在着 混沌吸引子 这个吸引子内部的运动非常不稳定 但从外部看 它的形状是相当稳定的 而 混沌吸引子 的形状往往是分形的 也就是说它的一个小的局部很像其整体 混沌吸引子 在不稳定中有稳定 而其形状又是由无数个 小混沌吸引子 组成的 这颇让人想起老子说的 玄而又玄 众妙之门 分形学从此和混沌学联手闯天下 锐不可当 接下来 就让我们继续探究分形与混沌之间的微妙联系 请看第二部分 第二部分 混沌蝴蝶 吸引子 那是什么 分形几何主要研究吸引子在空间上的结构 它和混沌有共同的数学祖先 动力系统 如果把非线性动力系统看成是一个不稳定的发散过程 那么由迭代法生成分形吸引子正好是一个稳定的收敛过程 吸引子是微积分和系统科学论中的一个概念 一个系统有朝某个稳态发展的趋势 这个稳态就叫做吸引子 吸引子可以分为平庸吸引子和奇异吸引子 例如一个钟摆系统 它有一个平庸吸引子 这个吸引子使钟摆系统向停止晃动的稳态发展 奇异吸引子表现了混沌系统中非周期性 无序的系统状态 例如天气系统 2020 3 18 21 可编辑 让我们来直观地理解吸引子 对于吸引子 学术上并没有完善的定义 目前仅处于概念阶段 吸引子是一个数学概念 描写运动的收敛类型 简言之 吸引子是指这样的一个集合 当时间趋于无穷大时 在任何一个有界集上出发的非定向的所有轨道都趋于它 这样的集合有很复杂的几何结构 由于吸引子与混沌现象密不可分 我们还可以将吸引子分为三类 第一类是最简单的吸引子 可以称为定点吸引子或不动点吸引子 打个比方 海纳百川 大海就是百川的定点吸引子 落叶归根 树根是一个定点吸引子 热力学系统的平衡态是该系统的定点吸引子 第二类是所谓极限环吸引子 这是比较高级的吸引子 系统在远离平衡态时 经过若干分叉点之后 由于自组织作用 系统可以进入一个规则而又稳定的周期震荡状态 极限环吸引子在相空间中是一个封闭的环 它将周围的轨道吸引到这个周期性的循环之中 这两类吸引子分别描述了系统的两类不同的长期行为 周期性的重复某种运动系列 其中第二类吸引子正是普里戈金的耗散结构模型所致力于描述的 它揭示了在非线性系统中 自组织如何从无序中创造出有序结构 但是 如果系统进一步分叉 更加远离平衡态 有可能达到一种新的稳定态 即第三类吸引子 即各种环面的吸引子 这种吸引子被称为奇异吸引子或混沌吸引子 奇异吸引子代表混沌 它仍然表征着系统的稳定定态 它们并不与周期变化相对应 但是 系统从任一初始状态出发 最终都会演化到 相空间 的某一局域上 从分形到吸引子再到混沌 分形和混沌动力学之间的联系很快就被发现了 混沌的奇异吸引子都是分形 结构的复杂性使现实世界出现了大量分形几何形体 也使确定性动力学体系出现无规性 同时 分形几何学 和 分维 概念已经成为混沌学研究的重要工具 混沌与蝴蝶效应 洛伦兹用计算机求解仿真地球大气的13个方程式 意图是利用计算机的高速运算来提高长期天气预报的准确性 在一次科学计算时 洛伦兹对初始输入数据的小数点后第四位进行了四舍五入 把一个中间解0 506取出 提高精度到0 506127再送回 前后计算结果相差很大 前后结果的两条曲线相似性完全消失了 再次验算发现计算机并没有毛病 洛伦兹发现 由于误差会以指数形式增长 在这种情况下 一个微小的差值随着不断推移造成了巨大的后果 他认为 在大气运动过程中 即使各种偏差和不确定性很小 也有可能在过程中将结果积累起来 经过逐级放大 形成巨大的大气运动 于是 洛伦兹认定 他发现了新的现象 事物发展的结果 对初始条件具有极为敏感的依赖性 即对初始值的极端不稳定性 称作混沌又称蝴蝶效应 此该效应说明 初始条件的极小偏差 将会引起结果的极大差异 混沌理论 是近三十年才兴起的科学革命 它与相对论与量子力学同被列为二十世纪的最伟大发现和科学传世之作 混沌并非混乱 混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态 而产生无法预测的随机效果 所谓 差之毫厘 失之千里 正是此一现象的最佳批注 具体而言 混沌现象发生于易变动的物体或系统 该物体在行动之初极为单纯 但经过一定规则的连续变动之后 却产生始料所未及的后果 也就是混沌状态 但是此种混沌状态不同于一般杂乱无章的的混乱状况 此一混沌现象经过长期及完整分析之后 可以从中理出某种规则出来 混沌的特征 1 随机性 体系处于混沌状态是由体系内部动力学随机性产生的不规则性行为 常称之为内随机性 2 敏感性 即系统的运动轨道对初值的极度敏感性 3 分维性 混沌具有分维性质 是指系统运动轨道在相空间的几何形态可以用分维来描述 4 普适性 当系统趋于混沌时 所表现出来的特征具有普适意义 混沌与分形 你中有我 我中有你混沌中有时包容有分形 而分形中有时又孕育着混沌 分形更注重形态或几何特性 图形的描述 混沌更偏重数理的动力学及动力学与图形结合的多方位的描述和研究 特别是混沌中的分叉 分支现象与分形关系最密切 总之 目前要较详细和系统地阐明分形与混沌的关系及差异 还比较困难 还有待混沌与分形理论进一步的深入拓展 完善和趋细 第三部分 卡农的秘密 引言 音乐作品由音乐音所生成 它们在时间序列轨道与空间的序列轨道上 不断地发生发展和演化 并在基本表现手段和整体表现手段的不同层面上形成各自的轨迹 一系列音乐事件的发生发展和演化必然要经历一个过程 其中既有确定性行为 也有不确定性行为 它们时而有序时而无序 时而有规律时而无规律 从系统的观点来看 其生成发展和演化过程形成了确定性行为与不确定性行为同生共存综合体一一一个非线性动态系统 音乐作品在时间序列上表现为混沌运动一一从有序逐渐过渡到无序 这种混沌运动貌似随机 而实质上有其内在的深层的规律性 即混沌在空间序列上表现为分形一一它不断地向精细结构发展形成局部与整体的自相似性 山重水复音无数 柳暗花明曲缠声 其实 卡农的旋律与埃舍尔的瀑布有异曲同工之妙 卡农并非曲名 而是一种曲式 字面上意思是 轮唱 原意为 规律 指的是复调音乐的一种写作技法 一个声部的曲调自始至终追随着另一声部 数个声部的相同旋律依次出现 交叉进行 互相模仿 互相追逐和缠绕 而声部几乎是单调意义上的重复 直到最后 最后的一个小结 最后的一个和弦 它们会融合在一起 永不分离 缠绵至极的音乐 就像两个人生死追随 用卡农手法写成的乐曲就叫作 卡农曲 卡农 Canon 虽不像浪漫派作品那样高潮起伏 惊心动魄 但在看似反复平常的进行中 却交相共鸣出多种音色效果 平凡的韵律脉动着瞬息万变的生命力 如同天使一般让人迷醉和沉静 最广为流传的 是 D大调卡农 此曲一般的演奏法是以大提琴启奏 三把小提琴间隔八拍先后加入 小提琴全部拉奏完全相同旋律 前后仅三段不同的旋律 每段仅两小节的旋律供重复拉奏 大提琴从头到尾也仅有两小节 重复达二十八次之多 这段音乐虽然不断回旋往复 但其旋律之美不让人觉得单调 反而感觉动听悦耳 自相似让我们本能地感受到自然之美 大多数乐曲都用一个调写成 比如D大调 在这里 D起一个 基底 的作用 通常称作 主调音 随着乐曲的发展 运用了模棱两可的和弦旋律 它们都离开了主调音 渐渐地 期待形成了 你越来越渴望回复 听到主调音 这就是为什么我们在一支曲子结束时总是感到那么满足 就像全身心都在期待着听到那个主调音似的 作曲家利用和声控制听众的感情 使他们产生渴望听到协调音的愿望 音乐中混沌无处不在 乐器的音调也暗含混沌 一根弦 一个空气柱 或小到一块薄膜 通常以一个强周期的分量振荡 这一分量相当于一个基本音高 典型的是泛音 它给乐器贡献一种有特色的声音