数学人教版七年级下册8.4三元一次方程组的解法.docx

*8.4三元一次方程组的解法掌握三元一次方程组的概念和三元一次方程组的解法,并能利用它解决问题.在学习解三元一次方程组的过程中,感受消元转化的思想.培养学生类比学习、敢于创新的精神.【重点】三元一次方程组的解法.【难点】三元一次方程组的解法的选择.【教师准备】教材例1、例2演示过程图片.【学生准备】总结二元一次方程组的解法和解应用题的步骤.导入一:想一想小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币,共计22元,其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍,求1元、2元、5元纸币各多少张.教师利用投影出示问题,让学生进行讨论,怎样解决这个问题.师:怎样解决这个问题,同学们自然会想到列方程(组)的办法.老师相信大家会通过列一元一次方程、二元一次方程组来解决问题.不过老师想提出一个挑战性的问题,大家能用设三个未知数的方法解决这个问题吗?设计意图不在解决问题的方法上耗费时间,直接提出与本课时相关的学习内容,用提出“挑战”的方式激发学生的学习兴趣.一、三元一次方程组的定义过渡语(针对导入一)假如我们设三个未知数来解决这个问题,需要建立怎样的方程呢?师:为解决前面的问题,如果我们设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张,可以建立哪些方程呢?生:(思考后回答)x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.问题1怎样才能保证各个方程中的未知数取值都一样呢?(把三个方程组合在一起.这里暂时可以不用三元一次方程组的概念表达.)x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.问题2观察上面的方程组与前面所学的二元一次方程组有何不同?(方程组中含有三个未知数.)设计意图通过问题引入,引发学生的思考与讨论,激发学生的学习兴趣.在此基础上通过类比的方法引入三元一次方程组的概念.问题3什么是三元一次方程组?含有三个未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程,像这样的方程组叫做三元一次方程组.知识拓展本节常出现的错误是对三元一次方程的概念理解不准确,其表现形式有两种:一种是把“含未知数的项的次数为1”理解为“每个未知数的次数都是1”,误认为xy+z=0也是三元一次方程,另一种是遇到含有字母系数的方程时,容易忽略“未知数的系数不等于零”这个隐含条件,如三元一次方程ax+y+z=6中,a0这个条件.二、三元一次方程组的解法(1)思路提示:我们知道,二元一次方程组可以利用代入法或加减法消去一个未知数,化成一元一次方程求解.那么能不能用同样的思路,用代入法或加减法消去三元一次方程组的一个未知数,把它化成二元一次方程组呢?(2)消元过程:让我们看前面列出的三元一次方程组:x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.仿照前面学过的代入法,我们可以把分别代入,得到两个只含y,z的方程:4y+y+z=12.4y+2y+5x=22.它们组成方程组:5y+z=12,6y+5z=22.得到二元一次方程组之后,就不难求出y和z,进而可求出x.(3)思路总结:从上面的分析可以看出,解三元一次方程组的基本思路是:通过“代入”或“加减”进行消元,把“三元”化为“二元”,使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组,进而再转化为解一元一次方程.这与解二元一次方程组的思路是一样的.设计意图主要引导学生用“消元”思想去解三元一次方程组.这是类比思想的再次运用,是学生顺利实现知识迁移的必要条件.三、解方程组解三元一次方程组:3x+4z=7,2x+3y+z=9,5x- 9y+7z=8.解析方程只含x,z,因此,可以由消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程组成一个二元一次方程组.解:3+,得11x+10z=35.与组成方程组3x+4z=7,11x+10z=35.解这个方程组,得x=5,z=- 2.把x=5,z=- 2代入,得25+3y- 2=9,所以y=13.因此,这个三元一次方程组的解为x=5,y=13,z=- 2.知识拓展解三元一次方程组和解二元一次方程组的方法一样,都是消元,但是有些特殊的三元一次方程组可以用一些特殊的解法,解题时要根据各方程的特点寻求比较简单的解法.追问:你还有其他解法吗?设计意图单就例1而言,先消去哪个未知数建立新的二元一次方程组的方法是多种的,所以这个设问对启迪学生灵活解三元一次方程组是非常必要的.过渡语学会了三元一次方程组的解法,我们就可以利用三元一次方程组解决一些问题.在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.求a,b,c的值.解析把a,b,c看作三个未知数,分别把已知的x,y的值代入原等式,就可以得到一个三元一次方程组.解:根据题意,得三元一次方程组:a- b+c=0,4a+2b+c=3,25a+5b+c=60.- ,得a+b=1.- ,得4a+b=10.与组成二元一次方程组a+b=1,4a+b=10.解这个方程组,得a=3,b=- 2.把a=3b=- 2代入,得c=- 5.因此a=3,b=- 2,c=- 5.即a,b,c的值分别为3,- 2,- 5.知识拓展(1)一般地,使三元一次方程等号两边的值相等的三个未知数的值,叫做三元一次方程的解;(2)三元一次方程组的三个方程的公共解,叫做三元一次方程组的解;(3)三元一次方程组的解是三个数,要将这三个数代入方程组中的每一个方程进行检验,只有这些数满足方程组中的每一个方程,这些数才是这个方程组的解.用消元法解三元一次方程组的步骤:利用消元法消去一个未知数,得到一个二元一次方程组;解这个二元一次方程组,求得两个未知数的值;将两个未知数的值,代入原方程组中比较简单的一个方程,求得第三个未知数的值,把这三个未知数的值写在一起,就是所求三元一次方程组的解.1.以x=3,y=1,z=- 1为解建立一个三元一次方程,不正确的是()A.3x- 4y+2z=3B.13x- y+z=- 1C.x+y- z=- 2D.x2- 23y- z=156解析:将x=3,y=1,z=- 1分别代入四个选项,只有C选项的方程两边不相等.故选C.2如图所示,在第一个天平上,砝码A的质量等于砝码B加上砝码C的质量;如图所示,在第二个天平上,砝码A加上砝码B的质量等于3个砝码C的质量.请你判断:1个砝码A与个砝码C的质量相等.解析:此题可以分别设砝码A,B,C的质量是x,y,z.然后根据两个天平平衡列方程组,消去y,得到x和z之间的关系即可.设砝码A,B,C的质量是x,y,z.根据题意,得x=y+z,x+y=3z.+,得2x=4z,x=2z.即1个砝码A与2个砝码C的质量相等.故填2.3.解方程组3x+2y+z=13,x+y+2z=7,2x+3y- z=12.解:+,得5x+5y=25.+2,得5x+7y=31.与组成方程组5x+5y=25,5x+7y=31.解这个方程组,得x=2,y=3.把x=2,y=3代入,得32+23+z=13,z=1.x=2,y=3,z=1.8.4三元一次方程组的解法1.三元一次方程组的定义2.三元一次方程组的解法3.解方程组例1例2思考 通过本章的学习你会解四元一次方程组吗？谈谈你的认识一、教材作必做题】 教材第106页练习第1,2题.【选做题】教材第106页习题8.1第2题.二、课后作业【基础巩固】1.下列方程组不是三元一次方程组的是()A.x+y=12y+z=- 23y=6B.x2- 4=0x+y- z=- 3y+1=xC.x=22y=- 3z=3D.y- x=- 1x+z=32y- z=02.解方程组x+y- z=11,y+z- x=5,z+x- y=1,若要使运算简便,则消元的方法应为()A.先消去xB.先消去yC.先消去zD.以上说法都不对3.如果方程组x- y=3,y- z=4,z+x=- 3的解也是方程mx- 2y+z=0的解,那么m的值是()A.72B.- 72C.32D.- 324.已知方程组2x- y+z=5,5x+8y- z=9.则x+y的值为.5.有这样一道数学题,在等式y=ax2+bx+c中,当x=- 1时,y=4;当x=2时,y=4;当x=5时,y=22.请你列出关于a,b,c的方程组,并求出a,b,c的值.【能力提升】6.已知2x+3y=z,3x+4y=2z+6且x+y=3,则z的值为()A.9B.- 3C.12D.不确定7.为了奖励进步较大的学生,某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品,其单价分别为4元、5元、6元,购买这些钢笔需要花60元.经过协商,每种钢笔单价下降1元,结果只花了48元,那么甲种钢笔可能购买()A.11支B.9支C.7支D.4支8.如图所示,天平中放有苹果、香蕉、砝码,且两个天平都平衡,则一个苹果的质量是一个香蕉的质量的()A.43倍B.32倍C.2倍D.3倍9.为确保信息安全,信息需加密传输,发送方由明文密文(加密),接收方由密文明文(解密).已知加密规则为:明文x,y,z对应密文2x+3y,3x+4y,3z.例如:明文1,2,3对应密文8,11,9.当接收方收到密文12,17,27时,则解密得到的明文为.10.有一个三位数,其各位上的数字之和为16,十位上的数字为百位与个位上的数字之和,如果将这个三位数的个位数字和百位数字对换,那么所得到的三位数比原来的三位数大594,求这个三位数是多少.【拓展探究】11.某步行街摆放若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景.甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成.乙种盆景由10朵红花、12朵黄花搭配而成.丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成.这些盆景一共用了2900朵红花,3750朵紫花,则黄花一共用了朵.12.有甲、乙、丙三种商品,若购买甲3件,乙7件,丙1件,共需5.8元;若购买甲4件,乙10件,丙1件,共需6.3元.购买甲、乙、丙各一件共需多少元?【答案与解析】1.B(解析:含有三个未知数,含有未知数的项的次数都是1,并且一共有三个方程的方程组叫做三元一次方程组,B选项中的第一个方程x2- 4=0中未知数的次数是2,不满足条件.故选B.)2.D(解析:x+y- z=11,y+z- x=5,z+x- y=1,+可消去x,z,求出y;+可消去y,z,求出x;+可消去x,y,求出z.故选D.)3.C(解析:方程组x- y=3,y- z=4,z+x=- 3的解为x=2,y=- 1,z=- 5.将其代入方程mx- 2y+z=0得2m+2- 5=0,解得m=32.故选C.)4.2(解析:两个方程相加消去z得7x+7y=14,所以x+y=2.故填2.)5.解:根据题意,得a- b+c=4,4a+2b+c=4,25a+5b+c=22.- ,得a+b=0.- ,得4a+b=3.与组成二元一次方程组a+b=0,4a+b=3.解这个方程组,得a=1,b=- 1.把a=1,b=- 1代入,得c=2.所以a=1,b=- 1,c=2.6.B(解析:把z当成已知数,解方程组2x+3y=z,3x+4y=2z+6得x=2z+18,y=- z- 12.然后将其代入x+y=3,得2z+18+(- z- 12)=3,解得z=- 3.故选B.)7.D(解析:设甲种钢笔购买x支,乙种钢笔购买y支,丙种钢笔购买z支,根据题意得x+y+z=60- 48,4x+5y+6z=60.其中x=11,x=9,x=7时都不符合题意;x=4时,y=4,z=4符合题意.故选D.)8.B(解析:设一个苹果的质量为x,一个香蕉的质量为y,一个砝码的质量为z,由题意得2x=4z,3y=2z+x.解得x=2z,y=43z,xy=2z4z3=32.故选B.)9.3,2,9(解析:根据题意列方程组得2x+3y=12,3x+4y=17,3z=27.解得x=3,y=2,z=9.)10.解:设这个三位数的百位、十位、个位上的数字分别为x,y,z,根据题意,得x+y+z=16,(100z+10y+x)- (100x+10y+z)=594,x+z=y.解得x=1,y=8,z=7.答:这个三位数是187.11.4380(解析:题中有两个等量关系:甲种盆景所用红花的朵数+乙种盆景所用红花的朵数+丙种盆景所用红花的朵数=2900朵,甲种盆景所用紫花的朵数+丙种盆景所用紫花的朵数=3750朵.设步行街摆放甲、乙、丙三种造型的盆景分别有x盆、y盆、z盆.由题意,得15x+10y+10z=2900,25x+25z=3750.由得3x+2y+2z=580,由得x+z=150.把代入得x+2y=280,2y=280- x,由得z=150- x.4x+2y+3z=4x+(280- x)+3(150- x)=730,24x+12y+18z=6(4x+2y+3z)=6730=4380.故黄花一共用了4380朵.)12.解:设购买甲、乙、丙各一件分别需x元、y元、z元,则有3x+7y+z=5.8,4x+10y+z=6.3.把方程组变为:2(x+3y)+(x+y+z)=5.8,3(x+3y)+(x+y+z)=6.3.解得x+y+z=4.