中考数学专题17三角形与全等三角形.doc

学科教师辅导讲义年 级： 辅导科目：数学 课时数：3课 题三角形与全等三角形教学目的教学内容一、【中考要求】了解三角形的有关概念（内角、外角、中线、高、角平分线），会画任意三角形的角平分线、中线和高，了解三角形的稳定性，探索并掌握三角形中位线的性质，了解全等三角形的概念，探索并掌握两个三角形全等的条件。二、【三年中考】1(2009温州)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A1 cm，2 cm，3. 5 cm B4 cm，5 cm，9 cmC5 cm，8 cm，15 cm D6 cm，8 cm，9 cm解析：计算较小两数的和与最大数比较，大于的组成三角形，否则不能答案：D2(2008嘉兴)如图，ABC中，已知AB8，BC6，CA4，DE是中位线，则DE()A4 B3 C2 D1解析：考查“三角形的中位线等于第三边的一半”，DEBC63.答案：B3(2010宁波)几何原本的诞生，标志着几何学已成为一个有着严密理论系统和科学方法的学科，它奠定了现代数学的基础它是下列哪位数学家的著作()A欧几里得 B杨辉 C费马 D刘徽解析：几何原本是欧几里得的著作答案：A4(2008金华)如图，在ABC和DCB中，AC与BD相交于点O，ABDC，ACBD.(1)求证：ABCDCB；(2)OBC的形状是_(直接写出结论，不需证明)解：(1)证明：在ABC和DCB中，ABCDCB(SSS)(2)等腰三角形5(2010金华)如图，在ABC中，D是BC边上的点(不与B，C重合)，F，E分别是AD及其延长线上的点，CFBE.请你添加一个条件，使BDECDF(不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母)，并给出证明(1)你添加的条件是：_；(2)证明：解：(1)BDDC，FDED，CFBE，点D为线段BC的中点中任选一个即可(2)以BDDC为例进行证明：CFBE，FCDEBD.又BDDC，FDCEDB，BDECDF.三、【考点知识梳理】（一）三角形的概念与分类1由三条线段首尾顺次连接所围成的平面图形，叫做三角形2三角形按边可分为：不等边三角形和等腰三角形；按角可分为锐角三角形、钝角三角形和直角三角形（二）三角形的性质1三角形的内角和是180，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角2三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边3三角形中的重要线段(1)角平分线：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心，它到三角形各边的距离相等(2)中线：三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心(3)高：三角形的三条高交于一点，这点叫做三角形的垂心(4)三边垂直平分线：三角形的三边垂直平分线交于一点，这点叫做三角形的外心，外心到三角形三个顶点距离相等(5)中位线：三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半温馨提示：三角形的边、角之间的关系是三角形中重要的性质，在比较角的大小、线段的长短及求角或线段中经常用到。学习时应结合图形，做到熟练、准确地应用。三角形的角平分线、高、中线均为线段。（三）全等三角形的概念与性质1能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形2全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边、对应角分别相等；(2)全等三角形的对应线段(包括角平分线、中线、高)相等、周长相等、面积相等（四）全等三角形的判定1一般三角形全等的判定(1)如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SSS”；(2)如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“SAS”；(3)如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“ASA”；(4)如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等，简记为“AAS”2直角三角形全等的判定(1)两直角边对应相等的两直角三角形全等；(2)一边一锐角对应相等的两个直角三角形全等；(3)如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等，简记为“HL”3证明三角形全等的思路(1)已知两边(2)已知一边一角(3)已知两角温馨提示：（1） 判定三角形全等必须有一组对应边相等；（2） 判定三角形全等时不能错用“SSA”，“AAA”（五）定义、命题、定理、公理有关概念(1)定义是能明确指出概念含义或特征的句子，它必须严密(2)命题：判断一件事情的语句命题由题设和结论两部分组成命题的真假：正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命题互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题称为互逆命题每一个命题都有逆命题(3)定理：经过证明的真命题叫做定理因为定理的逆命题不一定都是真命题，所以不是所有的定理都有逆定理(4)公理：有一类命题的正确性是人们在长期的实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真伪的原始依据，这样的真命题叫公理温馨提示：对命题的正确性理解一定要准确，判定命题不成立时，有时可以举反例说明道理；命题有正、误，错误的命题也是命题。（六）证明1证明：根据题设、定义、公理及定理，经过逻辑推理来判断一个命题是否正确，这一推理过程称为证明2证明的一般步骤：审题，找出命题的题设和结论；由题意画出图形，具有一般性；用数学语言写出已知、求证；分析证明的思路；写出证明过程，每一步应有根据，要推理严密温馨提示：命题证明应根据证明的步骤一步步进行；图形证明需要分析好已知条件，无需再画图重新写已知、求证，用学过的知识经过严密的推理，推导出结论。四、【中考典例精析】类型一 三角形的有关知识(1)下列长度的三条线段能组成三角形的是()A1、2、3.5 B4、5、9C20、15、8 D5、15、8(2)在ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，若BC5，则DE的长是()A2.5 B5 C10 D15(3)如图，在ABC中，D是BC延长线上一点，B40，ACD120，则A等于()A60 B70 C80 D90【点拨】本题主要考查三角形的有关概念和性质(1)判断三条线段是否组成三角形，其简便方法是将较短两边之和与最长边比较；(2)考查三角形中位线定理数形结合法，DEBC52.5；(3)考查三角形的外角定理ACDAB，AACDB1204080.【答案】(1)C(2)A(3)C方法总结：（1） 考查三角形的边或角时，一定要注意三角形形成的条件：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（2） 在求三角形内角和外角时，要明确所求的角属于哪个三角形的内角和外角，要抓住题目中的等量关系；类型二 全等三角形(1)如图，已知ACFE，BCDE，点A、D、B、F在一条直线上，要使ABCFDE，还需添加一个条件，这个条件可以是_.(2)如图，点B、F、C、E在同一条直线上，点A、D在直线BE的两侧，ABDE，ACDF，BFCE.求证：ACDF.(3)已知命题：如图，点A、D、B、E在同一条直线上，且ADBE，AFDE，则ABCDEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明【点拨】(1)题为开放型试题，要求考虑问题要准确、全面；(2)题考查三角形的全等判定及性质的综合应用明确已知条件是边还是角，包含在哪个三角形中是关键；(3)当判断一个命题是否为假命题时，只要举一个例子符合命题的条件，但不符合命题的结论，该命题就是假命题【解答】(1)答案不唯一，如CE或ADBF等(2)证明：ABDE，ABCDEF.ACDF，ACBDFE.BFEC，BCEF.ABCDEF(ASA)，ACDF.(3)这个命题是假命题以下任一方法均可：添加条件：ACDF.证明：ADBE，ADBDBEBD，即ABDE.在ABC和DEF中，ABCDEF(SAS)添加条件：CBAE.证明：ADBE，ADBDBEBD，即ABDE.在ABC和DEF中，ABCDEF(ASA)添加条件：CF.证明：ADBE，ADBDBEBD，即ABDE.在ABC和DEF中，ABCDEF(AAS)方法总结：（1） 判定两个三角形全等时，常用下面的思路： 有两角对应相等时找夹边或任一边对应相等； 有两边对应相等时找家教或另一边对应相等。（2） 结论不唯一的开放型试题，是近几年中考试题中的热点题型，主要考察对一些知识点掌握的熟练性、系统性。这类题型要注意多琢磨、多领悟。五、【易错题探究】如图，C是线段AB的中点，CD平分ACE，CE平分BCD，CDCE.(1)求证：ACDBCE；(2)若D50， 求B的度数【解析】(1)证明：C是线段AB的中点，ACBC.CD平分ACE，CE平分BCD，12，23，13.又CDCE，ACDBCE(SAS)(2)12，23，123.360.由ACDBCE，得DE.D50，E50.即B180E3180506070.【易错警示】对全等三角形的判定方法理解不透彻、对应关系混淆六、【课堂基础检测】1下列长度的三条线段能组成三角形的是()A1 cm，2 cm，3. 5 cm B4 cm，5 cm，9 cmC5 cm，8 cm，15 cm D6 cm，8 cm，9 cm答案：D2如图，BDC98，C38，B23，A的度数是()A61 B60 C37 D39答案：C3如图，ABC中，A70，B60，点D在BC的延长线上，则ACD等于()A100 B120 C130 D150答案：C4如图，D、E分别为ABC的边AC、BC的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处若CDE48，则APD等于()A42 B48 C52 D58答案：B5如图，在ABC中，ABAC，BDAC，CEAB.求证：BDCE.证明：BDAC，CEAB，ADBAEC90.在ABD和ACE中，ABDACE(AAS)BDCE.七、【课后达标练习】一、选择题1如图，D、E分别是ABC的边AC和BC的中点，已知DE2，则AB()A1 B2 C3 D4解析：由三角形中位线定理得AB2DE224.答案：D2一个三角形三个内角的度数之比为237，这个三角形一定是()A直角三角形 B等腰三角形C锐角三角形 D钝角三角形解析：由三角形内角和定理得最大角为：180105为钝角三角形答案：D3如果三角形的两边长分别为3和5，那么这个三角形的周长可能是()A15 B16 C8 D7解析：由三角形三边关系得2第三边8，10周长16.答案：A4如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小方在池塘的一侧选取一点O，测得OA15米，OB10米，A、B间的距离不可能是()A20米 B15米 C10米 D5米解析：由三角形三边关系得5AB25，AB5(米)答案：D5如图，OP平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B，下列结论中不一定成立的是()APAPB BPO平分APBCOAOB DAB垂直平分OP解析：注意仔细审题，依据角平分线的性质定理及全等三角形的判定与性质得D不一定成立答案：D6两根木棒的长分别为5 cm和7 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角形，如果第三根木棒的长为偶数，那么第三根木棒的选取情况有()A3种 B4种 C5种 D6种解析：由三角形三边关系是2 cm第三根棒长2493.答案：A10如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DEBC，下列结论中，一定正确的个数是()BDF是等腰三角形；DEBC；四边形ADFE是菱形；BDFFEC2A.A1 B2 C3 D4解析：本题一定正确的是两个DEBC，AEDC，DEFEFC.DEF是DEA折叠所得的三角形，AEDDEF，EFCC，EFEC.又EFAE，AEEC.同理ADDB，DE是ABC的中位线，DEBC.答案：B二、填空题11如图所示，将ABC沿着DE翻折，B点落到了B点处若1280，则B_.解析：由外角定理可得122B，B40.答案：4012如图，D是AB边上的中点，将ABC沿过点D的直线折叠，使点A落在BC边上的F处，若B50，则BDF_度解析：由折叠得ADDF，又ADBD，DBDF.又B50，BDF18050280.答案：8013如图，在ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若ABC的周长为10 cm，则DEF的周长是_ cm.解析：因为点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，可知DE、EF、FD都是ABC的中位线，所以DEF的周长是ABC周长的一半，即为5.答案：514如图，三角形纸片ABC中，A65，B75，将纸片的一角折叠，使点C落在ABC内，若120，则2的度数为_解析：把折叠的图形还原，由外角定理得122C2(180AB)，260.答案：6015如下图，观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形有_个解析：第1个图中1个，第2个图中4个，第3个图中13个，第4个图中40个，第5个图中121个注意观察图形是怎样变化的答案：121三、解答题16如图，点B、E、C、F在一条直线上，BCEF，ABDE，AD.求证：ABCDEF.证明：ABDE，BDEF.在ABC和DEF中