2020届高三上学期12月份调研考试数学（文）试题（PDF解析版）

页 1 第 高三数学高三数学文文科科试题试题 一 填空题 本大题共一 填空题 本大题共 14 小题 每小题小题 每小题 5 分 共计分 共计 70 分 请把答案填写在分 请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1 设全集 5 Ux xxN 集合 1A 3 3B 4 则 U CAB U 答案 2 2 已知i是虚数单位 若复数 1 2 zi ai 的实部与虚部相等 则实数a的值为 答案 3 3 函数 2 log 1 f xxx 的定义域为 答案 0 1 4 从甲 乙 丙 丁 4 个人中随机选取两人 则甲 乙两人中有且只一个被选取的概率为 答案 2 3 5 对一批产品的质量 单位 克 进行抽样检测 样本容量为 800 检测结果的频率分布直方图如图所示 根 据标准 单件产品质量在区间 25 30 内为一等品 在区间 20 25 和 30 35 内为二等品 其余为次 品 则样本中次品件数为 答案 200 注 意 事 项注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1 本试卷共 4 页包含填空题 第 1 14 题 解答题 第 15 20 题 本卷满分为 160 分 考试时间为 120 分钟 考试结束后 请将本试卷和答题卡一并交回 2 答题前 请您务必将自己的姓名 准考证号用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷 及答题卡的规定位置 3 作答试题 必须用 0 5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答 在其他位 置作答一律无效 4 如需作图 须用 2B 铅笔绘 写清楚 线条 符号等须加黑 加粗 5 请保持答题卡卡面清洁不要折叠 破损 一律不准使用胶带纸 修正液 可擦洗的圆珠 页 2 第 6 如图是一个算法流程图 则输出的b的值为 答案 8 7 若抛物线 2 2ypx 0 p 的焦点恰好是双曲线 22 45 1 xy 的右焦点 则p 答案为 6 8 已知函数 3sin 2 cos 2 0 f xxx 是定义在R上的奇函数 则 8 f 的值为 答案 2 9 已知数列 n a与 2 n a n 均为等差数列 nN 且 1 2a 则 10 a 答案 20 10 如图 在ABC 中 4AB 2AC 60BAC 已知点E F分别是边AB AC的中点 点D 在边BC上 若 13 4 DE DF uuu r uuu r g 则线段BD的长为 答案 3 2 11 已知点 3 0 A 1 2 B 若圆 222 2 0 xyrr 上恰有两点M N 使得MAB 和NAB 的面 积均为 4 则r的取值范围是 答案 2 2 9 2 2 12 已知函数 2 234 x aa x f xxxlnxee 其中e为自然对数的底数 若存在实数 0 x使 0 3f x 成立 则实数a的值为 答案 12ln 13 已知函数 3 2 ln 0 0 ex x f x xx x 若函数 2 g xf xax 有三个不同的零点 则实数a的取值范围是 答案 0 1 2 U 14 在锐角三角形ABC AD是边BC上的中线 且ADAB 则 111 tantantanABC 的最小值为 答案 13 2 二 解答题 本大题共二 解答题 本大题共 6 小题 共计小题 共计 90 分 请在分 请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答内作答 解答时应写出文字说明 证明解答时应写出文字说明 证明 过程或演算步骤过程或演算步骤 页 3 第 15 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系xOy中 以x轴正半轴为始边的锐角 的终边与单位圆O交于点A 且点A的纵 坐标是 10 10 1 求 3 cos 4 的值 2 若以x轴正半轴为始边的钝角 的终边与单位圆O交于点B 且点B的横坐标为 5 5 求 的值 分析 1 直接利用三角函数的定义的应用求出结果 2 利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果 解 因为锐角 的终边与单位圆O交于点A 且点A的纵坐标是 10 10 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10 10 从而cos 3 10 1sin2 10 1 3 cos cos 4 cos 3 sin 4 sin 3 4 3 1021025 1021025 2 因为钝角 的终边与单位圆O交于点B 且点B的横坐标是 5 5 所以cos 5 5 从而sin 2 5 1cos2 5 于是sin sin cos cos sin 1053 102 52 1051052 因为 为锐角 为钝角 所以 2 3 2 从而 3 4 16 本小题满分 14 分 如图 在正三棱柱 111 ABCABC 中 点D在棱BC上 1 ADC D 点E F分别是 1 BB 11 A B的中点 1 求证 D为BC的中点 2 求证 EF平面 1 ADC 页 4 第 分析 1 推导出 1 CCABC 1 ADCC 从而AD 平面 11 BCC B 进而ADBC 由此能证明D为BC 的中点 2 连结 1 AC 1 AC 交于点O 连结DO 1 AB 推导出 1 ODAB 1 EFAB 从而 EFOD 由 此能证明 EF平面 1 ADC 证明 1 Q在正三棱柱 111 ABCABC 中 点D在棱BC上 1 ADC D 1 CCABC 1 ADCC 111 C DCCC Q I AD 平面 11 BCC B ADBC D 为BC的中点 2 连结 1 AC 1 AC 交于点O 连结DO 1 AB Q正三棱柱 111 ABCABC 中 11 ACC A是矩形 O 是 1 AC的中点 1 ODAB Q点E F分别是 1 BB 11 A B的中点 1 EFAB EFOD EF Q平面 1 ADC DO 平面 1 ADC EF 平面 1 ADC 17 本小题满分 14 分 某市有一特色酒店由 10 座完全相同的帐篷构成 如图1 每座帐篷的体积为 3 54 m 且分上下两层 其中 上层是半径为 1 r r 单位 m的半球体 下层是半径为rm 高为hm的圆柱体 如图2 经测算 上层 半球体部分每平方米建造费用为 2 千元 下方圆柱体的侧面 隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用 为 3 千元设所有帐篷的总建造费用为y千元 1 求y关于r的函数解析式 并指出该函数的定义域 2 当半径r为何值时 所有帐篷的总建造费用最小 并求出最小值 页 5 第 分析 1 由图可知帐篷体积 半球体积 圆柱体积 即 32 2 54 3 rr h 表示出h 则 22 222323 10yrrrh 化简得 2 54 60 yr r 再由 2 542 0 3 r r 则 3 13 3r 所以定 义域为 3 13 3 rr 2 2 54 f rr r 3 13 3r 根据导函数求出其最小值即可 解 1 由题意可得 32 2 54 3 rr h 所以 2 542 3 hr r 所以 222 2 542 222323 1010060 3 yrrrhrrr r g 即 2 54 60 yr r 因为1r 0h 所以 2 542 0 3 r r 则 3 13 3r 所以定义域为 3 13 3 rr 2 设 2 54 f rr r 3 13 3r 则 2 54 2frr r 令 0f r 解得3r 当 1r 3 时 0f r f r单调递减 当 3r 3 3 3 时 0f r f r单调递增 所以当3r 时 f r取极小值也是最小值 且 1620 min f r 答 当半径r为3m时 建造费用最小 最小为1620 千元 18 本小题满分 16 分 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 的左 右焦点分别为 1 F 2 F 若椭圆C经过点 0 3 离心率为 1 2 直线l过点 2 F与椭圆C交于A B两点 1 求椭圆C的方程 2 若点N为 12 F AF的内心 三角形三条内角平分线的交点 求 12 F NF与 12 F AF面积的比值 3 设点A 2 F B在直线4x 上的射影依次为点D G E 连结AE BD 试问 当直线l的倾斜 角变化时 直线AE与BD是否相交于定点T 若是 请求出定点T的坐标 若不是 请说明理由 页 6 第 分析 1 由题意知3b 1 2 c a 可得 3 2 b a 解得a即可得出椭圆C的方程 2 由点N为 12 F AF的内心 可得点N为 12 F AF的内切圆的圆心 设该圆的半径为r 可得 12 12 12 1212 1 2 1 2 F NF F AF FFr S S AFAFFFr V V g g 3 若直线l的斜率不存在时 四边形ABED是矩形 此时AE与BD交于 2 F G的中点 5 0 2 下面证明 当直线l的倾斜角变化时 直线AE与BD相交于定点 5 0 2 T 设直线l的方程为 1 yk x 与椭圆方程联立化简得 2222 34 84120kxk xk 设 1 A x 1 y 2 B x 2 y 由题意 得 1 4 Dy 2 4 Ey 则直线AE的方程为 21 2 1 4 4 yy yyx x 令 5 2 x 此时 21 2 1 5 4 42 yy yy x 把根与系数关系代入可得0y 因此点 5 0 2 T在直线AE上 同理可证 点 5 0 2 T在直线BD上 即可得出结论 解 1 由题意知3b 因为 1 2 c a 所以 3 2 b a 解得 2a 所以椭圆C的方程为 22 1 43 xy 2 因为点N为 12 F AF的内心 所以点N为 12 F AF的内切圆的圆心 设该圆的半径为r 则 12 12 12 1212 1 21 2 1 223 2 F NF F AF FFr S cc Sacac AFAFFFr V V g g 3 若直线l的斜率不存在时 四边形ABED是矩形 此时AE与BD交于 2 F G的中点 5 0 2 下面证明 当直线l的倾斜角变化时 直线AE与BD相交于定点 5 0 2 T 设直线l的方程为 1 yk x 页 7 第 联立 22 1 1 43 yk x xy 化简得 2222 34 84120kxk xk 因为直线l经过椭圆C内的点 1 0 所以 0 设 1 A x 1 y 2 B x 2 y 则 2 12 2 8 34 k xx k 2 1 2 2 412 34 k x x k 由题意 得 1 4 Dy 2 4 Ey 则直线AE的方程为 21 2 1 4 4 yy yyx x 令 5 2 x 此时 211221 2 11 2 4 3 5 4 422 4 yyxyyy yy xx 12211212 11 2 4 1 3 825 2 4 2 4 xk xk xxkkx xk xx xx 22 22 1 4128 825 3434 2 4 kk kkk kk x gg 333 2 1 243282440 0 2 4 34 kkkkk xk 所以点 5 0 2 T在直线AE上 同理可证 点 5 0 2 T在直线BD上 所以当直线l的倾斜角变化时 直线AE与BD相交于定点 5 0 2 T 19 本小题满分 16 分 设数列 n a n b分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列 1 已知 1 1b 232 60b bb 求数列 n b的前n项的和 n S 2 已知 2 2a 4710 21aaa 且数列 nn ab的前三项成等比数列 若数列 n b唯一 求 1 b的值 3 已知数列 n a的公差为 0 d d 且 1 1 12 2 1 22 n nn aba ba bn 求数列 n a n b的通项公 式 用含n d的式子表达 1 解 设 n b的公比为q 则有 3 60qq 即 2 2 23 0qqq 解得2q 1 2 3 n n S 2 n a为等差数列 又 2 2a 4710 21aaa 7 321a 7 7a 则公差1d 则 n an 数列 nn ab的前三项成等比数列 即 1 1 b 2 2 b 3 3 b成等比 页 8 第 2 213 2 1 3 bbb 整理得 13 1 bb 设数列 n b的公比为q 显然 1 0b 则 2 11 1 bbq 2 11 10bqb 数列 n b唯一确定 11 04 1 0bb 解得 1 1b 或 1 0b 舍 即 1 1b 3 解 Q 1 1 122 1 22 n nn aba ba bn 1 12211 2 22 n nn aba babn 得2 2 n nn a bnn g 1 1 2a b Q 2 n nn a bnnN g 1 11 1 2 2 n nn abnn 令 得 1 2 2 1 n n an qn an g 其中q是数列 n b的公比 1 2 2 1 3 2 n n an qn an g 令 得 2 22 1 2 3 1 nn n a an n n an 31 2 3 4 a a a 即 11 2 1 2 3 4 ad a ad 解得 1 ad 或 1 3ad 若 1 3ad 则 4 0a 有 4 44 420a b 矛盾 1 ad 满足条件 此时 n adn 2n n b d 20 本小题满分 16 分 设a为实数 已知函数 x f xaxe aR 1 当0a 时 求函数 f x的单调区间 2 设b为实数 若不等式 2 2f xxbx 对任意的 1a 及任意的 0 x 恒成立 求b的取值范围 3 若函数 lng xf xxx 0 x 有两个相异的零点 求a的取值范围 分析 1 根据导数和函数单调性的关系即可求出 页 9 第 2 分离参数 可得2 x ex b 对任意的0 x 恒成立 构造函数 2 x xex 利用导数求出函数的最值 即可求出b的范围 3 先求导 再分类讨论 根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a的范围 解 1 当0a 时 因为 1 x fxa xe 当1x 时 0f x 当1x 时 0f x 所以函数 f x单调减区间为 1 单调增区间为 1 2 由 2 2f xxbx 得 2 2 x axexbx 由于0 x 所以2 x aexb 对任意的1a 及任意的0 x 恒成立 由于0 x e 所以 xx aee 所以2 x ex b 对任意的0 x 恒成立 设 2 x xex 0 x 则 2 x xe 所以函数 x 在 0 ln 2 上单调递减 在 ln 2 上单调递增 所以 min xln 2 22ln 2 所以22bln 2 3 由 ln x g xaxexx 得 1 1 1 1 1 x x xaxe g xa xe xx 其中 0 x 若0a 时 则 0g x 所以函数 g x在 0 上单调递增 所以函数 g x至多有一个零点 不合题意 若0a