初中数学思维导图.xls

1 8 初中数学知识点总括 知知识识结结构构分分布布内内容容解解读读备备注注 一 基础知识 实数理解平方根 立方根 算术平方根的概念 1 有理数整数与分数统称有理数 整数正整数 0 负整数 分数正分数 负分数 2 无理数无限不循环小数叫做无理数 记住几个特殊代表 2 3 5 黄金比 5 1 2 整式 表示成数字与字母乘积的代数式叫做单项式 单独一个数或字母也是 几个单项式的和叫做多项式 单项式和多项式统称整式 一个单项式中 所有字母的指数和叫做这个单项式的次 数 单独一个非零数的次数是0 一个多项是中 次数最高的项的次数 叫做这个多项式 的次数 1 同底数幂的乘除法 同底数幂相乘 底数不变 指数相加 aman am n m n都是正整数 同底数幂相除 底数不变 指数相减 am an am n a 0 m n都是正整数 且m n 深刻理解 a0 1 a 0 a p 1 ap a 0 p是正整数 2 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 底数不变 指数相乘 am n amn m n都是正整数 积的乘方等于每一个因数乘方的积 ab n anbn n是正整数 3 整式的运算 整式加减如果遇到括号先去括号 再合并同类项 整式的乘法 单项式与单项式相乘 把他们的系数 相同字母的幂分别相乘 其余字母 连同它的指数不变 作为积的因式 单项式与多项式相乘 就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项 再 把所得的积相加 多项式与多项式相乘 先用多项式的每一项去乘另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 整式的除法 单项式相除 把系数 同底数幂分别相除后 作为商的因式 对于只在被 除式里含有的字母 连同它的指数一起作为商的一个因式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式 再把所得 的商相加 分式 整式A除以整式B 可以表示成A B的形式 如果除式B中含有字母 那么称 A B为分式 其中A称为分式的分子 B称为分式的分母 对于任意一个分式 分母都不能为零 1 分式的基本性质 分式的分子与分母都乘以 或除以 同一个不为零的整式 分式的值不变 2 分式运算法则 分式乘除法法则 两个分式相乘 把分子相乘的积作为积的分子 把分母相乘的积作为积的 分母 两个分式相除 把除式的分子分母颠倒位置后再与被除式相乘 分式加减法法则 同分母的分式相加减 分母不变 把分子相加减 异分母的分式相加减 先通分 化为同分母的分式 然后再按同分母分式 的加减法法则进行计算 2 8 初中数学知识点总括 知知识识结结构构分分布布内内容容解解读读备备注注 3 分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程 解分式方程需要检验 因为可能会产生增根 了解产生 增根的原因 二 分解因式 把一个多项式化成几个整式的积的形式 这种变形叫做把这个多项式分解 因式 提公因式法 如果一个多项式的各项含有公因式 那么就可以把这个公因式提出来 从 而将多项式化成两个因式乘积的形式 这种分解因式的方法叫做提公因式 法 公因式概念 运用公式法 由分解因式与整式乘法的关系可以看出 如果把乘法公式反过来 那么就 可以用来把某些多项式分解因式 这种分解因式的方法叫做运用公式法 a b a b a2 b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 a b 4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 要会推导杨辉三角 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 三 多边形 在平面内 由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图 形叫做多边形 指凸多边形 基本概念 1 多边形的内角和与外角和 n变形的内角和等于 n 2 180 多边形的外角和等于360 2 图形的对称 中心对称图形 在平面内 一个图形围绕某个点旋转180 如果旋转前后的图形互相重合 那么这个图形叫做中心对称图形 这个点叫做它的对称中心 性质 1点 中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称 中心平分 轴对称图形 如果一个图形沿着一条直线折叠后 直线两旁的部分能够互相重合 那么 这个图形叫做轴对称图形 这条直线叫做对称轴 性质 3点 1 对应点所连的线段被对称轴垂直平分 2 对应线段相等 3 对应角相等 3 图形的运动 图形的平移 在平面内 将一个图形沿某个方向移动一定的距离 这样的图形运动成为 平移 性质 3点 经过平移 对应点所连的线段平行且相等 对应线段平 行且相等 对应角相等 图形的旋转 在平面内 将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度 这样的图形 运动称为旋转 这个定点成为旋转中心 转动的角度成为旋转角 性质 4点 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角 对应点到旋转中心的距离相等 对应线段相等 对应角相等 4 平行线与相交线 相交线明白余角 补角 对顶角的概念和运用 平行线 定理1 如果两条直线平行 其同位角和内错角分别相等 同旁内角互补 定理2 同位角相等或内错角相等或同旁内角互补的两条直线平行 推理3 距离相等的两条直线平行 自己推导的定理 记住判定平行线的四种方法 三角形 1 三角形的四条线 3 8 初中数学知识点总括 知知识识结结构构分分布布内内容容解解读读备备注注 三角形的角平分线 定理1 三角形的三条角平分线相交于一点 三角形的内心 并且这一点 到这三条边的距离相等 可做唯一一个内切圆 定理2 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 定理3 在一个角的内部 且到角的两边距离相等的点 在这个角的平分线 上 三角形的中线顶点和对边中点之间的线段 叙述不全 三角形的高线顶点和垂足之间的线段 叙述不全 三角形三条高线所在的直线交与一点 其中 1 直角三角形交点与直角的顶点重合 2 锐角三角形交点在三角形内 3 钝角三角形交点在三角形外 三角形三边的垂直平分线 定理1 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 定理2 到一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 定理3 三角形三条边的垂直平分线相交于一点 三角形的外心 并且这一 点到三个顶点的距离相等 可做唯一一个外接圆 2 三角形的分类 锐角三角形三个内角都是锐角的三角形叫锐角三角形 钝角三角形有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形 直角三角形有一个内角是直角的三角形叫直角三角形 3 关于三角形的几个定理 普适的定理 1 三角形两边之和大于第三边 可证明 2 三角形两边之差小于第三边 可证明 直角三角形的定理 1 直角三角形两条边的平方和等于斜边的平方 勾股定理 2 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方 那么这个三角形是直角三 角形 3 在一个直角三角形中 如果1个锐角等于30 那么它所对的直角边等 于斜边的一半 可证明 4 直角三角形的两个锐角互余 记住几个构成直角三角形的特殊数字 3 4 5 5 12 13 6 8 10 7 24 25 8 15 17 9 12 15 1 1 2 等腰直角三角形 1 3 2 30 直角三角形 1 2 5 符合黄金分割比例的直角三角形 等腰与等边三角形的定理 1 等腰三角形的两个底角相等 等边对等角 2 有两个角相等的三角形是等腰三角形 等角对等边 3 等腰三角形顶角的平分线 底边上的中线 底边上的高互相重合 4 有一个角等于60 的等腰三角形是等边三角形 4 三角函数 1 记住几个特殊角的三角函数值 2 深刻理解函数值与Rt 的三边关系 3 在直角三角形内 互余的两个锐角其中一个锐角的正 弦值等于另一个锐角的余弦值 4 在直角三角形内 互余的两个锐角的正切函数值互为 倒数 5 同一个角的三个三角函数的关系如下 正弦值除以余弦值等于正切值 正弦函数在Rt ABC中 A的对边与斜边的比叫做 A的正弦 记作sinA 正弦函数越大 对应的角越大 余弦函数在Rt ABC中 A的邻边与斜边的比叫做 A的余弦 记作cosA 余弦函数越大 对应的角越小 正切函数在Rt ABC中 A的对边与邻边的比叫做 A的正切 记作tanA 正切函数越大 对应的角越大 5 全等三角形 性质对应边相等 对应角相等 4 8 初中数学知识点总括 知知识识结结构构分分布布内内容容解解读读备备注注 判断条件 1 边边边 SSS 2 边角边 SAS 3 角边角 ASA 4 角角边 AAS 5 斜边和一条直角边 HL 只对直角三角形有效 利用全等三角形测距离 四边形 1 平行四边形两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形 性质 1 平行四边形的对边相等 2 平行四边形的对角相等 3 平行四边形的对角线互相平分 判断条件 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 4 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形 5 两组对顶角分别相等的四边形是平行四边形 自己推断论证的结论 菱形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质 1 四条边相等 2 对角线互相垂直平分 3 每一条对角线平分一组对角 判断条件 1 一组邻边相等的平行四边形是菱形 2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 3 四条边都相等的平行四边形是菱形 矩形有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形 性质 1 对角线相等 2 四个角都是直角 判断条件 1 有一个内角是直角的平行四边形是矩形 2 对角线相等的平行四边形是矩形 正方形一组邻边相等的矩形叫做正方形 正方形兼具菱形和矩形的特征 性质具有平行四边形 菱形 矩形的一切性质 判断条件 1 一组邻边相等的矩形是正方形 2 一个内角是直角的菱形是正方形 自己加入的结论 3 对角线互相垂直的矩形是正方形 自己加入的结论 2 梯形一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形 等腰梯形两条腰相等的梯形叫做等腰梯形 等腰梯形的面积公式 上底 下底 x高 2 性质等腰梯形同一底上的两个内角相等 对角线相等 判断条件同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形 直角梯形一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形 相似图形 1 基础知识 比例线段 四条线段a b c d中 如果a与b的比等于c与d的比 那么这四条线段叫 做成比例线段 简称比例线段 5 8 初中数学知识点总括 知知识识结结构构分分布布内内容容解解读读备备注注 几个公式 1 如果a b c d 那么ad bc 2 如果ad bc a b c d都不等于0 那么a b c d 3 如果a b c d 那么 a b b c d d 4 如果a b c d m n b d n 0 那么 a c m b d n a b 黄金分割 如果点C把线段AB分成一长一短两条线段AC和BC 并且AC AB BC AC 则称线 段AB被点C黄金分割 点C叫做黄金分割点 AC与AB的比叫做黄金比 即 5 1 2 0 61803398874989 1 会找黄金分割点 会证明 2 黄金比是一个无理数 2 相似多边形各角对应相等 各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形 相似多边形对应边的比叫做相似比 性质 1 相似三角形对应高的比 对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似 比 2 相似多边形周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 判断条件利用概念判断 相似三角形三角对应相等 三边对应成比例的两个三角形是相似三角形 掌握用利用相似三角形测高度的三种方法 性质 判断条件 1 两角对应相等的两个三角形是相似 2 三边对应成比例的两个三角形相似 3 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 3 位似图形 如果两个图形不仅是相似图形 而且每组对应点所在的直线都经过同一个 点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相 似比又叫位似比 性质位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 判断条件利用概念判断 四 圆 平面上到顶点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆 定点称为圆心 定长称为半径 以点O为圆心的圆记做 O 读作 圆O 圆的几个基本概念 1 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 其对称轴是任意一条过圆心的直线 2 圆是中心对称图形 对称中心为圆心 2 圆弧 弧 优弧 劣弧的表示方法 3 弦 4 圆周角 5 圆与圆的位置关系外离 外切 相交 内切 内含 6 圆与直线的位置关系相离 相切 相交 关于圆的几个定理 1 垂直于弦的直径平分这条弦 并且平分弦所对的弧 2 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并平分弦所对的弧 3 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦中有一组量相等 那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 5 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的圆周角相等 6 直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 7 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 8 圆的切线垂直与过切点的直径 9 经过直径的一端 并且垂直于这条直径的直线是圆的切线 扇形的面积 6 8 初中数学知识点总括 知知识识结结构构分分布布内内容容解解读读备备注注 1 n 圆心角所对的弧长ll 圆周长 n 360 2 n 圆心角所对的扇形面积S扇形 S扇形 圆面积 n 360 S扇形 圆半径 弧长 2 3 圆锥的侧面积S圆锥侧 圆锥底面半径 圆锥母线 五 函数 方程及不等式 函数 1 基本概念 直角坐标系 在平面内 两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系 公共 原点O称为平面直角坐标系的原点 函数的图像 把一个函数自变量x和对应因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标 在 直角坐标系中描出它的对应点 所有这些点组成的图形叫做该函数的图像 2 一次函数 若两个变量x y间的关系式可以表示成y kx b k b是常数 k 0 的形式 则称y是x的一次函数 图像分布规律 第一种解读 一次函数的图像呈直线状分布可以放在以点 0 b 为原点新构筑起的直角坐 标系中研究 即 将X轴平移到Y b处后与Y轴重新构筑起的新坐标系 以下 的描述所说的象限指新坐标系的象限 1 当k 0时 分布在一 三象限 y的值随x增大而增大 2 当k0时 1 当b 0 图象分布在1 2 3象限 2 当b 0 图象分布在1 3象限 3 当b 0 图象分布在1 4 3象限 2 当k0 图象分布在2 1 4象限 2 当b 0 图象分布在2 4象限 3 当b0时 抛物线开口向上 分布在一 二象限 其中二象限y的值随x 增大而减小 一象限y的值随x增大而增大 2 当a0或a0时 分布在一 三象限 y的值随x增大而增大 2 当k 0时 分布在二 四象限 y的值随x增大而减小 深入研究y k x b的图像分布规律 在以 0 b 为原点的新 坐标系所构筑的四个象限内呈现前述图像分布规律 方程 1 一元一次方程 在一个方程中 只含有一个未知数 元 并且未知数的指数是1 次 这样的方程叫一元一次方程 2 一元二次方程 一元二次方程的基本解法 1 配方法 2 公式法 3 分解因式法 会证明黄金比 3 二元一次方程含有两个未知数 并且未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 理解二元一次方程与一次函数的关系 4 二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程叫做二元一次方程组 二元一次方程组的基本解法 1 代入消元法 简称代入法 2 加减消元法 简称加减法 注意寻找两种方法的使用规律 二元一次方程组的几种基本 应用 见书上例题 比如 鸡兔同笼 增收节支 里程碑上的数等 不等式一般地 用符号 或 连接的式子叫做不等式 1 不等式的基本性质 1 不等式的两边都加上 或减去 同一个整式 不等号的方向不变 2 不等式的两边都乘以 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 3 不等式的两边都乘以 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 2 一元一次不等式 只含有一个未知数 并且未知数的最