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第7章 高阶导数一、一阶导数和二阶导数 函数y=f(x)（一）一阶导数（二）二阶导数 若函数y=f(x)的导数仍为可导函数，则称的导数为函数y=f(x)的二阶导数，记为，即【例题】【练习】P122的例8.1（三）高阶导数 二阶以上的导数都称为高阶导数。【例】求高阶导数 【】 【】【例】求n阶导数 【】 【】 【】 【】【例8.4】P130。二、高阶导数的数学应用了解函数的性质（一）单调性 若函数y=f(x)在闭区间【a，b】内连续，在开区间（a，b）内可导，那么1. 若x（a，b），恒有0，则f（x）在【a，b】内单调增加；2. 若x（a，b），恒有0，则f（x）在【a，b】内单调减少；3. 若x（a，b），有=0，则称x为函数f（x）的驻点。【例】讨论函数的单调性解：已知函数的定义域为（-，+），且有令，求得驻点以为分点，将定义域分为（-，0），（0，2），（2，+）三个区间，在（-，0），（0，2），（2，+）内不会变号x（-，0）0（0，2）2（2，+）00f(x)单调上升1/3单调下降1单调上升函数f（x）在（-，0），（2，+）内单调递增；在（0，2）内单调递减。【练习】讨论函数的单调性x（-，-2）-2（-2，3）3（3，+）00f(x)单调上升60单调下降-65单调上升【例】讨论函数的单调性解：已知函数的定义域为（-，+），且有令，求得驻点和不可导点以为分点，将定义域分为（-，0），（0，1），（1，+）三个区间，在（-，0），（0，1），（1，+）内不会变号x（-，0）0（0，1）1（1，+）不存在0f(x)单调上升1单调下降1/10单调上升函数f（x）在（-，0），（1，+）内单调递增；在（0，1）内单调递减。x（-，1）1（1，3）3（3，+）00f(x)单调上升1单调下降-3单调上升【总结】判断单调性的步骤1. 确定函数y=f(x)的定义域，连续区间，可导区间。2. 求=0的根，和不存在的点。3. 用以上得出的点将定义域分成若干区间。4. 判别在每个开区间的符号，从而确定其单调性。（二）极值1. 极值的含义 设函数f(x)在点的邻域内有定义，对该邻域内的x恒有，则称为函数的极大值，而点称为极大值点。 同理可以定义函数的极小值。极大值和极小值统称为极值。2. 极值的性质（1） 局部性极值是一个局部性的概念：，函数的某个极小值可能比极大值还要大。（2） 非唯一性函数在定义域区间内的极值和极值点不是唯一的，一个函数可能存在着多个极值和极值点。3. 判断极值的方法（1）用一阶条件判断 设函数f(x)在的邻域内连续可导： 如果，则函数f(x)在点取极大值。 如果，则函数f(x)在点取极小值。 如果在的邻域内不变号，则函数f(x)在点不取极值。 用来寻找曲线的平稳定（驻点）。【例】求的极值解：定义域为（-，+），且令，得驻点x（-，1）1（1，2）2（2，+）00f(x)单调上升2单调下降1单调上升极大值点为x=1，极大值为f(1)=2；极小值点为x=2，极小值为f(2)=1【例】求的极值解：定义域为（-，+），且令，得驻点x（-，0）0（0，3/2）3/2（3/2，+）00f(x)单调下降0单调下降-27/16单调上升函数的极小值点为x=3/2，极小值为f(3/2)=-27/16.【例8.2】P127（2）用二阶导数判断充分条件 设函数f(x)在处有二阶导数，且，如果：n ，则为函数f(x)的极大值点。n ，则为函数f(x)的极小值点。n ，则暂时不能判断。【例】求函数的极值解：；令解得当时，有为极小值点，极小值为当时，有为极大值点，极大值为-3。【例】求函数的极值解：；令，解得x=1为极大值点，极大值为8。x=3为极小值点，极小值为4。【例8.3】P127.【习题8.1】P141（3）用高阶导数来判断 如果第一个非0高阶导数，出现在奇数次微分之后，则是拐点。 偶数次微分之后，为负则为局部极大值点；为正则为局部极小值点。【例8.4】P130【习题8.2】P1414. 总结：求极值的步骤（1）一阶条件（必要条件） 令一阶导数为0，求出所有的平稳点：（2）二阶条件（充分条件） 在平稳点处求二阶导数的值： 如果，则函数f(x)在点取极大值。 如果，则函数f(x)在点取极小值。（3）高阶条件 如果，则求高阶导数【非零为止】。 出现在偶次微分之后，则。 出现在奇次微分之后，点为拐点。（4）求出极大值和极小值。【例8.4】P130.（三）函数的凸凹性1. 凹凸的定义 函数y=f(x)在区间I上连续，若对I上任意两点，恒有，则称y=f(x)在区间I上的图形是凹的；若恒有，则称y=f(x)在区间I上的图形是凸的。 也就是说，若曲线弧位于其每一点处切线的上方，则称此曲线是向上凹的；若曲线弧位于其每一点处切线的下方，则称此曲线弧是上凸的。2. 凸凹性的判断 设函数y=f(x)在区间【a，b】上连续，在（a，b）内具有二阶导数，则： 若在（a，b）内，则函数y=f(x)在区间【a，b】上的图形是凹的。 若在（a，b）内，则函数y=f(x)在区间【a，b】上的图形是凸的。3. 拐点 若函数y=f(x)的图形在两侧有不同的凸凹性，则称点（，f()）为图形的拐点。【例】判断曲线的凸凹性解：函数的定义域为（-，+），【例】判断的凸凹性解： 数的定义域为（-，+），、令0，得判定在邻近的符号：x（-，0）0（0，2/3）2/3（2/3，+）00f(x)上凹1上凸11/27上凹（四）全域极值最大值和最小值 设函数y=f(x)在【a，b】上有定义：1. 求出平稳点：求出方程的实数根，以及使不存在的点。2. 计算函数值：算出平稳点和区间端点的函数值。3. 比较函数值：其中最大的一个为最大值点，最小的一个为最小值点。【例】求在区间【-4，4】上的最值解：令，解得：，【故在区间【-4，4】上，函数最大值为10，最小值为-71。【练习】求函数最值（五）洛比达法则（适用于型不定式和型不定式）1. 法则 设函数满足在点a的某去心邻域可导，且，且存在，则也存在，且。【例】求（n0）【练习】（六）泰勒（Taylor）公式1. 问题的提出：函数化简 不论在近似计算或理论分析中，我们都希望能用一个简单的函数来近似地表示一个复杂的函数，这样做将会带来很大的方便。一般来说，最简单的是多项式函数，因为在多项式函数中仅有加减乘三种运算，怎样从一个函数本身，找出我们需要的近似多项式函数？2. 泰勒定理 若函数在含有点的某开区间（a，b）内有直到n+1阶导数，则当x在（a，b）内时， 式中之间，称为拉格朗日余项，公式称为泰勒公式。3. 麦克劳林公式 当时，得到泰勒公式： 这个公式称为麦克劳林公式。【例子】将展开为x的幂式 当时，的连续函数，并有连续的高阶导数：（n=1，2，） 因此，（n=1，2，） 因此，之间。【练习】写出在x=0的泰勒展开式【练习】写出在x=1的泰勒展开式三、经济应用利润最大化（一）利润最大化原理1. 利润函数：2. 一阶条件：3. 二阶条件：，即要求边际收益为反方向，边际成本为正方向。4. 最大化的利润：【例】某工厂生产某产品，其固定成本为200元，每多生产1单位产品，成本增加10元，该产品的需求函数为，求产量q为多少时利润最大，并求出最大利润。解：当产量q为240个单位时，利润最大，利润为28600。【例8.7】P135【习题8.4】P141【习题8.5】P141（二）利润与税收：税收中性原则【税