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第十二章期权 2010年10月27日 第十二章期权 1 章节安排 可编辑 2 期权市场的运作股票期权的特征期权交易策略期权定价模型简介 2010年10月27日 期权市场的运作 可编辑 3 期权的种类1 看涨期权 calloption 期权持有者拥有在将来一定时刻以一定价格买入某资产的权利 2 看跌期权 putoption 期权持有者拥有在将来一定时刻以一定价格卖出某资产的权利 合约中注明的时刻称为到期日 expirationdate 或满期日 maturitydate 注明的价格称为执行价格 exerciseprice 敲定价格 strikeprice 或行权价 3 欧式期权 Europeanoption 只能在到期日行权 4 美式期权 Americanoption 可以在到期日前任何时刻行权 2010年10月27日 可编辑 4 看涨期权考虑某投资者购买能以100元价格买入1份股票的欧式期权 期权费用为5元 期限为4个月 假设4个月后 考虑到期权费用 当股票价格大于105元时 他可以从中盈利 反之 如果股票价格低于100元 则该投资者不会行权 损失金额等于期权的费用 看跌期权考虑某投资者购买能以100元价格卖出1份股票的欧式期权 期权费用为5元 期限为4个月 假设4个月后 考虑到期权费用 当股票价格小于95元时 他可以从中盈利 反之 如果股票价格高于100元 则该投资者不会行权 损失金额等于期权的费用 期权市场的运作 2010年10月27日 期权的条款及术语 可编辑 5 期权的条款1 标的资产2 到期日3 执行价格 敲定价格 4 欧式及美式期权5 派息及拆股处理期权的其他术语1 内涵价值2 时间价值3 承约人 2010年10月27日 可编辑 6 标的资产 在交易所交易的期权1 股票2 外汇3 股票指数4 期货 2010年10月27日 股票期权的条款 到期日 每月的第三个星期的星期六 执行价格 当股价在5 25美元之间 执行价格间隔为2 5美元 当股价为25 200美元之间 执行价格间隔为5美元 当一个期权刚引入时 通常会选择两至三个最接近于当前股价的执行价格 欧式或美式期权 期权类型 看涨或看跌 每个期权通常对应100份股票 可编辑 7 2010年10月27日 实值期权 in the moneyoptions 虚值期权 out of the moneyoptions 平值期权 at the moneyoptions 对看涨期权 如果ST K 则为实值期权 如果ST K 则为平值期权 如果STST 则为实值期权 如果ST K 则为平值期权 如果K ST 则为虚值期权 可编辑 8 期权的术语 2010年10月27日 可编辑 9 期权的内涵价值 intrinsicvalue 内涵价值定义为0与期权如果立即执行所得收益的两者之间的最大值 对看涨期权 内涵价值为max S K 0 对看跌期权 内涵价值为max K S 0 一个实值美式期权的价值至少等于内涵价值 时间价值 timevalue 期权的价值为内涵价值与时间价值之和 期权的术语 2010年10月27日 期权通常不对现金股息做调整 当股票拆股或发放股票红利时 期权要做相应调整 假设你拥有N个期权 执行价格为K 当股票进行n对m拆股时 执行价格会变为mK n 而期权数量会变为nN m 例 考虑一个看涨期权 可以 20的价格买入100份股票 对下列事件 期权的条款将如何调整 1 2对1拆股2 发放5 的股票红利3 发放 1的现金红利 可编辑 10 股息及拆股的处理 2010年10月27日 可编辑 11 雇员股票期权由公司发给公司员工的看涨期权 激励员工与股东利益保持一致 为公司更好地工作 刚发行时一般为平值 在发行后一般有一个锁定期 通常1 4年 在锁定期内不得转让或出售 行权期限可长达10年或更长 公司往往在行使时增发股票 现有会计准则要求将雇员期权列为费用 雇员期权及认股权证 2010年10月27日 可编辑 12 雇员期权及认股权证 认股权证 warrant 是由金融机构或公司发行的期权 例 公司可以发行关于自身股票的看涨权证 权证在行使时往往会导致股票增发 可转换债券 convertiblebond 由公司发行 并可在将来以预先设定的比例转换为股票的债券 可视作普通债券与公司股票看涨期权的投资组合 2010年10月27日 可编辑 13 期权交易机制 做市商保证金制度出售裸露期权 nakedoption 的限制裸露期权是指出售期权方手里没有与该期权头寸对冲的标的资产 交易所对出售裸露期权有较多限制 2010年10月27日 股票期权的特征 可编辑 14 我们采用如下符号 S0 股票的当前价格K 期权的执行价格T 期权的期限ST T时刻股票的价格r 期限为T的无风险利率 连续复利 C 美式看涨期权的价格P 美式看跌期权的价格c 欧式看涨期权的价格p 欧式看跌期权的价格D 股息 2010年10月27日 可编辑 15 影响期权价格的因素 有六种因素将影响期权的价格当前股票价格 S0执行价格 K期权期限 T股票价格的波动率 无风险利率 r股息 D 2010年10月27日 可编辑 16 下表列出某项因素发生变化 而其他因素保持不变的条件下 对各种期权价格的影响 影响期权价格的因素 Options Futures andOtherDerivatives7thEdition Copyright JohnC Hull2008 16 c p C P 2010年10月27日 可编辑 17 在同等条件下 一个美式期权的价格总是高于或等于欧式期权 即这是因为美式期权与欧式期权其他条件都一样 但美式期权可以提前行权而欧式期权只能在到期日行权 美式期权与欧式期权 2010年10月27日 可编辑 18 运用无套利原理来确定期权价格的上下限期权价格的上限1 对看涨期权 期权价格不会超过股票价格 即2 对看跌期权 期权价格不会超过执行价格 期权价格的上下限 2010年10月27日 可编辑 19 期权价格的下限看涨期权考虑以下例子 是否存在套利机会 c 3S0 20T 1r 10 K 18D 0 期权价格的上下限 2010年10月27日 可编辑 20 期权价格的上下限 考虑以下两个组合组合A 一个欧式看涨期权加上数量为的现金 组合B 一份股票 可以证明 在任何情况下 组合A的价值不小于组合B的价值 另外 期权价值不会小于零 因此 对欧式看涨期权 我们有 2010年10月27日 可编辑 21 看跌期权考虑以下例子 是否存在套利机会 p 1S0 37T 0 5r 5 K 40D 0 期权价格的上下限 2010年10月27日 考虑以下两个组合组合C 一个欧式看跌期权加上一份股票 组合D 金额为的现金 可以证明 在任何情况下 组合C的价值不小于组合D的价值 另外 期权价值不会小于零 因此对于欧式看跌期权 我们有 可编辑 22 期权价格的上下限 2010年10月27日 运用无套利原理 我们可以推导出看涨与看跌期权的一个重要关系式 看跌 看涨平价关系式 put callparity 假设看跌与看涨期权的条款都一致 相同股票 相同期限与相同执行价格 组合A 一份欧式看涨期权加上数量为Ke rT的现金 组合B 一份欧式看跌期权加上一份股票 可以证明 组合A和组合B具有同样的价值 因此 我们有看跌 看涨平价关系式如果期权价格不满足这个关系式 则存在套利机会 可编辑 23 看跌 看涨平价关系式 2010年10月27日 期权交易策略 可编辑 24 期权和股票组合 可以产生不同形式的收益函数 收益表达为股票价格的函数 理论上说 如果任何执行价格的期权都存在 那么可以构造任何形式的收益函数 包括单一期权和股票的策略差价 Spreads 交易策略组合 Combination 策略具有其他收益形式的组合 2010年10月27日 可编辑 25 买入一个欧式看涨期权的利润 期权价格 5 执行价格 100 看涨期权长头寸 2010年10月27日 可编辑 26 买入一个欧式看跌期权的利润 期权价格 7 执行价格 70 看跌期权长头寸 2010年10月27日 可编辑 27 对欧式看跌期权进行承约 writingonaputoption 的利润 期权价格 7 执行价格 70 看跌期权短头寸 2010年10月27日 2020 3 19 28 可编辑 29 各种期权头寸的收益 下列各图展示了何种期权 何种头寸的收益 其中K 执行价格 ST 执行日标的资产价格 Options Futures andOtherDerivatives7thEdition Copyright JohnC Hull2008 29 收益 收益 ST ST K K 收益 收益 ST ST K K 2010年10月27日 包括单一期权和股票的策略 可编辑 30 股票长头寸与看涨期权短头寸的组合 称为备保看涨期权承约 writingacoveredcall 利润 ST K 2010年10月27日 可编辑 31 股票短头寸加上看涨期权长头寸 包括单一期权和股票的策略 利润 ST K 2010年10月27日 可编辑 32 看跌期权长头寸及股票长头寸 称为保护性看跌期权 protectiveput 包括单一期权和股票的策略 利润 ST K 2010年10月27日 可编辑 33 看跌期权短头寸与股票短头寸 包括单一期权和股票的策略 利润 ST K 2010年10月27日 可编辑 34 差价 Spreads 指将两个或更多个相同类型的期权组合在一起的交易策略 牛市差价 Bullspread 1 买入较低执行价格的看涨期权 同时卖出同一期限 同一股票 但具有较高执行价格的看涨期权 2 预期股票价格会上涨 3 需要初始投资 4 也可以通过买入较低价格的看跌期权 卖出较高价格的看跌期权来构造一个牛市差价 初始现金流为正 但收益为负或为零 差价交易策略 2010年10月27日 可编辑 35 牛市差价 K1 K2 ST 由看涨期权所构造的牛市差价的收益 2010年10月27日 可编辑 36 投资者预期股票价格下跌 买入较高执行价格的看跌期权 同时卖出同一期限 同一股票的较低执行价格的看跌期权 需要初始投资 熊市差价 2010年10月27日 可编辑 37 熊市差价 由看跌期权所构造的熊市差价的收益 2010年10月27日 二叉树模型 可编辑 38 二叉树 Binomialtree 模型由Cox Ross和Rubinstein在1979年提出 二叉树描述了股票价格的变化路径 假定股价服从随机游动 randomwalk 在每个节点 股票价格可能向上变动 也可能向下变动 当步长足够小时 二叉树中的股票价格趋于对数正态分布 lognormaldistribution 2010年10月27日 可编辑 39 当前股价为20美元 假设3个月后 股价会变为22美元 或18美元 单步二叉树模型 2010年10月27日 可编辑 40 期限为3个月的看涨期权的执行价格为21美元要求确定期权的价格 单步二叉树模型 股价 18期权价值 0 2010年10月27日 可编辑 41 考虑一个用股票和期权建立的投资组合 使得在3个月后不论股价发生何种变动 这个投资组合的价值都不变 因为组合的价值没有不确定性 无风险 因此组合的收益应该是无风险利率 用无风险利率把组合在3个月后的价值贴现到今天 从而计算出期权的价值 组合构建如下 1 持有 数量的股票长头寸2 持有一个期权短头寸假设期权的价格为f 组合在今天的价值为 S0 f 单步二叉树模型 2010年10月27日 可编辑 42 在3个月后 组合的价值如下图所示因此当22 1 18 时 组合没有任何风险 求得 0 25 组合在3个月后的价值为4 5美元 无论股价上涨或下跌 假设无风险利率为年率12 组合在今天的价值为因此 期权的价格为 单步二叉树模型 2010年10月27日 可编辑 43 单步二叉树模型 推广到一般情况 假定股票价格为S0 一个期权的价格为f 假定期权的期限为T 在期权期限内 股票价格或者会上涨到S0u 或者会下降到S0d 其中u 1 d 1 并且ud 1 当股票价格为S0u时 期权收益为fu 当股票价格为S0d时 期权收益为fd 2010年10月27日 可编辑 44 考虑一个投资组合 持有 数量的股票 并卖出一个期权 组合在期末的收益如下 要使组合没有风险 我们需要有S0u u S0d d 因此 单步二叉树模型 S0uD u S0dD d 2010年10月27日 可编辑 45 单步二叉树模型 因为组合无风险 所以组合的收益率必须等于无风险利率 组合的初始价格为S0 f 因此有代入 并化简 求得其中 股票期望收益的无关性上式中未出现股票上涨或下跌的概率 因为期权价格是依据股票价格来计算的 股票价格上涨或下跌的概率已经包含在股价中 2010年10月27日 我们可以把单步二叉树分析推广到两步二叉树模型 每一步的步长为3个月 任意一步间股价上涨或下跌10 行权价为21元 无风险利率为12 可编辑 46 两步二叉树模型 2010年10月27日 可编辑 47 两步二叉树模型 201 2823 22 18 24 23 2 19 80 0 16 20 0 2 0257 0 0 A B C D E F 在节点B的期权价值为在节点A的期权价值为 2010年10月27日 可编辑 48 两步二叉树模型 两步二叉树也可以用于对看跌期权定价 考虑一个两年期的看跌期权 期权行权价为52元 当前股价为50元 假定股价服从步长为1年的两步二叉树 每步上涨或下跌20 无风险利率为5 下图给出了各节点期权价值 2010年10月27日 可编辑 49 美式期权 基本原理与欧式期权一样 但在每个节点需检验提前行使期权是否最优 每个节点上的期权价值为以下两个数值中的较大者 1 根据计算出的期权价格2 提前行权的收益假设上例中的看跌期权为美式期权 则各节点期权价格如下图 2010年10月27日 前面在构建无风险组合时提到过Delta Delta在期权定价及风险对冲过程中是个很重要的变量 Delta定义为期权价格变化与股票价格变化之间的比率 当时Delta可解