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高中数学必修1基础知识第一章 集合与函数概念一、集合有关概念：1、集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为 ，把一些元素组成的总体叫做 。2、集合的中元素的三个特性：（1）元素的 ； （2）元素的 ； （3）元素的 说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。 (4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。3、集合的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋（1）用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5（2）集合的表示方法：列举法与描述法。（）列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。（）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。语言描述法：例：不是直角三角形的三角形数学式子描述法：例：不等式x-32的解集是xR| x-32或x| x-32（3）图示法（文氏图）。4、常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： 正整数集 或 整数集 有理数集 实数集 5、“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 ，相反，a不属于集合A 记作 6、集合的分类：1有限集 含有有限个元素的集合2无限集 含有无限个元素的集合3空集 不含任何元素的集合二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集对于两个集合A与B，如果集合A的 都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的 ，记作 注意： 有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作 或 集合A中有n个元素,则集合A子集个数为 2“相等”关系对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B 任何一个集合是它本身的子集。AA真子集:如果 那就说集合A是集合B的真子集，记作 如果 AB, BC ,那么 如果AB 同时 BA 那么 3. 不含任何元素的集合叫做 ，记为 规定: 空集是任何 的子集， 空集是任何 的真子集。三、集合的运算运算类型交 集并 集补 集定 义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集记作AB（读作A交B），即AB=x|xA，且xB由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集记作：AUB（读作A并B），即AUB =x|xA，或xB)全集：一般，若一个集合含有我们所研究问题中这几道的所有元素，我们就称这个集合为全集，记作：U设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集记作，CSA=韦恩图示SA二、函数的有关概念1函数的概念：设A、B是 ，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的 数x，在集合B中都有 的数f(x)和它对应，那么就称f：AB为从集合A到集合B的一个函数记作： y=f(x)，xA其中，x叫做自变量， A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值， 叫做函数的值域注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式定义域补充：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母 ； (2)偶次方根的被开方数 ； (3)对数式的真数 ；(4)指数、对数式的底必须 . (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)2、构成函数的三要素：注意：（1）构成函数三个要素是 由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的 和 完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）。（2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：定义域一致；表达式相同 (两点必须同时具备)值域补充(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其 . (2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础。3. 函数图象知识归纳(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x A)的图象C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 . 即记为C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法：A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.B、图象变换法：常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换、对称变换:（1）函数y=f(x) 关于X轴对称 （2）函数y=f(x) 关于Y轴对称 （3）函数y=f(x) 关于原点对称 、平移变换: 由f(x)得到f(xa) 左加右减； 由f(x)得到f(x)a 上加下减(3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路；C、提高解题的速度；发现解题中的错误。4区间的概念（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3）区间的数轴表示5、函数的表示法：常用的函数表示法及各自的优点：1 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值补充一：分段函数在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集补充二：复合函数如果y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为f是g的复合函数。6函数单调性（1）增函数设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1x2时，都有 ，那么就说f(x)在区间D上是增函数。区间D称为y=f(x)的单调增区间；如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2 时，都有 ，那么就说f(x)在这个区间上是减函数.区间D称为y=f(x)的单调减区间.注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2、必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1x2时，总有f(x1)f(x2) （或f(x1)f(x2)）。（2） 图象的特点如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是 ，减函数的图象从左到右是 .(3).函数单调区间与单调性的判定方法(A) 定义法：1 任取x1，x2D，且x10且a12、指数函数的图象和性质0a1 图像性质定义域 , 值域 （1）过定点 ,即x= 时，y= (2)在R上是 (2)在R上是 （3）当x0时,0y1;当x1（3）当x0时,y1;当x0时,0y0且a1；2. 真数N0 3. 注意对数的书写格式2、两个重要对数：（1）常用对数：以10为底的对数, ；（2）自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , 3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式对数底数 a 幂底数对数 x 指数真数 N 幂结论：（1）负数和零没有对数（2）logaa= , loga1= 特别地， lg10=1, lg1=0 , lne=1, ln1=0(3) 对数恒等式： （二）对数的运算性质如果 a 0，a 1，M 0， N 0 有：1、 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和2 、 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差3 、 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍说明:1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”2) 有时可逆向运用公式3) 真数的取值必须是(0,)4) 特别注意： 注意：换底公式（二）对数函数1、对数函数的概念：函数 (a0，且a1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+）注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数（2） 对数函数对底数的限制：a0，且a12、对数函数的图像与性质：对数函数(a0，且a1)0 a 1a 1图像yx0(1,0)yx0(1,0)性质定义域： 值域： 过点 , 即当x 1时,y0在(0,+)上是 在(0,+)上是 当x1时，y0当x=1时，y=0当0x0 当x1时，y0当x=1时，y=0当0x1时，y0;当a,b不同在(0,1) 内，或不同在(1,+) 内时,有logab0 时，幂函数的图象通过原点，并且在0,+ ）上是 特别地，当1时，幂函数的图象下凸；当01时，幂函数的图象上凸；（3）0 时，幂函数的图象在（0，+）上是 在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴 ）2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根函数y=f(x)的图象与x轴有交点函数y=f(x)有零点3、零点定理：函数y=f(x)在区间a,b上的图象是，并且 有 ,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点：（1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根；（2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)1）0，方程f(x)=0有 ，二次函数的图象与x轴有 ，二次函数有 2）0，方程f(x)=0有 ，二次函数的图象与x轴有 ，二次函数有一个二重零点或二阶零点3）0，方程f(x)=0 ，二次函数的图象与x轴 ，二次函数 二、二分法1、概念：对