电磁场与电磁波-第7章.ppt

电磁场与电磁波 第七章时变电磁场 场与源 散度和旋度是研究矢量场的首要问题 静态电磁场 动态电磁场 静电场 恒定电流场 恒定磁场 时变场 正弦电磁场 电磁波 复矢量 位函数 天线 辐射 脉络 边值问题 电磁感应 主要内容位移电流 麦克斯韦方程 边界条件 位函数 能流密度矢量 正弦电磁场 复能流密度矢量 1 位移电流2 麦克斯韦方程3 时变电磁场边界条件4 标量位与矢量位5 位函数方程求解6 能量密度与能流密度矢量 7 时变电磁场惟一性定理8 正弦电磁场9 麦克斯韦方程的复矢量形式10 位函数的复矢量形式11 复能流密度矢量 认识和发展过程 19世纪以前 人们曾认为电和磁是互不关联的两种东西 自从发现了电流的磁效应 人们开始注意到电流 运动电荷 与磁场之间的关系 但在很长的时间里 只能看到电流产生磁场 而不能认识到磁场产生电流 1831年 法拉第发现电磁感应现象 表明变化的磁场将会产生电场 实现了磁生电 并揭示了变化的磁通与感应电动势的关系 认识和发展过程 麦克斯韦在前人实践和理论的基础上对整个电磁现象做了系统的研究 提出了两个观点 观点一 变化磁场产生感应 涡旋 电场 法拉第的电磁感应定律是针对回路而言 而麦克斯韦认为不论空间有无导体 有无介质都适用 只不过有回路时 表现为 转圈的场 在推动电荷移动 磁场与电场联系的一个方面 变化磁场产生变化电场 观点二 由于非恒定电流电路中安培环路定律的应用出现矛盾 麦克斯韦又提出了位移电流的假说 认识和发展过程 位移电流的引入 修正和完善了安培环路定律 揭示了时变电场产生时变磁场 电磁感应定律表明 时变磁场可以产生时变电场 因此 麦克斯韦预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波 1887年 赫兹首次用实验证实了电磁波的发生与存在 静态场中 导出电流连续性原理 电荷守恒定律 时变电磁场电荷守恒定律不能推出电流连续性原理 位移电流不是电荷的运动 而是一种人为定义的概念 7 1位移电流 式中具有电流密度量纲 将代入 位移电流 电流连续是客观存在的物理现象 真空电容器通交流隔直流 7 1位移电流 静电场的高斯定律适用于时变电场 麦克斯韦将称为位移电流密度 全电流连续性原理 传导电流 运流电流及位移电流 位移电流密度是电通密度的时间变化率 或者说是电场的时间变化率 7 1位移电流 求得 静电场中 不存在位移电流 时变电场 电场变化越快 产生的位移电流密度也越大 在良导体中 传导电流密度 因此 在电导率较低的介质中可能 麦克斯韦认为位移电流也可产生磁场 因此安培环路定律变为 7 1位移电流 全电流定律 它表明时变磁场是由传导电流 运流电流以及位移电流共同产生的 电磁感应定律表明 时变磁场可以产生时变电场 因此 麦克斯韦预见时变电场与时变磁场相互转化的特性可能会在空间形成电磁波 7 1位移电流 位移电流的引入 修正和完善了安培环路定律 揭示了时变的电场产生时变磁场 在上述两个观点的基础上 麦克斯韦总结出将电磁场统一为一体的一组方程式 即麦克斯韦方程组 该方程组不仅可以描述时变的电磁场 而且覆盖了静态电磁场的情况 7 2麦克斯韦方程 静态场中的高斯定律及磁通连续性原理对于时变电磁场仍然成立 那么 对于时变电磁场 麦克斯韦归纳为如下4个方程 积分形式 微分形式 时变电场是有旋有散的 时变磁场是有旋无散的 但是 时变电磁场中的电场与磁场是不可分割的 因此 时变电磁场是有旋有散场 在无源区中 时变电磁场是有旋无散的 7 2麦克斯韦方程 电场线与磁场线相互交链 自行闭合 从而在空间形成电磁波 时变电场与时变磁场处处相互垂直 为了完整地描述时变电磁场的特性 麦克斯韦方程还应包括电荷守恒方程以及说明场与介质关系的方程 即 代表产生时变电磁场的电流源或非电的外源 7 2麦克斯韦方程 麦克斯韦方程组中各方程不是完全独立的 可由第 方程导出第 方程 或反之 对于静态场 则 麦克斯韦方程变为静电场方程和恒定磁场方程 电场与磁场不再相关 彼此独立 在简单的形式下隐藏着深奥的内容 这些内容只有仔细的研究才能显示出来 方程是表示场的结构的定律 它不像牛顿定律那样 把此处发生的事件与彼处的条件联系起来 而是把此处的现在的场只与最邻近的刚过去的场发生联系 爱因斯坦 1879 1955 对于麦克斯韦方程的评述 这个方程的提出是牛顿时代以来物理学上的一个重要事件 它是关于场的定量数学描述 方程所包含的意义比我们指出的要丰富得多 假使我们已知此处的现在所发生的事件 藉助这些方程便可预测在空间稍微远一些 在时间上稍微迟一些所发生的事件 7 2麦克斯韦方程 麦克斯韦方程除了对于科学技术的发展具有重大意义外 对于人类历史的进程也起了重要作用 正如美国著名的物理学家弗曼所述 从人类历史的漫长远景来看 即使过一万年之后回头来看 毫无疑问 在19世纪中发生的最有意义的事件将判定是麦克斯韦对于电磁定律的发现 与这一重大科学事件相比之下 同一个十年中发生的美国内战 1861 1865 将会降低为一个地区性琐事而黯然失色 7 2麦克斯韦方程 处于信息时代的今天 从婴儿监控器到各种遥控设备 从雷达到微波炉 从地面广播电视到太空卫星广播电视 从地面移动通信到宇宙星际通信 从室外无线广域网到室内蓝牙技术 以及全球卫星定位导航系统等 无不利用电磁波作为信息载体 无线信息高速公路使人们能在任何地点 任何时间同任何人取得联系 如此广泛的应用说明了麦克斯韦和赫兹对于人类文明和进步的伟大贡献 7 2麦克斯韦方程 各向同性线性介质 7 3边界条件 在任何边界上 磁通密度的法向分量连续 矢量形式 各向同性线性介质 在任何边界上电场强度的切向分量连续 矢量形式 磁通密度的时间变化率有限 电通密度的法向分量边界条件与介质特性有关 一般情况下 由高斯定律 矢量形式 式中 S为边界表面上自由电荷的面密度 7 3边界条件 两种理想介质的边界上 各向同性线性介质 磁场强度的切向分量边界条件也与介质特性有关 一般情况下 边界上无表面电流 只要电通密度的时间变化率有限 矢量形式 在理想导电体表面上可以形成表面电流 此时磁场强度的切向分量不再连续 在理想导电体内部不可能存在时变电磁场及时变的传导电流 它们只可能分布在理想导电体的表面 E t B t J t 0 E 0 J E H 0 E 0 J 0 H 0 7 3边界条件 已知在任何边界上 电场强度的切向分量及磁通密度的法向分量是连续的 因此理想导体表面上不可能存在电场切向分量及磁场法向分量 即时变电场必须垂直于理想导电体的表面 而时变磁场必须与其表面相切 7 3边界条件 因 由前式得 由于理想导电体表面存在表面电流JS 令表面电流密度的方向与积分回路构成右旋关系 因 求得 7 3边界条件 例已知内截面为a b的矩形金属波导中的时变电磁场的各分量为 其坐标如图所示 试求波导中的位移电流分布和波导内壁上的电荷及电流分布 波导内部为真空 解 求得位移电流为 在y 0的内壁上 在y b的内壁上 在x 0的侧壁上 在x 0及x a的侧壁上 因 所以 在x a的侧壁上 本讲小结 麦克斯韦关于电磁场的理论可以概述为四个方程 麦克斯韦方程组 三个关系 场量与介质的关系 两个观点 涡旋电场和位移电流 一个预言 电磁波的存在 它们是宏观电磁场与电磁波的理论基础 回顾 麦克斯韦方程 积分形式 微分形式 全电流定律 电磁感应定律 磁通连续性原理 高斯定律 位移电流 全电流连续 全电流定律 回顾 电荷守恒方程介质特性方程 回顾 边界条件电场切向分量连续 无条件 磁通密度法向分量连续 无条件 电通密度法向分量连续 无表面自由电荷时 磁场强度切向分量连续 无表面电流时 特例 理想导体表面 回顾 标量电位静电场为无旋场 故电场强度可写为一标量函数的负梯度 该标量函数称为标量电位 矢量磁位恒定磁场为无散场 故磁通密度可写为一矢量函数的旋度 该矢量函数称为矢量磁位 时变场中 时变磁场激发的电场是有旋的 有散和有旋的场 它不可能单独用一个位函数来描述 本讲主要内容 标量位与矢量位 场 源 位函数方程的求解 滞后位 能量密度与能流密度矢量 能量守恒 时变电磁场惟一性定理 7 4矢量位和标量位 场与源的关系复杂 均匀线性各向同性介质中 由矢量恒等式 与电荷 电流有关 与电流有关 方程相互关联 7 4矢量位和标量位 在时变场中 磁通密度仍然无散 可见 矢量场为无旋场 因此可以表示为一个标量场 的梯度 标量位 矢量位 当矢量位与时间无关时 矢量磁位 标量电位 均匀线性各向同性介质中 由矢量恒等式 7 4矢量位和标量位 令 仅与电荷有关 仅与电流有关 方程相互独立 洛仑兹条件 原来电磁场的矢量方程为 4个坐标分量 位函数方程为一个矢量方程和一个标量方程 在直角坐标系中 实际上等于求解1个标量方程 6个坐标分量 7 4矢量位和标量位 当时变点电荷位于坐标原点时 其场分布与 及 无关 在除坐标原点以外整个无源空间 位函数 满足 先求解时变点电荷的标量位 再利用叠加原理导出分布的时变体电荷的标量位 其中 7 5位函数方程求解 标量位方程 函数 r 的通解为 式中的第二项不符合实际的物理条件 舍去 位于原点的时变点电荷产生的标量位为 已知位于原点的静止点电荷产生的电位为 类比知函数f1为 7 5位函数方程求解 位于原点的时变点电荷的标量位 位于V 中的体电荷 在r处产生的标量位为 7 5位函数方程求解 将矢量位方程在直角坐标系中展开 则矢量位A各个分量均满足结构相同的非齐次标量波动方程式 即 三个分量合成后 矢量位的解为 式中 V 为电流J的分布区域 7 5位函数方程求解 空间某点在时刻t产生的位必须根据时刻的源分布进行求积 这就表明 位于r 处的源产生的场传到r处需要一段时间 这段时差就是 为源点至场点的距离 因此v代表电磁波的传播速度 7 5位函数方程求解 电磁波的传播速度与介质特性有关 光速 若某一时刻源已消失 只要前一时刻源还存在 它们原来产生的空间场仍然存在 这就表明源已将电磁能量释放到空间 这种现象称为电磁辐射 真空中 静止电荷或恒定电流一旦消失 它们产生的场也随之失去 因而静态场称为束缚场 没有辐射作用 7 5位函数方程求解 源变化越快 空间滞后越大 即使在源附近也有显著的电磁辐射 所以似稳场和辐射场的区域划分不仅取决于空间距离 也和源的变化快慢有关 时变源的附近 时差很小 场强的变化基本上与源同步 所以近处的时变场称为似稳场 离开时变源的远处 由于时差很大 辐射效应显著 所以远处的时变场称为辐射场 为了向空间辐射电磁能量 必须使用高频电流激励发射天线 而通常50Hz的交流电不可能有效地辐射电磁能量 7 5位函数方程求解 由于 和A随时间的变化总是比源落后 因此 位函数 及A通常称为滞后位 前式第二项中的因子意味着场比源导前 这就不符合先有源后有场的因果关系 它又可理解为向负r方向传播的波 也就是来自无限远处的反射波 因子又可写为 对于点电荷所在的无限大自由空间 这种反射波不可能存在 7 5位函数方程求解 面分布及线分布的电荷及电流产生的标量位和矢量位分别如下 注意前提 均匀线性各向同性的介质 7 5位函数方程求解 7 6能量密度与能流密度矢量 静态场的能量密度公式及损耗功率密度公式完全可以推广到时变电磁场 电场能量密度 磁场能量密度 损耗功率密度 时变电磁场的能量密度为 对于各向同性线性媒质 为了衡量这种能量流动的方向及强度 引入能量流动密度矢量 能量流动密度矢量在英美书刊中称为坡印亭矢量 在俄罗斯书刊中称为乌莫夫矢量 7 6能量密度与能流密度矢量 其方向表示能量流动方向 其大小表示单位时间内垂直穿过单位面积的能量 或者说 垂直穿过单位面积的功率 时变场的能量密度是空间及时间的函数 时变电磁场的能量会流动 无外源区V中 线性各向同性介质中麦克斯韦方程为 对区域V求积分 7 6能量密度与能流密度矢量 由矢量恒等式 由高斯散度定理 根据能量密度的定义 时变电磁场的能量定理 任何满足麦克斯韦方程的时变电磁场均必须服从该能量定理 该式中左端代表单位时间内体积V中减少的储能 右端第二项代表体积中单位时间内的能量损耗 右端第一项代表垂直穿过单位面积的功率 电磁场的能量定理表明 单位时间内体积V中减少的储能等于流出该体积的能量和体积内消耗的能量之和 7 6能量密度与能流密度矢量 矢量代表垂直穿过单位面积的功率 能流密度矢量S 单位为W m2 可见S E及H三者相互垂直 且由E至H与S构成右旋关系 7 6能量密度与能流密度矢量 能流密度矢量的瞬时值为 能流密度矢量的瞬时值等于电场强度和磁场强度瞬时值的乘积 只有当两者同时达到最大值时 能流密度才达到最大 若某一时刻电场强度或磁场强度为零 则在该时刻能流密度矢量为零 7 6能量密度与能流密度矢量 7 7时变电磁场惟一性定理 在闭合面S包围的区域V中 当t 0时刻的电场强度E及磁场强度H的初始值给定时 又在t 0的时间内 只要边界S上的电场强度切向分量Et或磁场强度的切向分量Ht给定后 那么在t 0的任一时刻 体积V中任一点的电磁场由麦克斯韦方程惟一地确定 利用能量定理 采用反证法可证明之 E r 0 H r 0 E r t H r t 回顾 时变场的标量位与矢量位位函数方程的求解 滞后位 能量密度与能流密度矢量 能量定理 时变场惟一性定理 本讲主要内容 正弦电磁场麦克斯韦方程的复矢量形式位函数的复矢量形式复能流密度矢量 7 8正弦电磁场 正弦电磁场的场强方向与时间无关 但其大小随时间的变化规律为正弦函数 式中 Em r 为正弦时间函数的振幅 为角频率 e r 为正弦函数的初始相位 任一周期性或非周期性的时间函数在一定条件下均可分解为很多正弦函数之和 因此 着重讨论正弦电磁场是具有实际意义的 正弦电磁场又称为时谐电磁场 电场强度可用一个与时间无关的复矢量表示为 已知场的变化落后于源 但是场与源的时间变化规律相同 所以正弦电磁场的场和源的频率相同 频率相同的正弦量之间的运算可以采用复矢量方法 即仅考虑正弦量的振幅和空间相位 而略去时间相位 t 瞬时矢量和复矢量的关系为 正弦电磁场是由正弦的时变电荷与电流产生的 7 8正弦电磁场 实际中常使用有效值 式中 最大值复矢量和有效值复矢量的之间的关系 复矢量仅为空间函数 与时间无关 注意 只有频率相同的正弦量之间才能使用复矢量的方法进行运算 7 8正弦电磁场 7 9麦克斯韦方程的复矢量形式 正弦电磁场的场与源的频率相同 因此可用复矢量形式表示麦克斯韦方程 因正弦时间函数的时间导数为 或 上式任何时刻均成立 虚部符号消去 同理 上述方程称为麦克斯韦方程的复矢量形式 式中各量均为有效值 7 9麦克斯韦方程的复矢量形式 7 9麦克斯韦方程的复矢量形式 复数形式 r 瞬时形式 解先求有效值的复矢量形式为 7 9麦克斯韦方程的复矢量形式 例已知真空区域中的时变电磁场的电场瞬时值为 试求磁场强度的复矢量形式 电场仅有y分量 又 7 10位函数的复矢量形式 对于正弦函数 时间滞后因子表现的相位滞后为 令 洛伦兹条件的复矢量形式 正弦电磁场与位函数的关系 7 11复能流密度矢量 时变电磁场的电场及磁场能量密度的瞬时形式为 最大值复矢量形式为 或表示为 式中 及分别为复