第9章-湍流基础.doc

第9章 湍流基础透平叶栅中的流动是一种性质极为复杂的流动，由于在现代透平中流动的雷诺数很高，同时透平转子对流动的强烈影响，都使得流道中的实际流动呈现湍流状态。 如果仍然采用层流模型进行数值研究，结果与真实值间的差距就会加大。此外，湍流其本身也是一个很复杂的问题，一方面它是流体力学领域中尚未解决的问题之一；另一方面，在求解湍流模型的过程中还会产生很多数学上的问题。 如此一来，叶栅流道内的三维湍流的数值计算就吸引了众多的学者和工程技术人员。 9.1 湍流的基本概念9.1.1 湍流的概念和基本结构自然界中的流动问题和工程实践中所处理的各种流体运动问题更多的是湍流流动问题。 如水在江河中的流动水通过各种水工建筑物、水处理建筑物的流动，管道中水的流动，污染物质在河流及海洋中的扩散，大气边界层流动等均多为湍流。 湍流是不同于层流的又一种流动形态。 英国的雷诺于1883年，通过其著名的圆管实验深入的揭示了这两种不同的粘性流动形态。 虽然一百多年来人们对湍流的研究不断深入，但是由于湍流运动的极端复杂性，它的基本机理至今仍未被人们所掌握，甚至至今仍然没有一个精确的定义。 雷诺（Osborne Reynolds,1842年1912年）把湍流定义为一种蜿蜒曲折、起伏不定的流动（sinuous motion）。 泰勒（GITaylor 1886年1975年）和冯卡门对湍流的定义是“湍流是常在流体流过固体表面或者相同流体分层流动中出现的一种不规则的流动”。 欣策（JOHinze ）在他的著作“Turbulence”一书中则认为湍流的更为确切的定义应该是“湍流是流体运动的一种不规则的情形。 在湍流中各种流动的物理量随时间和空间坐标而呈现出随机的变化，因而具有明确的统计平均值”。 同时，在这本书中还把泰勒和卡门对湍流所下定义中提到的两种流动状况给予专门名称：“壁面湍流”表示流过固体壁面的湍流，“自由湍流”表示流动中没有固体壁面限制的湍流流动。 湍流的运动极不规则，极不稳定，每一点的速度随时间和空间都是随机变化的，因此其结构十分复杂。 现代湍流理论认为：湍流是由各种不同尺度的涡构成的，大涡的作用是从平均流动中获得能量，是湍流的生成因素，但这种大涡是不稳定的，它不断地破碎成小涡。 换句话说，从低频的大涡到高频的小涡是一个能量级联过程，这个过程一直进行到湍动能的耗散。 如果没有连续的外部能量的提供，湍流将逐渐衰退消失，但是湍流应力和平均流动的速度梯度之间的相互作用通过频谱提供能量来防止湍流的衰退，这个过程称作“湍流的生成过程”，且能量相对粘性耗散的产生率是一个测量流动均衡状态的量。 湍流流动是一种大雷诺数、非线性、三维非定常流动。 它具有随机性、扩散性、耗散性、有旋性、记忆特性和间歇现象等特点，运动极不规则。 为了方便研究湍流的基本特性，将湍流分为均匀湍流、各向同性湍流和各向异性湍流。 均匀湍流和各向同性湍流是湍流中最简单而且在理论上研究最多的。 所谓均匀湍流是指湍流场中任何一点同一方向的速度分量的均方值处处都是相等的，任何两点的速度相关只与该两点的相对位置有关；各向同性湍流是指湍流的湍动速度分量及其对空间导数的平均值不受坐标系在空间的方位而改变。 实际的湍流，一般都是非各向同性的。 这是由于尺度大的湍动运动的速度受到平均运动流场的影响。 但对于尺度很小的湍动运动，湍动的特性不直接依赖于平均运动流场的性质，具有各向同性的特征。 因此研究这种局部各向同性的湍流具有重要的理论和实际意义。 9.1.2 湍流的基本研究方法考虑到湍流的随机性,因此统计平均方法是处理湍流运动的基本方法。 设湍流运动的瞬时流场为: (9.1.1)瞬时流场中某一点流速u是随时间变化的。 但是湍流运动的这种非定常性并不等同于一般概念的非定常流动。 它可能是非定常的湍流，也可能仅仅是因为湍流的随机性所表现出的非定常性。 湍流中的各物理量：流速、压强等都是随机函数，具有随机函数的特点：某个量的个别测量量具有不确定性，但是大量测量结果的平均值具有确定性。 比如： (9.1.2)式中 表示的统计平均值，具有确定的函数值。 统计平均方法有很多种，在湍流研究中通常应用三种平均方法：时间平均法，空间平均法和系综平均法。 上式的方法就是系综平均法。 9.1.3 湍流的度量湍流的度量包括湍流强度，湍流尺度和湍流的能谱等。 所谓湍流强度是指脉动流速的均方根与时均流速的比值，用表示。 沿三个方向的湍流强度都相等的湍流场叫“各向同性湍流场”。 (9.1.3)脉动流速均方根 (9.1.4)所谓湍流尺度是指湍流气团翻滚脉动一个周期所扫过的距离。 (9.1.5)但是，大大小小的湍流气团的数目庞大，脉动周期或频率各不相同，脉动方向也不同，气团尺寸及湍流强度均随空间而衰减变化。 大湍流气团脉动频率低，每个周期扫过的距离长。 小湍流气团脉动频率高，每个周期扫过的距离短。 大小湍流气团之间可以扩散交换质量、动量、能量而互相影响。 所以个别湍流气团的行为是杂乱无章，随机变化的。 但是，可以按统计学法则测量湍流集体的空间平均或时间平均特征。 湍流气团沿x方向每单位质量脉动能 (9.1.6)显然与脉动频率有关。 两种特殊情况：大低小和小高大，出现的机会都很少。 若假设每单位质量湍流动能随的变化率为 (9.1.7)以为横坐标可以画出如下概率分布曲线 图 9-1 概率分布曲线9.2 湍流的统计平均方法统计平均方法是处理湍流运动问题的一个基本方法，这是由湍流的随机性质所决定的，正如前一节所介绍的。 本节将对各种统计平均法作一较详细的介绍。 9.2.1 时间平均法（时均法）在湍流流场中的一点处测量流速随时间的变化，可以得到如下图象。 u T t图9-2 流速随时间变化时均值的定义为： (9.2.1)这样就可以把湍流运动中某一固定点的瞬时流速分为两部分，即时均流速部分和脉动流速部分： (9.2.2)式中，表示脉动流速。 由定义可知脉动流速的时间平均值等于零，即： (9.2.3)从随机函数的性质可以知道是任意取值的，应不影响时均值的大小。 但是必须足够大，也就是说要有足够长的时段才能使时均值成为一个稳定值。 通常要求，是湍流的脉动周期。 由此可见，对于不恒定流动，其流速不仅是因为湍流的随机性质而时有变化，而且因流动本身也在变化，这时时均法就不适用了。 在湍流运动中所谓流动的恒定是指其在时均的意义上是恒定的。 对于时均值，有以下计算法则。 假设、为两个物理量，表示任一独立的自变量，有： (9.2.4)通常，对湍流中的各物理量进行时间平均，然后再应用N-S方程求解，是解决湍流运动问题的重要途径。 9.2.2 空间平均法湍流的随机性质不仅表现在时间上，同样也表现在空间分布上。 例如在管道中的湍流流动，在任一段距离上任一时刻的轴向速度分布都很不规则。 但如果在距离上取空间平均值： (9.2.5)式中，表示空间平均值，为任一空间起始坐标，则为一点的流速，注意各点的流速值应是同一时刻的。 要有足够的长度。 另外，空间平均值也可在一个体积范围内进行。 要求空间范围必须足够大，以保证测量流速（或其他物理量）值的样本有足够的数量。 在三维情况下，空间点的体积平均值为： (9.2.6)V为所取空间的体积,包含点,且要求足够大。 只要取值范围足够大，空间平均值就与取值范围及其位置无关。 可见，空间平均法只适用于均匀流场。 9.2.3 统计平均法（系综平均法）从上面的介绍可以知道，时间平均法适用于恒定湍流流动，而空间平均法适用于湍流的均匀流场。 对于不均匀的或非定常的湍流流动则只能应用对于随机变量的统计平均法。 它的做法是对重复多次的实验进行算术平均。 例如，流速u的统计平均值为： (9.2.7)式中表示流速的统计平均值。为第k个实验的流速值，N为重复实验的次数，要求N必须足够大。 虽然统计平均法对于流动本身不要求符合某些特殊的条件，例如它并不要求流动为定常的或是均匀的，但是利用它对湍流流动进行分析时必须同时做大量相同的试验，这是比较困难的。 反之，时间平均法和空间平均法则比较容易通过试验来确定，特别是时间平均法。 为此，应该根据湍流自身的特点运用不同的方法来研究湍流流动。 通常我们都假定流场是各态遍历的，这样就可以应用任何一种平均方法了。 9.3 湍流的基本平均方程在前一节中已经介绍了研究湍流运动的统计平均方法，本节主要是在一般粘性流体流动基本方程的基础上运用统计平均的方法建立湍流运动的时均方程和脉动方程。 包括湍流的连续方程、时均运动方程（通常称为雷诺方程）和能量方程、涡量方程。 9.3.1 湍流的连续方程粘性流动的连续方程对于湍流的瞬时运动同样适用。粘性流体的连续方程（写成相对坐标形式）是： (9.3.1)表示相对坐标系下的流动速度瞬时值。 若假定湍流是各态遍历的，在湍流马赫数1时，可以用时间平均值代替统计平均值。 以和代入，对连续方程取时间平均，并应用时均值的计算法则，可以得到： (9.3.2)即， (9.3.3)等式左端第三项表示由于湍流脉动影响而产生的质量变化。 由于在具体计算中很难处理，因此往往对以上方程进行简化：1. 一般平均法简化由于与是同数量级，记作。 可以把看作脉动值，看作瞬时值，有 (9.3.4)得到 (9.3.5)当湍动度比较小时，可以把看作脉动值，因此有 (9.3.6)其中，为湍流马赫数，当湍流马赫数远小于1，即湍流度比较小时，平均连续方程可以写为： (9.3.7)即， (9.3.8)上式适合于不可压流动或湍流度即湍流马赫数比较小的情况。2.质量加权平均法（Favre平均法）把瞬时值写成质量加权的形式为： (9.3.9)质量加权平均值 或 把（9.3.9）式两端同时乘以，再取平均值后得到： (9.3.10)推出 (9.3.11)连续方程 求平均后有： (9.3.12)即 (9.3.13)9.3.2 湍流的运动方程（雷诺方程）和推导连续方程的步骤一样，我们还是在粘性流动运动方程所表示的湍流瞬时流动方程的基础上，给出湍流的运动方程。 对运动方程 (9.3.14)在湍流马赫数1的条件下取时间平均，有 (9.3.15)注意到其它各项推导过程类似于连续方程，因此整理后得到时间平均的运动方程为： (9.3.16)9.3.3 湍流的能量方程接下来在粘性流动能量方程（相对坐标形式）的基础上推导平均形式的能量方程。 (9.3.17)注意到 代入后求平均，有 (9.3.18)即 (9.3.19)其中 称为对流换热项，若假定流动为绝热流动，可以将该项模化为。 则方程变为： (9.3.20)式中、分别表示层流和湍流情况下的导热系数，可以通过相应流态下的普朗特数和粘性系数求得： (9.3.21)9.3.4 平均湍动能方程用左点乘(9.3.16)得：(9.3.22)注意到 (9.3.23)所以有 (9.3.24)同理，用右点乘(9.3.16)可以得到： (9.3.25)把两次点乘的结果相加，考虑连续方程并注意到 (9.3.26)得： (9.3.27)对方程（(9.3.14)）应用同样的方法，可以得到 (9.3.28)对上式取时间平均，有 (9.3.29)用(9.3.29)减去(9.3.27)得： (9.3.30)整理后得平均湍动能方程： (9.3.31)由推导过程可以看出，运动方程中反映哥氏力和向心力的项均被消去，也就是说平均湍动能方程不能反映这两种力的作用。 当时， (9.3.32)所以有： (9.3.33)代入式得： (9.3.34)上式是在的条件下推出的湍动能方程。 通常情况下令，则方程变为： (9.3.35)这就是所谓的可压缩的K方程。 其中第一项表示平均湍动能当地的时间变化率。 第二项表示湍流度的输运特性。 第三项是脉动速度、压力的做功项。 第四项是平均湍动能的产生项，可以为正也可以为负。 若它为正，则它使平均运动的动能减小，相应的湍动能则增加，此时一部分能量由平均运动输运给平均运动：若该项为负则过程刚好相反。 第五项是扩散项，第六项是耗散项，最后两项是由于流体的可压缩性引起的。 通常当马赫数小于5时可以忽略。 通常用来表示耗散项，即 (9.3.36)方程可以改写为： (9.3.37)其中 和是待定系数。9.3.5 雷诺应力方程为了研究湍流内部机理和提供计算用的基本方程，除了前面介绍的一些方程外，常常还需要了解在湍流内各种相关量之间的关系。 其中一个常用的方程就是雷诺应力方程，又称应力输运方程。用左并方程(9.3.14)，得： (9.3.38)用右并方程(9.3.14)，得： (9.3.39)两式相加并考虑连续方程得： (9.3.40)对上式取时间平均得：(9.3.41)对方程(9.3.16)左并得： (9.3.42)对方程(9.3.16)右并得： (9.3.43)两个方程相加，并根据连续方程得： (9.3.44)用(9.3.41)式减(9.3.44)式得： (9.3.45)考虑到， (9.3.46a) (9.3.46b) (9.3.46c)所以式(9.3.45)可以改写为： (9.3.47)上式就是矢量形式的雷诺应力方程。 在时， (9.3.48) (9.3.49)将上式代入(9.3.47)，得： (9.3.50)这就是在时矢量形式的雷诺应力方程。9.4 湍流模型所谓湍流模型就是雷诺应力的模化。 从1895年建立了雷诺时均方程之后，雷诺应力的表达形式一直是湍流理论的中心议题之一。 一百多年来，雷诺应力的模化问题已经发展了许多方法，但就其形式和内容来讲，不过就是如下两种：（1）应用Boussinesq假设，通过代数或微分方程来确定湍流粘性系数。 主要包括“0”模型、“1”模型和“2”模型。（2）直接建立雷诺应力的代数或微分方程。 本节将对常用的几种模型作一简单介绍。 9.4.1 基于Boussinesq假设的湍流模型对于三维流动，Boussinesq假设为： (9.4.1)其中 湍流运动粘性系数湍流动力粘性系数也就是说，Boussinesq认为湍流杂乱无章的运动与分子杂乱无章的热运动有相似之处，从而仿照层流中切应力与流速梯度关系的公式： (9.4.2)而引入了一个湍流粘性系数，使湍流的雷诺应力与流场中的时均流速梯度建立了如下关系： (9.4.3)这样求解湍流流场问题就转化成为求解。 相应的，引入湍流的运动粘性系数与层流的运动粘性系数相对应。 1.“0”模型“0”模型中最具代表性的就是Prandtl于1925年提出的混合长度模型。 它是将湍流运动与分子运动作了相似的比拟而得出的。 Prandtl假设在湍流运动中，流体微团象气体分子一样是在运行某一距离后才与周围的其它流体混合，失去其原有的流动特征，而在流动过程中流体微团则保持其原有流动特征不变。 流体微团运动的这个距离称为混合长度。 它与湍流的粘性系数存在着下列关系： (9.4.4)其中 湍流的特征速度。 对于流经一固体壁面的湍流流动，时均流速分布如图所示： y x图9-3 时均流速分布流体微团原在位置,其时均流速为，这一流体微团在竖向移动了一个混合长度后与周围流体混合。 微团所到达的新位置y速度变为，差值为：利用Taylor级数展开，舍去二阶小量，得： (9.4.5)类似地，原来处于处的流体微团向下方运动时，速度之差为， (9.4.6)由竖向运动引起的速度差可以认为是y处产生脉动速度的原因，Prandtl假设： (9.4.7)当然，Prandtl的这些假设中有些问题尚未澄清，例如为什么流体微团在的距离内不与周围流体相混合而保持原有流速？脉动速度分量的确定也不能用试验所证实等等。竖向脉动速度从连续性原理可以假定它必然与具有相同的数量级，所以 (9.4.8)即湍流的特征速度可得，通常写成偏微分形式有 (9.4.9)所以 (9.4.10) (9.4.11)这样，湍流切应力与时均流速联系在一起使湍流方程不封闭问题得到了解决。 混合长度则由实验确定，它不是流体的一种物理性质而是与流动情况有关的一个度量。 很多情况下可以把与流动的某些尺度联系起来。 Prandtl假定与从固体壁面算起的法向距离y成正比，即 (9.4.12)式中 k为一常数，称为Karman常数，由实验确定。 对于圆管内的三维湍流流动，Nikurade给出了如下的计算公式来确定值： (9.4.13)式中 R圆管半径。可见，混合长度模型模型简单，不需要附加的微分方程。 只要选取合适，那么应用这种模型可以求得可靠的速度和减切应力分布。 而且在长期的使用中，人们积累了丰富的使用经验。但它也有许多缺点。 主要是它不能考虑湍流的扩散性和疏运性等性质。而且由于在有回流的区域，很难给出准确的混合长度，因而一般来讲，该模型无法计算分离流动，对于其它复杂的流动也无法给出很好的预测结果。 （2）“1”方程模型由于“0”模型的局限性，特别是要较多的依靠经验，促使人们转向追求更高级的封闭形式。湍流的一些特征量除了取决于当地的流动条件外，还取决于非当地的条件。 1945年Prandtl采用了一个微分方程来考虑湍流的输运等非当地影响因素，即“1”模型。 最常用的“1”方程模型就是通过补充湍流脉动动能方程（K方程），使时均湍流动量方程和连续方程这一不封闭的方程组得到封闭，实现求解。 对于K方程： (9.4.14)为了使它与动量方程和连续方程所组成的方程组封闭，并且便于求解，故做如下假设： (9.4.15a) (9.4.15b) (9.4.16c)而且 (9.4.17)以上各式中，为给定的实验常数，根据实验结果，通常取. 由以上假设，湍动能方程可以简化为适用于“1”方程模式所用的方程： (9.4.18)上式就是k方程的模化方程。 它与时均动量方程(9.3.16)，连续方程以及切应力的表达式（即“0”方程模型），一起组成的方程组在理论上是封闭的。 在求解过程中，一般由混合长度模型求得湍流的运动粘性系数，再由 (9.4.19)求得混合长度，再代入(9.4.18)式中进行求解。 可以说“1”方程模型从某种意义上讲比混合长度模型前进了一步。 但这并不能说明“1”方程模型比“0”模型应用更广，因为“1”方程模型的一个最大的弱点就是必须确定的值。 （3）“2”方程模型“1”方程模型虽比“0”模型更能有效地描述某些湍流运动，但对那些复杂的流动，象有回流的分离流动，其湍流尺度必须由输运方程才能确定。 因为在一定条件下，对流作用在流动中已经超过了扩散作用的影响，企图由经验方法建立简单的湍流尺度的代数表达式已经不可能了。 这样，人们就想到用微分方程来描述湍流尺度，从而形成了“2”方程模型。 所谓“2”方程模型就是指补充两个微分方程与湍流的时均动量方程（3），连续方程以及给出的湍流附加切应力的表达式（“0”模型）组成封闭的方程组，进行求解。 在“2”方程模型中，模型是应用最广的，因为耗散率的物理意义很清楚，另一方面也是一个很重要的物理参数。 根据(9.4.18)式，k方程可以变为： (9.4.20)改写为： (9.4.21)对照上式可以写出方程 (9.4.22)其中 方程(9.4.21)和(9.4.22)中，、为修正系数，一般由实验给出。 通常按经验可取： 关于模型的理论，由以上的简述中可以看出，“0”方程模型是用湍流时均动量方程和连续方程作为方程组，在把方程组中的湍流附加切应力假设为类似层流切应力的代数表达式，也就是写出的关系式，使方程组封闭。 “1”方程模式可以认为是在“0”方程模型的基础上，增加一个微分方程（K方程），然后作适当的假设（K方程模化），使方程组封闭。 而“2”方程模型可以认为是在“0”方程模型基础上，作出适当的假设，增加两个模型方程（方程），使方程组封闭。 9.4.2 雷诺应力模型以上模型都用到了湍流粘性的假设，属于“有效粘性模式”，是一种比较简单的近似，适于工程应用，但在某些流场的情况下会有较大误差。 另有一种模型雷诺应力模型，是完全脱离开湍流粘性的假设、把雷诺应力方程作为补充方程，然后作适当的近似假设，使方程组封闭。 在此只给出模型的基本思想，不做具体推导。 对于湍流的雷诺应力方程，假设密度是均匀的并且忽略质量力，则方程可以用文字表示为：对流输运=-扩散输运-应力产生+压力应变-耗散这就是直接从N-S方程推出的精确的应力方程。 若进行计算，必须将它同已知量建立联系，进行必要的模化处理。 最早的雷诺应力模型是Rotta给出的，对于一般问题采用了k，构成七个微分方程，以后又经历了许多改进。 模化处理中，最困难的就是对压力应变项的处理，目前常用的主要有Launder-Reece-Ridi和Noat-Shavit两种处理方法。 Launder 等的处理方法是假设一个组成线性雷诺应力元素的四阶张量而得出的结果；Noat等的处理方法是通过引入两点关联函数的推测形式，在对空间进行积分而得到压力应变的关系式。 若将雷诺应力模型再进一步简化，略去对流和扩散项，就可以得到所谓的代数雷诺应力模型。 9.4.3 大涡模拟前面所介绍的各种湍流模型虽然取得了很大的进展，在工程上也得到了很多成功的应用。 但是应该注意到，很难找到一种通用的模型。 于是人们就开始寻找新的途径，大涡模拟就是一种比较有希望的方法。 所谓大涡模拟是指：由于湍流的结构可以将湍流运动