数学应用题校本课程十.doc

启东市汇龙中学校本课程 高三年级 数 学 应 用 题 选 讲十 从1993年开始，数学科高考逐步加强了数学应用和实践能力的考查高考对数学应用和实践能力的考查要求是：能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题；能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能够对所提供的信息资料进行归纳、整理和分类，将实际问题抽象为数学问题，建立数学模型；应用相关的数学方法解决问题并加以验证，并能用数学语言正确地表述、说明。解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.一函数应用题【例1】(2007年北京卷,理)如图，有一块半椭圆形钢板，其半轴长为，短半轴长为，计划将此钢板切割成等腰梯形的形状，下底是半椭圆的短轴，上底的端点在椭圆上，记，梯形面积为（I）求面积以为自变量的函数式，并写出其定义域；（II）求面积的最大值【分析及解】（I）依题意，以的中点为原点建立直角坐标系（如图），则点的横坐标为点的纵坐标满足方程，解得，其定义域为（II）记，则令，得因为当时，；当时，所以是的最大值因此，当时，也取得最大值，最大值为即梯形面积的最大值为【例2】(2007年福建卷,理)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交元（）的管理费，预计当每件产品的售价为元（）时，一年的销售量为万件（）求分公司一年的利润（万元）与每件产品的售价的函数关系式；（）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润最大，并求出的最大值【分析及解】（）分公司一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：（） 令得或（不合题意，舍去），在两侧的值由正变负所以（1）当即时，（2）当即时，所以答：若，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）；若，则当每件售价为元时，分公司一年的利润最大，最大值（万元）【例3】（2006年福建卷,理）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为：已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？【分析及解】（I）当时，汽车从甲地到乙地行驶了小时,要耗油（升）.答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。（II）当速度为千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了小时，设耗油量为升，依题意得令得当时，是减函数；当时，是增函数。当时，取到极小值因为在上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。 这是一个汽车行驶耗油量的应用题,是用导数求函数的极值问题.【点评】本题已经给出了汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式,因此,只要用导数求函数的最值就可以了.【例4】(2005年，天津卷，理,文)某人在一山坡P处观看对面山项上的一座铁塔，如图所示，塔高BC=80（米），塔所在的山高OB=220（米），OA=200（米），图中所示的山坡可视为直线l且点P在直线l上，与水平地面的夹角为 , 试问此人距水平地面多高时，观看塔的视角BPC最大（不计此人的身高） . 【分析及解】如图所示，建立平面直角坐标系，则A（200，0），B（0，220），C（0，300）， 直线l的方程为即 设点P的坐标为（x，y）， 则 由经过两点的直线的斜率公式 由直线PC到直线PB的角的公式得 要使tanBPC达到最大，只须达到最小，由均值不等式 当且仅当时上式取得等号，故当x=320时tanBPC最大，这时，点P的纵坐标y为 由此实际问题知，所以tanBPC最大时，BPC最大.故当此人距水平地面60米高时，观看铁塔的视角BPC最大.【点评】这是一个解析几何与函数综合在一起的应用题,通过计算直线的斜率,一条直线与另一条直线的到角公式获得函数的表达式,求函数的最大值,可以用均值不等式,也可以用函数的单调性求解.本题也可用平面几何的知识求解.如图,设直线交直线与,当是过三点的圆的切线时, BPC最大.设此人距水平地面的高为可以求出,由切割线定理,可解得数 学 应 用 题 选 讲十一 解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.二数列应用题【例1】.(2004年福建卷，理)某企业2003年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业 的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+)万元（n为正整数）.（）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；（）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？ 【分析及解】 （）依题设，Bn=500(1+)+(1+)+(1+)600=500n100.（）BnAn=(500n100) (490n10n2)=10n2+10n100=10n(n+1) 10.因为函数y = x (x+1) 10在（0，+）上为增函数，当1n3时，n(n+1) 1012100.仅当n4时，BnAn.答：至少经过4年，该企业进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润.【点评】本题的两个数学模型分别是：不进行技术改造的纯利润为等差数列，进行技术改造后的纯利润为等比数列，注意到，分别是等差数列与等比数列的前项的和，第（）问解题时，能观察到关于的函数是一个增函数是解题的关键。 【例2】（2005年上海卷，理）假设某市2004年新建住房面积400万平方米，其中有250万平方米是中低价房。预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%。另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米。那么，到哪一年底，（）该市历年所建中低价层的累计面积（以2004年为累计的第一年）将首次不少于4750万平方米？（）当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？【分析及解】 （）设中低价房面积形成数列an,由题意可知an是等差数列.其中a1=250, d=50.则Sn=250n+50=25n2+225n,令 25n2 + 225n 4750,即而n是正整数， n10.到2013年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米.（）设新建住房面积形成数列bn,由题意可知bn是等比数列.其中b1=400, q=1.08,则bn=400(1.08)n-1,由题意可知an0.85bn,有250+（n-1）50 400(1.08)n-10.85.即,解得满足上述不等式的最小正整数n=6.到2009年底，当年建造的中低价房的面积点该年建造住房面积的比例首次大于85%。【点评】本题的第（）问该市历年所建中低价房的累计面积涉及到等差数列的前项的和.第（）问新建住房面积形成数列是一个等比数列,找准这两个数学模型,解题并不困难,而对第（）问的不等式,最好采用估算.【例3】（2005年湖南卷，理） 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，nN*，且x10.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （）求xn+1与xn的关系式； （）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明） （）设a2，为保证对任意，都有xn0，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论.【分析及解】（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， nN*，从而由（*）式得 因为x10，所以ab. 猜测：当且仅当a b，且时，每年年初鱼群的总量保持不变. （）若b的值使得xn0，nN*， 由xn+1=xn (3bxn), nN* 知 0xn0.又因为xk+1= xk (2xk)=(xk1)2+110，nN*，则捕捞强度b的最大允许值是1.【点评】本题的第（I）, （II）问不太困难,而第（）问,则首先由,及对恒成立,求出的范围为,再用数学归纳法证明:当,时,恒有成立,从而证明捕捞强度b的最大允许值是1.【例4】(2002年全国卷) 某城市规划2001年末汽车保有量为30万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%,并且每年新增汽车数量相同,为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过60万辆,那么每年新增汽车数量不应超过多少辆? 【分析及解】设2001年末汽车保有量为万辆,.以后各年的汽车保有量为(万辆) 设每年新增汽车万辆,则 , 是以为首项,为公比的等差数列. (1)当,即时,为减数列,所以 又时, .所以此时汽车保有量不超过万辆.(2)当,即时,为增数列,由于,则所以此时汽车保有量不超过万辆.由以上, 每年新增汽车数量不应超过万辆. 【点评】本题涉及的递推关系是形如的一次递推公式,这种类型的递推公式求通项公式的方法很多,题目采取构造一个等比数列的方法,也可用其他方法.在得到通项公式之后,要用函数思想去思考,首先把看作关于的指数函数,由可知,这是一个关于的减函数,因此,又要对系数进行分类讨论,另一方面还要注意题目要求该城市汽车保有量不超过60万辆,但并没有指出是多少年之后不超过60万辆,因此,应该是该城市汽车保有量永远不超过60万辆,这体现了有限与无限的数学思想,要求无穷多年都不超过60万辆,因此,应考虑汽车保有量的极限值. 数 学 应 用 题 选 讲十二 解答数学应用题是分析问题和解决问题的能力的高层次表现，反映出考生的创新意识和实践能力。从2000年新课程的试卷，突出新增加的向量，概率，导数等知识的应用性。但是应用题的范围是很广泛的，除以概率为模型之外，建立函数，数列，三角，曲线等模型解决实际问题也应该成为复习的重点。要想掌握好高考试题中应用问题的求解,重点在于提高整理分析实际问题中的数据,抽象概括出数学模型的能力和数学中的综合推理演算的能力.三其他类型的应用题北2010ABC【例1】(2006年上海卷,理)如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援（角度精确到1）？【分析及解】连接BC,在中,由余弦定理得BC2=202+10222010=700. 于是,BC=10. , =, ACB90 ACB=41乙船应朝北偏东71方向沿直线前往B处救援.这是一个与解三角形结合的应用题.【例2】(2003年全国卷)在某海滨城市附近海面有一台风.据监测,当前台风中心位于城市O(如图)的东偏南(=arccos)方向300km的海面P处,并以20km/h的速度向西偏北45方向移动.台风侵袭的范围为圆形区域,当前半径为60km,并以10km/h的速度不断增大.问几小时后该城市开始受到台风的侵袭? 【分析及解】解法1.设在时刻t(h)台风中心为Q(如图2),此时台风侵袭的圆形区域半径为10t+60(km).若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则OQ10t+60.由余弦定理知OQ2=PQ2+PO22PQPOcosOPQ. 由于PO=300,PQ=20t,cosOPQ=cos(45)=coscos45+sinsin45=+=.故OQ2=(20t)2+3002220t300=202t29600t+3002.因此202 t 29600 t +3002(10 t +60)2,即t 236 t +2880,解得12t24.图3画答:12小时后该城市开始受到台风的袭击. 解法2. 以P点为原点,正东方向为x轴的正方向,建立直角坐标系(如图). 在时刻t(h)台风中心的坐标为(10t, 10t ),台风侵袭范围的半径为10 t +60,台风侵袭的区域为(x+10t)2+(y10t)2(10 t +60)2,若在时刻t城市O受到台风的侵袭,则O(30, 210)应在台风侵袭的区域内,应有(30+10 t)2+(21010 t)2(10 t +60)2,即t 236 t +2880,解得12t24.答:12小时后该城市开始受到台风的袭击.【点评】以预测台风影响时间为背景,通过对题中给出信息的分析,准确地理解台风运动的规律,综合应用有关的知识和方法建立适当的数学模型.考查学生的空间想象能力和运用所学知识解决实际问题的能力. 解法1，主要是运用三角和不等式的知识求解，若台风运动到Q点时,城市O受到台风的侵袭,则线段OQ的长度应小于或等于此时台风侵袭范围的半径.在OPQ中,OPQ=45, PO=300km,只需计算出PQ,就可用余弦定理计算出OQ,再计算出台风侵袭范围的半径,列不等式求解即可.解法2则是由于城市O落在台风影响范围的圆形区域内,就改为适当建立坐标系,应用解析几何的知识和方法来解决: 【例3】（2006年上海春季卷） 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验.设计方案如图; 航天器运行(按顺时针方向)的轨迹方程为变轨(即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线)后返回的轨迹是以轴为对称轴,为顶点的抛物线的实线部分,降落点为,观测点,同时跟踪航天器. () 求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程; () 试问:当航天器在轴上方时,观测点测得离航天器的距离分别是多少时,应向航天器发出变轨指令.【分析及解】()设曲线方程为 由题意, 降落点在曲线上,则 于是, 曲线方程为() 设变轨点为,根据题意可知,由 得 解得 或(不合题意,舍去), 所以, . 将代入椭圆方程得或(不合题意,舍去), 所以点的坐标为. 答:当测点测得离航天器的距离分别是时,应向航天器发出变轨指令.【点评】本题是一道立意新颖,难度适中的数学应用题,题目以大家非常感兴趣的宇宙航行问题为背景,设计了航天器变轨返回试验问题,数学模型是已知的,又是大家熟悉的,问题的提出则是已知抛物线的顶点和另一点的坐标,求抛物线的方程以及求椭圆与抛物线的交点的坐标和两