初三数学寒假课程8(杭州分公司)-中点问题.doc

第八讲 中点问题教学目标（1）帮助学生系统性的复习初中阶段所学的所有关于中点的知识点。（2）使学生掌握中点在各类型题目中的应用。（3）使学生理解并掌握如何利用中点做辅助线。教学重点如何利用中点做辅助线教学难点如何利用中点做辅助线教学方法建议讲练结合，讲授、讨论结合选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类（ 3 ）道（ 5 ）道（ 3 ）道B类（ 4 ）道（ 8 ）道（ 6 ）道C类（ 1 ）道（ 3 ）道（ 3 ）道一、知识梳理1.与中点有关的内容与中点有关的内容主要包括三角形的中位线、梯形的中位线、直角三角形斜边上的中线等.（1）等腰三角形底边的中线、底边的高与顶角的角平分线“三线合一”。（2）三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半；.（3）梯形的中位线平行于两底，且等于两底和的一半；（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；（5）弦的中点与垂径定理；2.中点四边形（1）顺次连接四边形四边的中点得到一个平行四边形；（2）顺次连接对角线相等的四边形四边的中点得到一个菱形；（3）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点得到一个矩形；（4）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点得到一个正方形；二、方法归类（1）等腰三角形的底边中点：构造三线合一的基本图形。（2）直角三角形斜边中点：作斜边中线的基本图形。（3）有中线时：加倍中线构造平行四边形的基本图形。（4）涉及到面积问题时，中点可以联想到平分面积。（5）梯形与中点有关的问题：已知对角线中点时，将顶点与这个中点连接与另一底相交于一点，把梯形问题转化为三角形问题；已知一腰上中点时，把顶点与中点连接并延长与另一底相交；或过这腰中点作另一腰的平行线，把梯形问题转化为平行四边形或者三角形问题来解；或取梯形另一腰中点，构成梯形中位线问题.取梯形对角线的中点与一腰或者一底的中点连接，构成三角形的中位线，这个方法通常同样适用于普通的四边形。三、课堂精讲例题（一）直角三角形斜边的中线1.性质:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2.如果一个三角形一边中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形3.直角三角形斜边的中线将直角三角形分成两个等腰三角形例1 如图1在和中，已知分别为边和的中点，求证：【难度分级】B类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对直角三角形斜边中线性质的运用和对“三线合一”的运用.【解题思路】本题出现了直角三角形斜边的中点，那么容易联想到斜边中线的性质，另外，在已知平分的情况下证明垂直（或者已知垂直证明平分），会使我们很容易的联想到等腰三角形的“三线合一”。【解析】因为是边上的中点，且因此可知与是和的公共斜边上的中线，而已知是边上的中线，欲证，只需证明为等腰三角形，即证证:在和中，是边上的中点又是的中点，【搭配课堂训练题】1. 如图2，在四边形中，为线段的中点，连接试问：与有何关系？说明理由.【难度分级】A类试题来源经典例题答案解：= 证： 与是直角三角形， 为线段的中点， (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) =2. 如图3，在锐角中，分别是边上的高，相交于，的中点为，的中点为，连接、求证：直线是线段的垂直平分线.【难度分级】C类试题来源经典例题答案证：如图，连结, 分别是边上的高 为直角三角形 为的中点 (直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半) , (SSS) , 直线是线段的垂直平分线（二）中线倍长的用法方法：延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系。例2 如图，在中，为边上的中线，求证：【难度分级】A类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对中线倍长辅助线的运用.【解题思路】涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法。它可以将分居中线两旁的两条边、和两个角和集中于同一个三角形中，以利于问题的获解。【解析】要证明，就是证明，也就是证明两条线段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边”，但题中的三条线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证结论中，出现了，即中线应该加倍。证明：延长至，使，连，则 在和中， ()又 在中，即例3 如图6，在中，为边上的中线，交于点，交于点，且满足，求证： 【难度分级】B类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对中线倍长辅助线以及等角对等边的知识.【解题思路】首先，从结论出发，证明两条线段相等最常见的方法有两个：（1）证明两个三角形全等；（2）等角对等边，通过中线倍长的方法，将不在同一三角形的两条线段转化到同一三角形中，从而利用等角对等边证明两条线段相等.【解析】这里显然很难得到分别包含线段和线段的两个全等三角形，因而考虑等角对等边，这就需要将线段和线段放在同一三角形中，考虑延长中线一倍构成全等三角形，将线段转化.证明：延长至使得连接，在和中，()且【思考】思考一下，是否可以通过延长倍长至，再连接去证明命题结论呢？【搭配课堂训练题】1.三角形的两边长分别为3和5，试求第三边的中线长的取值范围.【难度分级】A类试题来源经典例题答案解：如图，,，为边上的中线,运用例2知识点， 在中， ， 又 .2 如图8，在中，为边上的中线，于点， 求证：【难度分级】B类试题来源经典例题答案证：延长至，使，连结， 在和中， () ， ， ， 3. 如图10，在中，为边上的中点，且求证：【难度分级】C类试题来源经典例题答案证：延长至，使，连结， 在和中， () ， ， (中垂线上的一点到两边距离相等) ， （三）三角形的中位线与梯形的中位线定义：1.连接三角形任意两边中点的线段，称为三角形的中位线；2.连接梯形两腰中点的线段，称为梯形的中位线.性质：1.三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；2.梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半.三角形的中位线和梯形的中位线，无论在位置上还是数量上都具有很重要的性质。例4 如图12在中，平分，于点，点是边上的中点，试求线段的长.【难度分级】A类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对三角形中位线的知识.【解题思路】在出现角平分线和垂直的条件时，很容易构造全等三角形，从而得到线段的中点，再与其他的中点连接构成中位线，从而方便解决问题.【解析】因为，点是边上的中点，如果点也是某一边的中点，我们就可以利用三角形的中位线定理，来求得的长度。循着这条思路，我们不妨延长，交于点，只要证明点是的中点就可以了.解：延长，交于点，平分又()且图13例5 如图13，梯形中，于，试判断与的大小，并证明你的结论.【难度分级】C类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对构造梯形中位线和直角三角形斜边中线的知识.【解题思路】从结论出发，本题为证明有关线段的不等式问题，于是我们将它与三角形边长关系联系起来，这就需要转化，构造梯形中位线和直角三角形斜边中线是本题转化的主要工具.【解析】考虑如何在图形中建立、之间的联系，一般我们想办法先转化，把他们和某几条线段建立联系，然后放在一个三角形中讨论。在这道题中，我们首先能想到的是如何转化，可以做出梯形的中位线，则有，而，使我们联想到直角三角形斜边的中线.解：结论：证明如下：分别取、的中点、，连接、和，则有显然梯形中、三点不会共线.在中有即【小结与思考】本题通过转化将所证明的线段转化到同一个三角形中，利用三角形边的关系解决问题，本例中用到了梯形的中位线的性质，同时还运用到了直角三角形斜边中线的性质，本例将中点的作用发挥的淋漓尽致.另外，思考一下为什么梯形中、三点不会共线.图14【搭配课堂训练题】1. 如图14，在中，、分别为与的平分线，于点，于点，连接，求证：.【难度分级】C类试题来源经典例题答案证：延长，分别 交于点，点， 在中，、分别为 与的角平分线，图15 于点，于点 在和中， （） ， 同理，在中， 且(三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半) .2. 如图16，在等腰梯形ABCD中，ABCD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点，若EF=18 cm，MN=8 cm，求AB的长.【难度分级】B类试题来源经典例题图16答案图17解： ABCD,中位线EF与对角线AC、BD交于M、N两点 ， cm3. 如图17，为正方形中的平分线，分别交、于点、，、相交于点.求证：【难度分级】B类试题来源经典例题图18答案证：过作CMAC交的延长线于点， 正方形，、相交于点， 为的中点，且， ，且 为正方形中的平分线， ， ， （四）四边形的中点概念： 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形.性质： 中点四边形的形状始终是平行四边形，且中点四边形的面积为原四边形面积的一半.例6 如图19，与都是等边三角形，且、D三点共线，分别取、边的中点、，连接、，试判断四边形的形状，说明理由.图19【难度分级】B类【试题来源】2010甘肃酒泉中考【选题意图】本题主要是考察学生对中点四边形知识的掌握.【解题思路】本题出现了中点四边形，显然四边形为平行四边形，另外，这里出现了两个有共同顶点的正三角形，这就很容易构造全等三角形，从而判断出为何种特殊的平行四边形.【解析】题中出现了四个中点，很显然联想到中点四边形的知识，依据中位线的性质，很容易判断出四边形为平行四边形，由于与都是等边三角形，我们知道，两个正多边形有一个顶点重合时，很容易出现依据判定的一组全等三角形，因此，这里我们连接、，依据全等可得，再利用三角形中位线的性质可得到四边形为菱形.解：四边形为菱形，证明如下：连接、，与都是等边三角形且()、分别为、边的中点四边形为平行四边形，又，为菱形.【说明】我们在遇到两个正多边形有一个顶点重合时，要想到这里会出现依据判定的一组全等三角形，如果能联想到这样的一组三角形，对我们解决问题会有很大的帮助，因而，记住一些结论和基本图形会有助于我们思考问题.图20例7 如图20，在菱形ABCD中，A=110，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，则FPC= ( )A. 35 B45C. 50 D. 55【难度分级】B类【试题来源】2009浙江杭州中考【选题意图】本题主要是考察学生对三角形中位线以及构造直角三角形斜边中线知识的掌握.图21【解题思路】本题出现了中点和垂线，三角形中位线和直角三角形斜边中线是本题的主要方法，这里还要延长线段构成“8”字的全等三角形，实现了对角的转化.【解析】考虑到E、F分别是边AB和BC的中点，只需连接AC，就可构造出三角形的中位线EF，于是可得BEF=55，又F为BC的中点，EPCD，显然让我们想到直角三角形的斜边中线，于是延长DC和EF交于点G，如图21，易证EF=FG，于是PF为RtEPG斜边的中线，FPC=FGC=BEF=55.答案：D【搭配课堂训练题】1. 如图22，D是ABC内一点，BDCD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是（ ）A7B9C10D11图22【难度分级】A类试题来源经典例题答案D【解析】考虑到E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，分别为的中位线，所以，又BDCD，BD=4，CD=3，所以，所以四边形EFGH的周长是.图232. 如图23，在ABCD中,AD=2AB,M是AD的中点，CEAB于点E，CEM=40，则DME是（ ）A.150B.140C.135D.130【难度分级】B类试题来源经典例题答案A图24【解析】考虑到在ABCD中，M是AD的中点，CEAB于点E，所以取的中点,连接,则,则且平分，所以，又在ABCD中，AD=2AB，所以,所以，所以DME=，又CEM=40，所以,所以 DME= .3. 如图25，已知：梯形ABCD中，AB/CD，且BMCM，M是AD的中点，试说明ABCD=BC. 【难度分级】B类试题来源经典例题答案图25证：取中点，连接，则 在梯形ABCD中，AB/CD，M是AD的中点，为中点 /AB/CD，且 BMCM，为中点， ABCD=BC图264. 已知：如图26，在正方形ABCD中，Q在CD上，且DQ=QC，P在BC上，且AP=CDCP.求证：AQ平分DAP. 【难度分级】B类试题来源经典例题答案证：连接，并延长交的延长线于点， 在和中， （） ， 正方形ABCD AP=CDCP= AQ平分DAP（五）弦的中点与垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.推论：平分弦（不包括直径）的直径，垂直于这条弦，并且平分弦所对的两条弧.图27例8 如图27，AB是O的直径，CD是弦，AECD于E，BFCD于F.求证：EC=DF.【难度分级】A类【试题来源】经典例题【选题意图】本题主要是考察学生对垂径定理知识的把握【解题思路】圆中常见的辅助线作垂直于弦的直径，本题主要考察垂径定理，我们还会发现出现了梯形的中位线.因而利用垂径定理和梯形中位线知识就可解决本题.【解析】我们知道四边形ABFE为直角梯形，O为腰AB的中点，这里只需取得另一腰EF的中点即可构造梯形的中位线，于是作OPCD于点P，由垂径定理，可以知道CP=DP,又OP为梯形ABFE的中位线，所以P也是EF的中点，于是问题得到解决.证明：作OPCD于点P，CP=DP又O为AB的中点，AECD，BFCDOP为梯形ABFE的中位线EP=PFEC=DF.【搭配课堂训练题】图281 如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB=10cm,CD=6cm，则AC的长为（ ）A0.5cm B1cm C1.5cm D2cm【难度分级】A类试题来源经典例题答案D【解析】我们知道在圆中垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧，故在以O为圆心的两个同心圆中，过O作于，则，.所以cm.2如图，AB为O的一固定直径，它把O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦，的平分线交O于点P，当点C在上半圆（不包括A、B两点）上移动时，点P（ ）A到CD的距离保持不变 B位置不变C等分 D随C点的移动而移动【难度分级】A类试题来源经典例题答案B【解析】考虑到在中，的平分线交于点，连接，则，设交于点，与交于，则，所以，又,所以.我们知道在圆中垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧，所以点位置不变，为中点.3. 如图，已知：在中，是直径，是弦，交于，交于求证：图30【难度分级】B类试题来源经典例题答案证：作OPCD于点P， CP=DP 在中，是直径， OP为梯形的中位线 4. 如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为.求证：【难度分级】B类试题来源。经典例题答案证：过O作于，连接，则 图31 ，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点， 四、巩固练习图32基础训练题（A类）1、如图，在ABC中，AB=AC,延长AB到D,使BD=AB,E为AB中点，连结CE,CD,求证：CD=2EC 【答案】图32证：取的中点，连接.BD=AB，为的中点图33且AB=AC，E为AB中点，为的中点在和中， （）图34 CD=2EC 2、已知：如图，在ABC中，ABAC，D、E在BC上，且DE=CD，过点E作EFAB交AD于点F，EF=AC. 求证：AD平分BAC图35【答案】如图，延长AD至G，使DF=DG,易证DEFDCG,EF=CG, EFD=G,AC=CGCAG=GEFABBAD=EFDBAD=CAD图36AD平分BAC图373、已知：如图CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线。 求证：C=BAE【答案】如图，延长AE至F，使AE=EF,易证AEDFEB再通过SAS证明ABFCDAC=BAE 提高训练（B类）图381、如图，在正方形ABCD中，AB=2，EF=2，E、F分别从D、A出发沿正方形的四边逆时针方向移动，E点回到D点时，运动停止，EF的中点为P，试描述P点的运动轨迹，说明理由，并求出运动过程中，P点轨迹所围成的图形的面积.【解析】考虑到正方形ABCD，所以图39，又AB=2，EF=2，EF的中点为P，E、F分别从D、A出发沿正方形的四边逆时针方向移动，故E从D到A时始终成立，即此时P点的运动轨迹是以A为圆心，半径为1的的圆，同理当E分别从A到B，B到C，C到D时，P点的运动轨迹分别是以B，C，D为圆心，半径为1的的圆。故P点的运动轨迹为图中4条圆弧。故P点轨迹所围成的图形的面积为图402、如图，在四边形ABCD中，ABCD，E、F分别是对角线BD、AC的中点，求证：EF.【答案】证：取的中点，连接，图41E、F分别是对角线BD、AC的中点，为的中点在中， 在中，又ABCD，在中，EF图423、已知：正方形ABCD，E、F分别为AB、AD的中点，CE、BF相交于G.求证：DG=CD.【答案】证：延长，交于点， 为的中点 易证（）图43 在正方形中，E、F分别AB，的中点， 易证（） 4、如图，AB=AE，ABAE，AD=AC，ADAC，点M为BC的中点，求证：DE=2AM【答案】简要证明，如图延长AM至N，使AM=MN,易证AMCNMB，于是可证ABNEADDE=AN=2AM图46图44图455、如图，在中，D、E分别是弧的中点，连接DE，分别交AB、AC于点F、G,求证:AF=AG.【答案】证明：如图，连接OD、OE，分别交AB、AC于点M、N,图47D、E分别是弧C的中点ODAB，且OEACAMD=ENG=Rt.又OD=OE,D=E.DFM=EGN.AFG=AGF.AF=AG.图486、如图，在四边形ABCD中，