牛吃草问题又叫牛顿问题.doc

牛吃草问题又叫牛顿问题 “牛吃草问题”主要有两种类型： 1、求时间 2、求头数 除了总结这两种类型问题相应的解法，在实践中还要有培养运用“牛吃草问题”的解题思想解决实际问题的能力。 在求出“每天新生长的草量”和“原有草量”后，已知头数求时间时，我们用“原有草量每天实际减少的草量（即头数与每日生长量的差）”求出天数。 已知天数求知数时，同样需要先求出“每天新生长的草量”和“原有草量”。 根据“（原有草量”+若干天里新生草量）天数”，求出只数解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是（1）草的生长速度（相应的牛头数吃草速度）吃的较多天数（相应的牛头数吃草速度）吃的较少天数（吃的较多天数吃的较少天数）；（2）原有草量（相应的牛头数吃草速度）吃的天数草的生长速度吃的天数；（3）吃的天数原有草量（相应的牛头数吃草速度草的生长速度）；（4）牛头数（原有草量吃的天数草的生长速度）吃草速度。这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。 牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。这类问题的数量关系（基本变形）是：1.(相应的牛头数吃草速度吃草较多的天数相应的牛头数吃草速度吃草较少的天数)（吃的较多的天数吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。2.相应的牛头数吃草速度吃草天数每天新长量吃草天数=草地原有的草。下面来看几道典型试题：例1 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可以在9周内吃光，21只猴子可以在12周内吃光，问如果有33只猴子一起吃，则需要几周吃光？（假定野果生长的速度不变） 解： 设需要 n 周吃光，由于生长速度不变，所以列式为： （21X1223X9）/（129）=（21X12一33 X n）/（12n） n = 4 这题是典型的基本公式，无须任何变换，会了例1再看例2。 例2 超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客付款了，问如果当时开设2个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了？ 解：设 2个收银台时，付款开始 n 小时就没有顾客排队，则有： 60 = （80X4160 X n）/（4n） n = 0.8 例1、例2都是最基本的，如果有个小小的变形，你是否还会呢？“牛吃草”问题世界著名的大科学家牛顿历来喜欢研究运动，他在运动和变化中考察问题他著的普通算术一书中曾提出一个有趣的数学问题：草的生长速度不变问需要多少头牛才能在18周吃完24公顷的牧草这类问题被人们称之为牛顿的“牛吃草”问题下面我们共同讨论一下这类题的特点及解法例1 牧场上有一片牧草，供24头牛6周吃完，供18头牛10周吃完假定草的生长速度不变，那么供19头牛需要几周吃完？分析：这个问题的难点在于，草一边被牛吃掉，一边仍在生长，也就是说牧草的总量随时间的增加而增加但不管牧草怎么增长，牧场原有草量与每天（或每周）新长的草量是不变的，因此必须先设法找出这两个量来我们可以先画线段图（如图51）从上面图对比可以看出，18头牛吃10周的草量比24头牛吃6周的草量多，多出的部分恰好相当于4周新生长的草量这样就可以求出草的生长速度，有了每周新长的草量，就可以用24头牛吃6周的草量减去6周新长的草量，或用18头牛吃10周的草量减去10周新长的草量，得到牧场原有的草量有了原有的草量和新长的草量，问题就能很顺利求解了解：设1头牛吃一周的草量的为一份（1）24头牛吃6周的草量246=144（份）（2）18头牛吃10周的草量1810=180（份）（3）（10-6）周新长的草量180-144=36（份）（4）每周新长的草量36（10-6）=9（份）（5）原有草量246-96=90（份）或1810-910=90（份）（6）全部牧草吃完所用时间不妨让19头牛中的9头牛去吃新长的草量，剩下的10头牛吃原有草量，有90（19-9）=9（周）答：供19头牛吃9周例2 20匹马72天可吃完32公顷牧草，16匹马54天可吃完24公顷的草假设每公顷牧草原有草量相等，且每公顷草每天的生长速度相同那么多少匹马36天可吃完40公顷的牧草？分析：同例1一样，解这个题的关键在于求出每公顷每天新长的草量及每公顷原有草量即可设1匹马吃一天的草量为一份20匹马72天吃32公顷的牧草，相当于一公顷原有牧草加上72天新长的草量，可供207232=45匹马吃一天，即每公顷原有牧草加上72天新长的草量为45份同样，由16匹马54天吃24公顷的草量，知每公顷原有牧草加上54天新长的草量为165424=36份这两者的差正好对应了每公顷72-54=18天新长的草量，于是求得每公顷每天新长的草量，从而求出每公顷原有草量，这样问题便能得到解决解：（1）每公顷每天新长的草量（207232-165424）（72-54）=0.5（份）（2）每公顷原有草量207232-0.572=9（份）或165424-0.554=9（份）（3）40公顷原有草量940=360（份）（4）40公顷36天新长的草量 0.53640=720（份）（5）40公顷的牧草36天吃完所需马匹数 （360+720）36=30（匹）答：30匹马36天可吃完40公顷的牧草例3 有三辆不同车速的汽车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一个骑车人这三辆车分别用3分钟，5分钟，8分钟分别追上骑车人已知快速车每小时54千米，中车速每小时396千米，那么慢车的车速是多少（假设骑车人的速度不变）？从图52可以看出，要求慢车的车速，只要求出慢车行8分钟的路程.慢车8分钟的路程等于路程AB加上路程BEAB表示三车出发时骑车人已骑出的一段距离，这段距离用快车行3分钟的路程AC减去骑车人行3分钟的路程BC得到，骑车人3分钟行的路程是多少，关键求出骑车人的速度，由图中可以看出，中速车行5分钟的路程AD减去快车行3分钟的路程AC恰好为路程CD，路程CD是骑车人5-3=2分钟行的路程，于是求出了骑车人的速度BE表示骑车人8分钟行的路程，也就容易求出，这样慢车的速度便可以迎刃而解了解：快车速度54千米小时=900米分钟 中速车速度396千米小时=660米分钟（1）骑车人的速度 （6605-9003）（5-3）=300（米分钟）（2）三车出发时骑车人距三车出发地的距离 9003-3003=1800（米）（3）慢车8分钟行的路程 1800+3008=4200（米）（4）慢车的车速 42008=525（米分）=31.5千米小时答：慢车的车速为每小时31.5千米例3 画展9点开门，但早几有人排队等候入场了。从第一个观众来到起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，则9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，则9点5分就没有人排队。那么第一个观众到达的时间是8点几分？ 解：设观众到场的速度为 u ，观众进场的速度为 v ，9点前观众数为 N ，第一个观众排队的时间为 t ，则有： u = （3v X 95v X5）/（95） u = 0.5v 又有 N = 3v X 90.5v X 9 = 22.5v t = 原有观众数观众到场速度 = 22.5v 0.5v = 45 所以第一个观众是提前45分钟到场的，即8点15分。“牛吃草”问题 1一片牧草，每天生长的速度相同现在这片牧草可供20头牛吃12天，或可供60只羊吃24天如果1头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么12头牛与88只羊一起吃可以吃多少天？ 2一个水池，池底有水流均匀涌出若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？3有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天假设草的每天生长速度不变现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天便将草吃完，问有羊多少只？412头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？5甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度.答案仅供参考：1设1头牛吃一天的草量为一份 60只羊相当于604=15头牛（1）每天新长的草量：（1524-2012）（24-12）=10（份）（2）原有草量：2012-1012=120（份）或 1524-1024=120（份）（3）12头牛与88只羊吃的天数：120（12884-10）=5（天）2设每台水泵每小时抽水量为一份（1）水流每小时的流入量：（57-102）（7-2）=3（份）（2）水池原有水量：57-37=14（份）或 102-32=14（份）（3）半小时内把水抽干，至少需要水泵：（14+30.5）0.5=31（台）3设一只羊吃一天的草量为一份（1）每天新长的草量：（820-1410）（20-10）=2（份）（2）原有的草量：820-220=120（份）（3）若不增加6只羊，这若干只羊吃6天的草量，等于原有草量加上42=6天新长草量再减去6只羊2天吃的草量：1202（42）-126=120（份）（4）羊的只数：1206=20（只）4设1头牛吃一周的草量为一份（1）每公顷每周新长的草量：（20612-1246）（6-4）=1（份）（2）每公顷原有草量：1246-14=4（份）（3）16公顷原有草量：416=64（份）（4）16公顷8周新长的草量：1168=128（份）（5）8周吃完16公顷的牧草需要牛数：（128+64）8=24（只