一轮全国数学听课手册(1)难点.docx

第1讲集合考试说明 1.了解集合的含义、体会元素与集合的从属关系2能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题3理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集4在具体情境中，了解全集与空集的含义5理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集6理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集7能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算.知识聚焦 不简单罗列1集合的含义与表示方法(1)集合的含义：研究对象叫作_，一些元素组成的总体叫作_集合中元素的性质：确定性、无序性、_(2)元素与集合的关系：属于，记为_；不属于，记为_(3)集合的表示方法：列举法、_和_(4)常用数集的记法：自然数集_，正整数集_，整数集_，有理数集_，实数集_，复数集_2集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A中_都是集合B中的元素xAxBAB或_真子集集合A是集合B的子集，但集合B中_有一个元素不属于AAB，x0B，x0AA_B或BA相等集合A，B的元素完全_AB，BAAB_空集_任何元素的集合空集是任何集合的子集x，x，A3集合的基本运算表示运算文字语言符号语言图形语言记法交集属于A_属于B的元素组成的集合x|xA，xB_并集属于A_属于B的元素组成的集合x|xA，xB_补集全集U中_属于A的元素组成的集合x|xU，x_A_4.集合问题中的几个基本结论(1)集合A是它本身的子集，即_；(2)子集关系的传递性，即AB，BC_；(3)AAAA_，A_，A_，UU_，U_正本清源 不单纯记忆 链接教材1教材改编 设全集U小于9的正整数，A1，2，3，B3，4，5，6，则U(AB)_2教材改编 已知集合Aa，若ABa，b，则满足条件的集合B有_个3教材改编 设全集U1，2，3，4，5，6，7，8，9，U(AB)1，3，A(UB)2，4，则集合B_ 易错问题4集合概念的易错点：忽视集合元素的互异性设集合A1，2，3，B4，5，Mx|xab，aA，bB，则M中元素的个数为_5集合间关系的易错点：忽视空集是任何集合的子集集合A1，4，7，10，13，16，19，21，则集合A有_个子集、_个真子集、_个非空子集、_个非空真子集6集合运算的易错点：忽视补集的相对性；求解补集时忽视端点值设集合Sx|x2，Tx|x23x40，则(RS)T_ 通性通法7解决集合问题的两个基本方法：列举元素法；图形表示法(1)若集合A1，2，3，B1，3，4，则AB的子集个数为_(2)已知集合Ax|0log4x1，Bx|x2，则AB_8集合中部分常见的结论：交、并运算的补集；运算关系与包含关系的转化(1)ABA_；ABA_；ABAB_(2)U(AB)_；U(AB)_ 典例探究 师生互动型探究点一集合的含义与表示1 (1)2015太原二模 已知集合Ax|y，xZ，Bpq|pA，qA，则集合B中元素的个数为()A1 B3C5 D7(2)已知集合Ax2，2x25x，12，若3A，则x的值为_总结反思 (1)研究集合问题时，一定要抓住元素这一要素，看元素应满足的属性对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性(2)对于集合相等的问题，首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验集合中的元素是否满足互异性式题 (1)集合A的所有元素是()A1，2，3，4 B2，2C2，2，4，5 D2，4，5(2)已知Aa2，(a1)2，a23a3，若1A，则实数a_探究点二集合间的基本关系2 (1)已知全集UR，则正确表示集合M1，0，1和Nx|x2x0关系的示意图是()图111(2)已知集合Px|x4，Qx|a1x2a1若QP，则a的取值范围是_总结反思 (1)要确定非空集合A的子集的个数，需先确定集合A中的元素的个数，再求解不要忽略任何非空集合是它自身的子集(2)当集合A，B满足AB时，不要忽略集合A为空集的情况(3)根据集合间的关系求参数的关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、图示法来解决这类问题式题 (1)设a，bR，集合1，a，ab，则a2b()A1 B0 C1 D不确定(2)设集合Mx|x22xa0，若M，则实数a的取值范围是()A(，1 B1，)C(，1 D1，)探究点三集合的基本运算 3 (1)2015沈阳二模 已知全集U1，2，3，4，5，A1，2，5，B2，3，5，则(UA)B()A3 B2，5 C2，3 D2，3，5(2)2015陕西卷 设集合Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN()A0，1 B(0，1C0，1) D(，1总结反思 (1)集合的运算中要根据集合的定义把参与运算的各个集合求出，再根据交、并、补的定义进行运算(2)在进行集合的运算时要注意运算的顺序(3)在进行集合的运算时，若集合中的元素是离散的，则用图示法表示；若集合中的元素是连续的，则用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍式题 (1)2015郑州一模 已知集合Ax|x2x20，Bx|yln(1x)，则AB()A(1，2) B(1，2C1，1) D(1，1)(2)2015唐山一模 已知全集U1，2，3，4，5，A1，2，4，B2，5，则(UA)B()A3，4，5 B2，3，5C5 D3学科能力 自主阅读型思想方法1.数形结合思想在集合问题中的应用【典例】 设集合Ax|(xa)21，xR，Bx|1x5，xR，若AB，则实数a的取值范围是() Aa|0a6Ba|a2或a4Ca|a0或a6Da|2a4思路先求出集合A，在数轴上标出集合A，B，再根据其交集为空集确定实数a满足的不等式即得解析CAx|1ax1a，AB，a0或a6.图112在由实数集组成的集合问题中，可以先把所涉及的集合标注在数轴上，再根据题目的要求确定解题方向，这是运用数形结合思想解决集合问题的一种重要方法.【跟踪练习】(1)已知集合Ay|yx1，B(x，y)|x2y21，则AB中元素的个数为()A0 B1 C2 D4(2)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N(IM)，则MN()AM BN CI D 第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件考试说明 1.理解命题的概念2了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系3理解必要条件、充分条件与充要条件的含义知识聚焦 不简单罗列1命题概念使用语言、符号或者式子表达的，可以判断_的陈述句特点(1)能判断真假；(2)陈述句分类_命题、_命题2四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于_，原命题的否命题等价于_，在四种形式的命题中真命题的个数只能是_3充要条件正本清源 不单纯记忆 链接教材1教材改编 命题“若整数a不能被2整除，则a是奇数”的逆否命题是_2教材改编 圆(xa)2(yb)2r2过坐标原点的充要条件是_3教材改编 已知Ax|x满足条件p，Bx|x满足条件q若AB，则p是q的_条件；若BA，则p是q的_条件；若AB，则p是q的_条件 易错问题4命题中的易错点：对条件、结论的否定不当命题“单调函数不是周期函数”的逆否命题是_5充要条件的易混点：混淆条件的充分性和必要性“x(x1)0”是“x1”的_条件6充要条件的易错点：否定形式给出的充分条件、必要条件判断错误“ab”是“a2b2”的_条件 通性通法7命题的等价关系：原命题与其逆否命题等价；逆命题与否命题等价若原命题为“若cos ，则”，则其逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为_8充分、必要条件的判断方法：定义判断法；集合判断法(1)2014浙江卷改编 设四边形ABCD的两条对角线分别为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“ACBD”的_条件(2)2015安徽卷改编 设p：x3，q：1x3，则p是q成立的_条件典例探究 师生互动型探究点一命题及其相互关系1 2015广州一模 命题“若x2，则x23x20”的逆否命题是()A若x2，则x23x20 B若x23x20，则x2C若x23x20，则x2 D若x2，则x23x20总结反思 根据原命题写出其余三种形式的命题，只要根据这三种命题的定义写出即可，但要注意一些常用词语的否定：词语是都是都不是等于大于否定不是不都是至少一个是不等于不大于式题 命题“若a，b都是偶数，则ab是偶数”的逆命题是_探究点二充分必要条件的判定2 (1)2015合肥一中月考 已知数列an为等比数列，则“a1a2a3”是“an为递增数列”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知甲：x2或y3，乙：xy5，则甲是乙的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件总结反思 判断充分条件、必要条件有两个基本方法：定义法和集合法以否定形式给出的充分条件、必要条件的判断可以根据原命题与其逆否命题的等价性，将问题转化后再进行判断式题 (1)设p：Ax|ylg(x1)，q：Bx|2x1，则p是q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)2015武汉一中月考 命题“对任意实数x1，2，关于x的不等式x2a0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是()Aa4 Ba4 Ca3 Da3探究点三充要条件的应用3 (1)若“m1x0”的充分不必要条件，则实数m的取值范围是_(2)若“xm1”是“x22x30”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是_总结反思 根据充分条件、必要条件求参数范围时，把问题转化为集合之间的包含关系，通过集合之间的包含关系确定参数范围，但要注意转化的准确性式题 设p：实数x满足x24ax3a20(a0)，q：实数x满足x2x60，且綈p是綈q的必要不充分条件，则a的取值范围是_学科能力 自主阅读型误区警示1.命题中否定不当致误【典例】 命题“若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数”的否命题是() A若f(x)是偶函数，则f(x)是偶函数B若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数C若f(x)是奇函数，则f(x)是奇函数D若f(x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数解析B由于一个命题的否命题就是命题的条件与结论分别否定，故原命题的否命题是“，则”.中均可能出现否定不当的错误，对“f(x)是奇函数”的否定只能是“f(x)不是奇函数”，而不能是“f(x)是偶函数”，因为除了奇函数和偶函数之外，还有非奇非偶函数，所以在否定时要特别注意细微的差异.【跟踪练习】(1)命题“若函数f(x)logax(a0，a1)在其定义域内是减函数，则loga20，a1)，则函数f(x)logax在其定义域内不是减函数B若loga20，a1)，则函数f(x)logax在其定义域内不是减函数C若loga20(a0，a1)，则函数f(x)logax在其定义域内是增函数D若loga20，a1)，则函数f(x)logax在其定义域内是增函数(2)2015宜昌期末 命题“若a2b20，则ab0”的否命题是()A若a2b20，则a0且b0B若a2b20，则a0或b0C若a2b20，则a0且b0D若a2b20，则a0或b0 第3讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词考试说明 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定知识聚焦 不简单罗列1命题pq，pq，綈p的真假关系表pqpqpq綈p真真真_真假_真_假真_真假假假_2.量词与含有一个量词的命题的否定(1)全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等_存在量词存在一个、至少一个、有些、某些等_(2)全称命题和特称命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立_特称命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立_(3)全称命题和特称命题的否定命题命题的否定xM，p(x)_x0M，p(x0)_正本清源 不单纯记忆 链接教材1教材改编 “函数ysin x是奇函数且是周期函数”的否定是_2教材改编 “末位是0的整数，可以被5整除”的否定是_3教材改编 “有些三角形不是等腰三角形”的否定是_ 易错问题4命题真假判断错误：给出下列说法：若命题pq为假命题，则命题p，q中至少有一个为假命题；若命题pq为假命题，则命题p，q中至少有一个为假命题；命题p，綈p中至少有一个是真命题；命题pq的否定是綈p綈q，命题pq的否定是綈p綈q.其中正确说法的序号是_5含量词的命题的否定错误：对结论的否定出错命题“xR，x20”的否定是_命题“x0R，lg x01的解集为(1，)，则命题pq，pq，綈q中真命题的个数是_8特称命题为真的判断方法：只要找到一个对象使结论成立即可命题p：x0R，2x0lg x0，命题q：xR，ex1，则()A命题pq是假命题 B命题pq是真命题C命题p綈q是真命题 D命题p綈q是假命题(2)已知命题p：函数t2ax1(a0，且a1)的图像恒过定点(1，2)，命题q：若函数yf(x1)为偶函数，则函数yf(x)的图像关于直线x1对称，则下列命题为真命题的是()Apq BpqC綈pq Dp綈q总结反思 判断由逻辑联结词组成的命题的真假时，首先判断简单命题的真假，再根据含有逻辑联结词的命题的真假规律进行判断注意下列等价关系的应用：(1)pq为真p，q中至少有一个为真綈p綈q为假；(2)pq为假p，q均为假綈p綈q为真；(3)pq为真p，q均为真綈p綈q为假；(4)pq为假p，q中至少有一个为假綈p綈q为真；(5)綈p为真p为假，綈p为假p为真式题 (1)2015北京海淀区期末 已知命题p，q，那么“pq为真命题”是“pq为真命题”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)已知命题p：在ABC中，ABsin Asin B，命题q：m，n，r成等比数列的充要条件是n2mr，则命题pq，pq，綈pq，綈q中真命题的个数是_探究点二全称命题与特称命题2 给出下列命题：xR，sin xcos x2；xR，exx1；x0R，ln x0x01；x00，sin x0x0.其中真命题的序号是_总结反思 全称命题与特称命题真假的判断方法命题名称真假判断方法一判断方法二全称命题真所有对象命题真否定为假假存在一个对象命题假否定为真特称命题真存在一个对象命题真否定为假假所有对象命题假否定为真式题 给出下列四个命题：R，sin cos 1；R，sin cos ；R，sin cos ；R，sin cos .其中真命题的序号是_探究点三含有一个量词的命题的否定3 设命题p：任意平面向量a和b，|ab|a|b|，则綈p为()A任意平面向量a和b，|ab|a|b|B存在平面向量a和b，|ab|a|b|D存在平面向量a和b，|ab|a|b|总结反思 常见命题及其否定形式命题否定p綈ppq綈p綈qxM，p(x)x0M，綈p(x0)x0M，p(x0)xM，綈p(x)式题 2015厦门质检 已知命题p：x0R，sin x0，则綈p是()Ax0R，sin x0 Bx0R，sin x0CxR，sin x DxR，sin x学科能力 自主阅读型思想方法2.化归转化思想在逻辑问题中的应用 【典例】 已知p：关于x的方程x2ax40有实根，q：关于x的函数y2x2ax4在3，)上是增函数若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是()A(12，44，) B12，44，)C(，12)(4，4) D12，)思路等价于p，q一真一假，分类求解即得解析C若p为真，则a2160，解得a4或a4；若q为真，则3，a12.若p或q是真命题，p且q是假命题，则命题p和q一真一假当p真q假时，a12；当q真p假时，4a4.故所求a的取值范围是(，12)(4，4).(1)解题中首先把不明显的问题明显化，再寻找解决问题的方法，是等价转化的一种形式本题中把“p或q是真命题，p且q是假命题”化为“p，q一真一假”，就是把不明显的问题明显化(2)解题中如果根据问题的发展需要从不同方面分别解决，那么就要分类处理，然后再整合不同方面的解题结果，从而得出问题的最后答案.【跟踪练习】(1)若p：x0R，ax022x010且a1)，ysin x，ycos x的定义域均为R.(5)ytan x的定义域为_5基本初等函数的值域(1)ykxb(k0)的值域是_(2)yax2bxc(a0)的值域：当a0时，值域为_；当a0且a1)的值域是_(5)ylogax(a0且a1)的值域是_正本清源 不单纯记忆 链接教材1教材改编 如图241所示，把截面半径为25 cm的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x cm，面积为y cm2，则y关于x的函数关系式是_图2412教材改编 函数f(x)的定义域是_3教材改编 从集合Aa，b，c到集合B1，2，3可以建立的不同映射的个数是_ 易错问题4函数概念的易错点给出下列三种说法：只要对应关系和定义域确定下来，函数就是确定的；函数f(x)是两个函数；函数yln1的定义域为(0，1其中正确说法的序号是_5两函数相同的易错点给出下列各组函数：f(x)x，f(x)；f(x)x2，f(t)；f(x)|x|，f(x)；f(x)2ln x，f(x)ln x2.其中表示同一个函数的序号是_ 通性通法6函数解析式的求法：换元法；配凑法；待定系数法(1)已知f(1)x2，则f(x)的解析式为_(2)已知f(x)是反比例函数，且满足f(3)6，则f(x)的解析式为_ 典例探究 师生互动型探究点一函数与映射的概念1 (1)下列各组中两个函数相同的是()Af(x)ln x4，g(x)4ln x Bf(x)x，g(x)()2Cf(x)cos xtan x，g(x)sin x Df(x)x2，g(x)(2)下列从集合A到集合B的对应中是映射的是()AABN*，对应关系f：xy|x3|BAR，B0，1，对应关系f：xyCAZ，BQ，对应关系f：xyDA0，1，2，9，B0，1，4，9，16，对应关系f：xy(x1)2总结反思 (1)函数是非空数集到非空数集的特殊映射，两个函数相等的充要条件是它们的定义域和对应关系完全相同(值域是由定义域和对应关系确定的)(2)判断从集合A到集合B的对应是否是映射要抓住两点：一是集合A中的每一个元素是否对应集合B中唯一确定的元素；二是集合A中的元素是否有剩余式题 下列平面直角坐标系中的图形可以作为函数图像的序号是_图242探究点二函数的定义域和值域 考向1求给定函数解析式的定义域2 2015湖北卷 函数f(x)lg的定义域为()A(2，3) B(2，4C(2，3)(3，4 D(1，3)(3，6总结反思 根据函数的解析式求函数的定义域，就是求使解析式有意义的自变量的取值范围，要注意偶次被开方式不小于零、分式中分母不等于零、对数的真数大于零等条件的应用，解题时要全面考虑，不可忽视任何一个方面式题 函数f(x)的定义域是()A.B.C.D.考向2由f(x)的定义域求fg(x)的定义域3 已知函数f(x)的定义域是0，1，则函数f(lg x)的定义域是_ 总结反思 如果f(x)的定义域为a，b，则fg(x)的定义域是ag(x)b的解集；如果函数fg(x)的定义域为a，b，则f(x)的定义域是yg(x)在a，b上的值域式题 已知函数f(ex)的定义域是(，1，则函数f(x)的定义域是_考向3已知定义域确定参数问题4 已知函数f(x)lg(x2xa)的定义域为R，则实数a的取值范围是_总结反思 根据所给函数的定义域，将问题转化为含参数的不等式(组)，进而求解参数范围式题 函数f(x)的定义域为R，则实数a的取值范围是_ 考向4函数的值域5 (1)函数yx2的值域是_(2)2015福建卷 若函数f(x)(a0，且a1)的值域是4，)，则实数a的取值范围是_总结反思 求函数值域的基本方法：(1)观察法：一些简单函数可通过观察法求值域(2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域(3)换元法：形如yaxb(a，b，c，d均为常数，且ac0)的函数常用换元法求值域，形如yax的函数用三角函数代换求值域(4)分离常数法：形如y(a0)的函数可用分离常数法求值域(5)单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域(6)数形结合法：画出函数的图像，通过函数定义域在图上确定函数值的变化范围(7)若函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解式题 (1)已知函数f(x)ln(x21)的值域为0，1，2，则满足这样条件的函数的个数为()A8B9C26D27(2)函数y的值域是_探究点三函数的解析式6 (1)已知f2x1，则f(x)_(2)已知f(x)是一次函数，且满足2f(x1)f(x1)2x1，则f(x)_(3)已知fx2，则f(x)_(4)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)2f(x)x2x，则f(x)_总结反思 函数解析式的求法：(1)换元法：已知复合函数fg(x)的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围(2)待定系数法：已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法(3)配凑法：已知fg(x)F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式(4)消去法：已知f(x)与f或f(x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，两等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)式题 (1)图243中的图像所表示的函数解析式为()图243Ay|x1|(0x2) By|x1|(0x2)Cy|x1|(0x2) Dy1|x1|(0x2)(2)某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选1名代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数yx(x表示不大于x的最大整数)可以表示为()Ay ByCy Dy探究点四分段函数7 (1)2015陕西卷 设f(x)则f(f(2)()A1 B. C. D.(2)2015山东卷 设函数f(x)则满足f(f(a)2f(a)的a的取值范围是()A. B0，1C. D1，)总结反思 在给出了分段函数解析式的问题中，主要有三种类型的问题：一是求函数值，特别是求复合函数的函数值，其方法是在不同的段上代入不同的解析式；二是研究这个分段函数的单调性，方法是根据函数在各个段上的单调性，整合为整个定义域上的单调性；三是求最值，其方法是求出函数在各个段上的最值，这些最值中最大的是最大值，最小的是最小值式题 (1)2015江南十校联考 设函数f(x)满足f(x2)2f(x)x，且当0x2时，f(x)x(x表示不超过x的最大整数