第三章 傅里叶分析难点.doc

第3章 傅里叶分析3.1 傅里叶变换概述一、 时间连续、频率连续的傅里叶变换（FT）其傅里叶变换公式为：正变换 反变换 时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域的非周期性造成频谱的连续性。二、 时间连续、频率离散的傅里叶变换傅里叶级数（FS）周期为T的周期性连续时间函数x(t)可展开成傅里叶级数，其系数为X(jk0)，X(jk0)是离散频率的非周期函数。x(t)和X(jk0)组成变换对，其变换公式为：正变换 反变换 式中，k谐波序号； 0=2/T两条相邻的离散谱线之间角频率的间隔；时域函数的连续性造成频域函数的非周期性，而时域函数的周期性造成频域函数的离散化。三、 时间离散、频率连续的傅里叶变换序列的傅里叶变换（DTFT）1. DTFT的定义序列的傅里叶变换公式为：正变换 反变换 注意：序列x(n)只有当n为整数时才有意义，否则没有定义。由于存在关系因此，序列的傅里叶变换也就是单位圆上的Z变换。时域的离散化造成频谱函数的周期性延拓，而时域的非周期性造成频域的连续性。2. DTFT的性质（1） 线性定理（2） 时移定理（3） 频移定理（4） 卷积定理注意：此处的卷积又称为线性卷积。I. 时域卷积定理若，则复习：序列的运算 序列的运算包括翻褶、移位、和、积等。（a） 翻褶 如果序列为x(n)，则x(-n)是以n=0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶。（b） 移位 如果序列为x(n)，当m为正时，则序列x(n+m)是指将序列x(n)依次逐项左移m位；当m为负时，则右移m位。（c） 和 两序列的和是指同序号（n）的序列值逐项对应相加。（d） 积两序列的积是指同序号（n）的序列值逐项对应相乘。线性卷积的几何意义：若两序列x(n)和h(n)的卷积和定义为则卷积的运算过程包含以下四步：翻褶：先在坐标系上作出h(m)，将h(m)以m=0的纵轴为对称轴翻褶成h(-m)；移位：将h(-m)移位n，即得h(n-m)；注意： h(-m) 与h(m)的移位规律恰好相反，当n为正时，则右移n位；当n为负时，则左移n位。相乘：再将相同m值所对应的h(n-m)和x(m)值相乘；相加：将上述所有对应点的乘积叠加，即得y(n)值；依次取n=，-2，-1，0，1，2，即可得到全部的y(n)值。II. 频域卷积定理若，则上述两个定理表明：离散时间序列的时域卷积对应频域相乘，而时域相乘则对应其频域卷积。（5） Parseval（帕塞瓦）定理Parseval定理表明：信号在时域的总能量就等于其频域的总能量。四、 时间离散、频率离散的傅里叶变换离散傅里叶变换（DFT）结论：一个域（时域或频域）的离散化必然造成另一个域的周期延拓。3.2 周期序列的离散傅里叶级数（DFS）一、 DFS的定义1. 周期序列的概念设是周期为N的一个周期序列，即， r为任意整数 因为在任何z值下，周期序列z变换的和式都不收敛，也就是说，周期序列不是绝对可和的，所以不能用z变换表示。 但是，和连续时间周期信号一样，周期序列可以用离散傅里叶级数来表示，也就是用周期为N的复指数序列来表示。2. 周期序列的离散傅里叶级数变换对（1） 数学推导（略，参见教材P9899）（2） 结论通过推导可见，周期序列与其离散傅里叶级数的系数组成一个变换对，且也是一个周期为N的周期序列。一般，采用符号，则周期序列的离散傅里叶级数变换公式为：正变换 反变换 3. 的性质（1） 周期性（2） 对称性（3） 正交性（重点强调）二、 DFS的性质设和均是周期为N的周期序列，且有，1. 线性性质2. 移位性质 （时移） （频移，又称调制特性）3. 周期卷积（1） 时域卷积若，则注意：此处的卷积为周期卷积。它和前面所介绍的非周期序列的线性卷积的区别在于：参与周期卷积运算的两个序列都是周期为N的周期序列，则其卷积结果仍是一个以N为周期的周期序列；求和运算只在一个周期（m=0N-1）的范围内进行。周期卷积的运算过程（参见图3.2.2）：运算在m=0N-1区间内进行，先计算出n=0，1，N-1的卷积结果，然后将所得的结果进行周期延拓，即可得到所求的整个周期序列。注意：计算过程中，一个周期的某一序列值移出计算区间时，相邻的一个周期的同一位置的序列值就移入计算区间。（2） 频域卷积由于DFS和IDFS的对称性，同样可以证明：时域周期序列的乘积对应频域周期序列的周期卷积，即：若，则 3.3 离散傅里叶变换（DFT）一、 DFT的定义1. 有限长序列和周期序列的关系有限长序列x(n)和周期序列之间的关系可表示为通常，我们将周期序列的第一个周期（n=0N-1）定义为“主值区间”，故x(n)是的“主值序列”，且上述关系式可简写为 （3.3.1）式中，(n)N表示“n对N求余数”，或称“n对N取模值”；利用长度为N的矩形序列符号RN(n)，即则（3.3.1）式又可写成 同理，频域周期序列也可看成是对有限长序列X(k)的周期延拓，而有限长序列X(k)则可看成是周期序列的主值序列，即2. 有限长序列的离散傅里叶变换对有限长序列的离散傅里叶变换公式为：正变换 反变换 二、 DFT的性质1. 线性性质设x1(n)和x2(n)均是长度为N的有限长序列，且有，则 说明：（1） 若x1(n)和x2(n)的长度均为N，则ax1(n)+bx2(n)的长度也为N；（2） 若x1(n)和x2(n)的长度不等，设分别为N1和N2，则ax1(n)+bx2(n)的长度应为二者中的最大值，即N = maxN1, N2； 例如，当N1，则表明此x(n)在前面已经和x()调换过了，不必再调换；否则，就必须进行互换。综上所述，实现倒位序排列的具体方法为：若n时，不必调换；若n时，就必须将原来存放x(n)和x()的存储单元中的内容互换。这样就可以得到按时间抽取的同址运算所需要的倒位序排列。三、 按频率抽取（DIF）的基-2FFT算法（桑德-图基算法）前面讨论的FFT算法是将输入序列x(n)按时间变量n的奇偶分解为越来越短的序列。类似地，如果我们将输出序列X(k)按频域变量k的奇偶分解为越来越短的序列，这种FFT算法就称为“频域抽取法”。四、 IDFT的快速算法（IFFT）利用FFT算法来计算IFFT的具体方法有以下两种：1. 方法一 首先，比较IDFT公式和DFT 公式可见，只要将DFT运算中的每一个系数换成，最后再乘以常数1/N，则前面所介绍的按时间或按频率抽取的FFT算法都可用来计算IDFT。输入X(k)顺序排列输出x(n)倒序排列例如，我们可直接由8点频率抽取FFT流图出发，把换成，并在每级（列）运算中都乘以1/2（注意：因为乘以1/N就等效于1/N =1/2M=(1/2)M，所以相当于每级都乘以1/2），这样即可得到相应